小學(xué)趣味數(shù)學(xué)百題百講百練

小學(xué)趣味數(shù)學(xué)百題百講百練

1.鐘聲

小明家離火車站很近，他每天都可以根據(jù)車站大樓的鐘聲起床。車站大樓的鐘，每敲響

一下延時3秒，間隔1秒后再敲第二下。

假如從第一下鐘聲響起，小明就醒了，那么到小明確切判斷出已是清晨6點，前后共經(jīng)

過了幾秒鐘？

分析與解

從第一下鐘聲響起，到敲響第6下共有5個“延時”、5個“間隔”，共計(3+1)X5

=20秒。當(dāng)?shù)?下敲響后，小明要判斷是否清晨6點，他一定要等到“延時3秒”和“間隔

1秒”都結(jié)束后而沒有第7下敲響，才能判斷出確是清晨6點。因此，答案應(yīng)是：

(3+1)X6=24(秒)。

2.越減越多

同學(xué)們對這樣的問題可能并不陌生：“一個長方形被切去1個角，還剩幾

個角？”這種題的最大特點是答案不唯一，要根據(jù)去掉的這個角的不同情況來

確定“剩角”的多少。

剩3個角剩4個角剩5個角

⑴(2)⑶

圖1

以上3幅示意圖，表明了3種不同情況的3種不同答案。其中第3種情況最有

趣，長方形原有4個角，切去了1個角，反而多了1個角，出現(xiàn)了越減越多的情

況。下面一道題的思考方法與上題類似，看你能否正確回答。

“一個正方體，鋸掉一個角，還剩幾個角？”請注意，這里的“角”是立

體的“角”，它不同于平面上的角。

分析與解鋸掉角的情況有4種，因此剩角的答案也有4種（如14圖所

示）。

還有7個角還有8個角

還有9個角還有10個角

圖14

3.數(shù)一數(shù)

如果有人問你“會數(shù)數(shù)兒嗎？“，你會不屑一顧地說：“這么大了，還不

會數(shù)數(shù)兒！”其實，數(shù)數(shù)兒的學(xué)問還是很大的。不信，請你數(shù)出下面幾何圖形

的個數(shù)。

有（）個長方形有（）個梯形

圖2

分析與解圖（1）中：邊長1個單位的三角形有12個；邊長2個單位的三角

形有6個，邊長3個單位的三角形有2個。

一共有三角形20個。

圖（2）中：先按公式，計算出邊長8個單位的大正方形中，共有（1:+2;

