高等數(shù)學(xué)1-4課件極限

高等數(shù)學(xué)1-4課件(極限)contents目錄極限的定義與性質(zhì)極限的求法極限的應(yīng)用總結(jié)與展望CHAPTER01極限的定義與性質(zhì)VS當(dāng)自變量趨近某一值時(shí)，函數(shù)值趨近于某一確定的值，這個(gè)值就是函數(shù)的極限。極限的精確定義如果對(duì)于任意給定的正數(shù)$varepsilon$，存在一個(gè)正數(shù)$delta$，使得當(dāng)$0<|x-x_{0}|<delta$時(shí)，有$|f(x)-L|<varepsilon$，則稱(chēng)$L$是函數(shù)$f(x)$在$x=x_{0}$處的極限。極限的描述性定義極限的定義有界性如果函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_{0}$處的極限存在，則函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_{0}$的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有界。局部有界性如果函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_{0}$處的極限存在，則存在一個(gè)正數(shù)$delta$，使得當(dāng)$0<|x-x_{0}|<delta$時(shí)，函數(shù)$f(x)$有界。唯一性對(duì)于任意給定的點(diǎn)$x_{0}$，函數(shù)$f(x)$在$x=x_{0}$處的極限是唯一的。極限的性質(zhì)如果$lim_{xtox_{0}}f(x)=A$，$lim_{xtox_{0}}g(x)=B$，則$lim_{xtox_{0}}[f(x)pmg(x)]=ApmB$，$lim_{xtox_{0}}[f(x)timesg(x)]=AtimesB$，$lim_{xtox_{0}}frac{f(x)}{g(x)}=frac{A}{B}$（當(dāng)$Bneq0$）。極限的四則運(yùn)算法則如果$lim_{xtox_{0}}u(x)=u_{0}$，且$lim_{utou_{0}}g(u)=B$，則$lim_{xtox_{0}}g[u(x)]=B$。極限的復(fù)合運(yùn)算法則極限的運(yùn)算性質(zhì)CHAPTER02極限的求法若lim(x→x0)f(x)=A和lim(x→x0)g(x)=B，則lim(x→x0)[f(x)+g(x)]=A+B。加法法則若lim(x→x0)f(x)=A，則lim(x→x0)[f(x)-g(x)]=A-B。減法法則若lim(x→x0)f(x)=A和lim(x→x0)g(x)=B，則lim(x→x0)[f(x)*g(x)]=A*B。乘法法則若lim(x→x0)f(x)=A且B≠0，則lim(x→x0)[f(x)/g(x)]=A/B。除法法則極限的四則運(yùn)算法則兩個(gè)重要極限第一個(gè)重要極限是lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。這個(gè)極限在求極限和積分時(shí)非常有用，可以用來(lái)化簡(jiǎn)一些復(fù)雜的極限表達(dá)式。第二個(gè)重要極限是lim(x→∞)(1+1/x)^x=e。這個(gè)極限也可以用來(lái)化簡(jiǎn)一些復(fù)雜的極限表達(dá)式，特別是在處理與無(wú)窮大有關(guān)的極限問(wèn)題時(shí)非常有用。無(wú)窮小是數(shù)學(xué)中的一個(gè)概念，指的是一個(gè)變量在某種變化過(guò)程中逐漸趨于零的極限狀態(tài)。在高等數(shù)學(xué)中，無(wú)窮小是非常重要的概念，是研究函數(shù)極限和連續(xù)性的基礎(chǔ)。無(wú)窮大也是一個(gè)數(shù)學(xué)概念，指的是一個(gè)變量在某種變化過(guò)程中無(wú)限增大的極限狀態(tài)。在高等數(shù)學(xué)中，無(wú)窮大常常用來(lái)描述函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)附近的無(wú)限變化趨勢(shì)。無(wú)窮小與無(wú)窮大CHAPTER03極限的應(yīng)用通過(guò)計(jì)算極限，我們可以求得函數(shù)在某些點(diǎn)的值，尤其是那些函數(shù)無(wú)法直接求值的點(diǎn)。在高等數(shù)學(xué)中，有些函數(shù)在某些點(diǎn)處的值是無(wú)限大或無(wú)限小，無(wú)法直接求得。此時(shí)，我們可以利用極限的定義和性質(zhì)來(lái)計(jì)算這些點(diǎn)的函數(shù)值。例如，對(duì)于函數(shù)(f(x)=frac{1}{x})，當(dāng)(xto0)時(shí)，函數(shù)值趨于無(wú)窮大。通過(guò)計(jì)算極限，我們可以得到函數(shù)在(x=0)處的值是無(wú)窮大?？偨Y(jié)詞詳細(xì)描述利用極限求函數(shù)值總結(jié)詞極限是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，通過(guò)分析函數(shù)在極限狀態(tài)下的行為，我們可以了解函數(shù)的整體性質(zhì)。詳細(xì)描述函數(shù)的許多性質(zhì)，如連續(xù)性、可導(dǎo)性、單調(diào)性等，都可以通過(guò)分析其極限行為來(lái)研究。例如，如果一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)處的左右極限相等且等于該點(diǎn)的函數(shù)值，則該函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù)。如果一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在，則該函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo)。利用極限研究函數(shù)的性質(zhì)總結(jié)詞通過(guò)比較兩個(gè)函數(shù)的極限，我們可以證明它們之間的不等式關(guān)系。詳細(xì)描述有些不等式可以通過(guò)比較兩個(gè)函數(shù)的極限來(lái)證明。例如，如果兩個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)處的極限相等，則它們?cè)谠擖c(diǎn)處的函數(shù)值也相等。因此，如果兩個(gè)函數(shù)的極限不相等，則它們的函數(shù)值也不相等，從而證明了不等式關(guān)系。此外，利用極限的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，我們還可以證明更復(fù)雜的不等式。利用極限證明不等式CHAPTER04總結(jié)與展望極限的重要性和應(yīng)用極限是高等數(shù)學(xué)中的基本概念，它描述了函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)或無(wú)窮遠(yuǎn)處的行為。極限在數(shù)學(xué)分析、物理、工程等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、積分等概念都與極限有關(guān)。通過(guò)極限，我們可以研究函數(shù)的形態(tài)、變化趨勢(shì)以及某些物理現(xiàn)象的變化過(guò)程。123在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，我們將繼續(xù)深入探討極限的概念和性質(zhì)，學(xué)習(xí)如何求極限、判斷極限的存在性等。此外，我們還將學(xué)習(xí)與極限相關(guān)的其他重要概念，如連續(xù)性、可導(dǎo)性、積分等，這些概念都與極限有密切的聯(lián)系。通過(guò)不斷學(xué)習(xí)和實(shí)踐，我們將逐漸掌握高等數(shù)學(xué)的思想和方法，培養(yǎng)自己的邏輯思維和解決問(wèn)題的能力。未來(lái)學(xué)習(xí)的展望課后習(xí)題與答案01