兩角和與差的三角函數(shù)

兩角和與差的三角函數(shù)4.6兩角和與差的正炫、余炫、正切

數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（1）班馮麗月20130621139一、教材分析教材的地位和作用：

兩角和與差是高中數(shù)學(xué)必修四的內(nèi)容，其中兩角和與差的正弦、余弦、正切公式是三角恒等變換的基礎(chǔ)，同時(shí)，它又是后面學(xué)習(xí)倍角、半角等公式的“源頭”，兩角和與差的正弦、余弦、正切公式是本章的重要內(nèi)容對(duì)于三角變換、三角恒等式的證明、三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)和求值等三角問(wèn)題的解決有著重要的支撐作用。本課時(shí)主要講授兩角和與差的正、余弦及正切公式以及它們的簡(jiǎn)單應(yīng)用。根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)生的認(rèn)知水平我制定了三維教學(xué)目標(biāo),分別是：知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感與態(tài)度。

二、教學(xué)目標(biāo)（一）知識(shí)與技能

1、了解兩角和與差的正弦、余弦、正切公式之間的內(nèi)在聯(lián)系；2、掌握用向量方法建立兩角和與差的正、余弦公式通過(guò)簡(jiǎn)單運(yùn)用，讓學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能。（二）過(guò)程與方法

1、通過(guò)讓學(xué)生經(jīng)歷兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的探索，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、探索、研究的能力；2、通過(guò)強(qiáng)化題目的訓(xùn)練，加深對(duì)公式的理解，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力及邏輯推理能力，從而提高解決問(wèn)題的能力。

（三）情感與態(tài)度

1、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，實(shí)事求是的科學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度和勇于創(chuàng)新的精神；2、提高學(xué)生的觀察分析能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)以及數(shù)學(xué)素質(zhì)。為了今后的學(xué)習(xí)，根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)及教材的基礎(chǔ)掌握，我確定了相應(yīng)的教學(xué)重難點(diǎn)、教學(xué)方法及教具。三、教學(xué)重、難點(diǎn)及教學(xué)方法（一）教學(xué)重點(diǎn)兩角和余弦公式的推導(dǎo)。（二）教學(xué)難點(diǎn)靈活運(yùn)用所學(xué)公式進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)、證明以及相關(guān)圖形的結(jié)構(gòu)、公式的運(yùn)用。（三）教學(xué)方法引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法。（四）教具準(zhǔn)備

多媒體課件、三角板、圓規(guī)等。

五、教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，引入新課（預(yù)計(jì)7分鐘）（二）層層遞進(jìn)，引入新知（預(yù)計(jì)18分鐘）（三）基本練習(xí)（預(yù)計(jì)10分鐘）（四）變式練習(xí)（預(yù)計(jì)6分鐘）（五）小結(jié)（預(yù)計(jì)3分鐘）（六）布置作業(yè)（預(yù)計(jì)1分鐘）（一）創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，引入新課（預(yù)計(jì)7分鐘）思考：等式成立嗎？假如

由老師給出幾個(gè)特殊的角，引導(dǎo)學(xué)生來(lái)思考，之后老師帶領(lǐng)同學(xué)一起來(lái)驗(yàn)證。

顯然那么讓學(xué)生先自己畫(huà)一畫(huà)圖，再來(lái)看所給出的圖形，由學(xué)生們回憶一下之前所學(xué)過(guò)的知識(shí)，再帶著知識(shí)一起探討整個(gè)過(guò)程。問(wèn)題情境我們?cè)诔踔幸呀?jīng)求過(guò)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式，知道這實(shí)際上就是求數(shù)軸上這兩點(diǎn)所表示的兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值。現(xiàn)在考慮坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)（如圖）,從點(diǎn)分別坐X軸的垂線，與X軸交與點(diǎn)；再?gòu)狞c(diǎn)分別坐Y軸的垂線,與Y軸交于點(diǎn)。直線與相交于點(diǎn)Q。那么

于是由勾股定理，可得：

由此得到平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式：yx老師給學(xué)生足夠的思考空間，尊重他們不同的想法，不同方法的比較，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性。

并提醒學(xué)生在構(gòu)圖時(shí)多注意角的構(gòu)造，和為什么要做單位圓。另外，請(qǐng)同學(xué)們下去思考有沒(méi)有其他方法可以證明。

（二）層層遞進(jìn)，探索新知（預(yù)計(jì)18分鐘）接下來(lái)，繼續(xù)考慮如何運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式，把兩角和的余弦用的三角函數(shù)來(lái)表示的問(wèn)題。

如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O，并作出角α，β與-β，使角α的始邊為Ox，交于⊙O于點(diǎn)P1，終邊交⊙O于點(diǎn)P2；角β的始邊為OP2，終邊交⊙O于點(diǎn)P3，角-β的始邊為OP1，終邊交⊙O于點(diǎn)P4，這時(shí)點(diǎn)P1，P2，P3，P4的坐標(biāo)是什么？它們之間有什么關(guān)系？解：P1(1，0),

P2(cosα,sinα)

P3(cos(α+β),sin(α+β）)P4(cos(-β),sin(-β))由P1P3=P2P4及兩點(diǎn)間的距離公式，得

[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2展開(kāi)并整理，得

2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ所以

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ口訣：余弦余余正正，前加后減記為（）注：此公式對(duì)于任意的角都成立。由上述公式立即給出一個(gè)例子，為了讓學(xué)生加強(qiáng)對(duì)公式的理解與記憶。例子由學(xué)生來(lái)做，老師巡視，注重差生，最后再由老師給出正確結(jié)果。例1.已知，是第四象限角，求的值。解由于，是第四象限角

故

所以由公式可得：

角的替換時(shí)，由老師帶領(lǐng)學(xué)生共同回顧

把公式中的換為，就有

從而有

口訣：余弦余余正正，前減后加運(yùn)用公式把換為，換為，又可得到再把此式中的換為，就有則就可得到誘導(dǎo)

公當(dāng)為任意角時(shí)任然成立。式記為（）角的替換時(shí)，由老師帶領(lǐng)學(xué)生共同回顧

再運(yùn)用和誘導(dǎo)公式，可得：即口訣：正弦正余余正，前加后加把公式中的換為，又可得到即記為（）記為（）

由老師帶領(lǐng)學(xué)生回顧

然后教師引導(dǎo)學(xué)生思考，在推出公式

后很自然的就會(huì)想到正切公式，但由于時(shí)間關(guān)系，正切公式由同學(xué)們下去抽時(shí)間討論推出結(jié)果，下節(jié)課來(lái)講。這主要是引導(dǎo)他們利用同角三角關(guān)系來(lái)化弦為切，這樣以后老師直接提醒，讓學(xué)生自己推導(dǎo)出來(lái)。

當(dāng)時(shí)，用則有若，則將分子、分母都除以有即因所以把中的換為，又可得到即以上的公式我們稱作和角公式；類似地公式我們稱為差角公式。公式間聯(lián)系：記為記為練習(xí)題先由學(xué)生自己做，老師巡視，多注重差生；若有問(wèn)題，老師再帶著學(xué)生一起來(lái)做。做基本練習(xí)是為了加深對(duì)剛所學(xué)公式的理解和記憶，并提醒學(xué)生注意：不僅要掌握公式的運(yùn)用，還要注意它們的逆用及變形。（三）基本練習(xí)（預(yù)計(jì)10分鐘）例1已知，是第四象限角。求的值。解由為第四象限角且知于是此題是公式的逆用，目的在于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，也鍛煉了他們的運(yùn)變能力及學(xué)會(huì)對(duì)公式靈活運(yùn)用。例2利用和差角公式計(jì)算下列各式的值。（1）（2）（3）解（1）由公式可知（2）由公式可知

（3）由公式可知此題由老師給出其他做法的提示，有學(xué)生自己下去思考完成。例3求的正弦、余弦、正弦值。解變式聯(lián)系難度提高了，由教師講解一題，其余由學(xué)生自己做，可討論，注意做題時(shí)角的范圍。（四）變式練習(xí)（預(yù)計(jì)6分鐘）1.已知都是銳角，求的值。解由得又由，則得由余弦的差角公式得培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，再次讓學(xué)生體會(huì)角的任意性，并探索三角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系；培養(yǎng)學(xué)生敢于挑戰(zhàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的困難的能力。2.已知，求的值。解由題意知

從而