+32+4;+5;+6:+7:+82）=204個正方形；然后再分別計算左、右兩側(cè)各多出

的一部分構(gòu)成13X2=26個正方形；最后計算出共有大、小不同的正方形204+

26=230個。

圖（3）中：共有長方形（1+2+3+4+5）X（1+2+3+4）=15X10=150

（個）。

圖⑷中；共有梯形（1+2+3+4+5）X（1+2+3）=15X6=90（個）。

4.畫一畫

下面這些圖形你能一筆畫出來嗎？（不重復(fù)畫）

圖3

分析與解一筆畫需要解決兩個關(guān)鍵問題。一個是這幅圖能不能一筆畫？

另一個是，若能一筆畫，應(yīng)該怎樣畫？對于這兩個問題，數(shù)學(xué)家歐拉在1736年

研究了“哥尼斯堡七橋”的問題后，做了相當(dāng)出色的回答。他指出，如果一幅

圖是由點和線連接組成，那么與奇數(shù)條線相連的點叫“奇點”；與偶數(shù)條線相

連的點叫“偶點

例如，在圖17中，B為奇點，4口C為偶點。

AB

圖17

如果一幅圖的奇點的個數(shù)是0或是2,這幅圖可以一筆畫，否則不能一筆

畫。這是對第一個問題的回答。歐拉又告訴我們，如果一幅圖中的點全是偶

點，那么，你可以從任意一個點開始畫，最后還回到這一點；如果圖中只有兩

個奇點，那么必須從一個奇點開始畫，并結(jié)束于另一個奇點。

點個搬舞思勰配晶港噩普圖⑵（）'a

圖18

5.最短的路線

養(yǎng)貂專業(yè)戶養(yǎng)殖場內(nèi)安置了9個箱籠（如下圖）。為了節(jié)省每次喂食的時

間，他必須走一條最短的路，但又

圖4

不能漏掉一個黏籠，喂完食后還要回到原出發(fā)點。你能替他設(shè)計一條最短

的路線嗎？并算出每喂食一次，至少要走多少米的路。

分析與解要給9個貂籠的貂分別喂食，最短的路線不止一條。我們只給出

其中的一種如圖20所示。

我們選擇這條路線的根據(jù)是：（1）盡量多走3米長的貂籠間隔，少走4米

長的粥籠間隔；（2）根據(jù)勾股定理，第⑨步走斜邊（長5米，這是因為5;=%+

42）比走兩條直角邊（3+4=7米）要少走2米。

他每喂食一次，至少要走

3X5+4X3+5=32（米）。

圖20

6.切西瓜

六（1）班召開夏夜乘涼晚會，買來了許多西瓜。班主任李老師說：“今天買來了許多

西瓜請大家吃。在吃以前我先要以切西瓜為名請大家做一道數(shù)學(xué)題。我規(guī)定，西瓜只能豎切，

不能橫剖。大家知道，切一刀最多分成2塊，切2刀最多分成4塊，那么切3刀最多能分成

幾塊？切4刀、切5刀、切6刀呢？這中間有沒有規(guī)律？如果有規(guī)律，請同學(xué)們找出來?！?/p>

李老師剛說完，同學(xué)們就七嘴八舌地討論起來。請你也參加他們的討論吧。

分析與解分割圓時.，切的刀數(shù)和最多可分的塊數(shù)之間有如下規(guī)律:

切n刀時，最多可分成：(1+1+2+3+……+n)塊。

2

經(jīng)整理，可歸納成公式：11+；+2。其中n表示切的刀數(shù)舉例如圖

21所示。

圖21

7.均分承包田

有一塊等腰梯形菜地(如下圖)，地邊有一口水井?，F(xiàn)在3戶種菜專業(yè)戶

都提出要承包這塊地。經(jīng)研究，決定讓這3戶共同承包這塊地，因此必須把這

塊地分成面積相等、形狀相同且與這口水井的距離也要相等的3塊地。你能幫

助解決這個問題嗎？

米、

圾

圖5

分析與解分法如圖23所示。我們只要把等腰梯形上底的兩個端點，分別

與水井連接，這樣就把這塊菜地分成符合題意的3塊了。

圖23

8.巧分食鹽水

大家在常識課上認識了量杯?？煜抡n時，王老師讓我們用手中的量杯做一個智力小游戲:

有30毫升、70毫升、100亳升的量杯各1個，請你用這三個量杯把水槽中的100毫升

食鹽水平均分成兩份，但分的時候不準(zhǔn)看量杯的刻度。大家動手試?試,至少要分幾次才成？

分析與解至少分9次。這種題，一般統(tǒng)稱為分液問題。解答時，最好用列表的方法。本

題解答方法，如下表所示（這不是唯一的方法）：

\《子容量

100亳升70亳升30亳升

分

130700

2304030

360400

4601030

590100

690010

7207010

8205030

950500

9.擴大地池

養(yǎng)魚專業(yè)戶張強，去年承包了一個叫“金三角”的魚池（如圖24）,喜獲

豐收。為了進一步增產(chǎn)，決定把魚池擴大。但有這樣的要求：①擴大后的魚池

必須仍是三角形，保持“金三角”魚池的稱號；②擴大后的魚池面積是原面積

的4倍；③原魚池的三個角上栽的3棵大柳樹不能移動。你能替張強設(shè)計一個施

工草圖嗎？

分析與解草圖如圖25所示。

我們只要過三角形的三個頂點，分別作它們所對的邊的平行線，兩兩相

交，成一個大三角形，這個大三角形的面積是原三角形面積的4倍。

10.巧妙的算法（一）

11=122=1+3

32=1+3+542=1+3+5+7

????????????

請你仔細觀察上面這些算式，試著找出某種規(guī)律，并利用這個規(guī)律迅速算

出下面式子的答案：

（1）1+3+5+7+9+11+13+15

（2）1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25

+27+29+31+33+35+37+39

分析與解由己知的算式

1;=1

22=1+3

32=1+3+5

42=1+3+5+7

我們不難看出：

52=1+3+5+7+9

<.__________________________>

5項

$2=1+3+5+7+9+11

、__________________________________>

6項

n2=l+3+5+……+（2n-3）+（2n-l）

1____________________________>

施

因此，（1）的答案為8（項數(shù)）的平方，即64；（2）的答案為20（項

數(shù)）的平方,即400。

11.巧妙的算法（二）

1J+2J=9（1+2）2=9

13+2433=36（1+2+3）2=36

????????????

請你仔細觀察上面兩組算式，找出規(guī)律并迅速算出下面算式的答案：

（1）P+23+33+43+53+63+73+83+93+⑹

（2）P+243斗...+203

分析與解求幾個數(shù)的立方和，一般總是先求出各數(shù)的立方再相加。但對

于從1開始的若干個連續(xù)自然數(shù)的立方和，我們可以從題中的兩組算式得到啟

發(fā)，找出規(guī)律，迅速算出它的答案：

（1）1423+33+……+1（）3

=（1+2+3+...+10）2=552=3025；

(2)P+23+33+........+203

=(1+2+3+……+20):=210:=44100

用數(shù)學(xué)歸納法可以證明：

J+23+33+……+(n-1)5+n3

=[1+2+3+........+(n-1)+n]2

12.哪個分數(shù)大？

有三個分數(shù)黑、黑和普’請你比較一下’哪個分

數(shù)大？

分析與解

在比較需、5黑和*if的大小時，如果用先通分再比較

大小的一般方法，就太麻煩了。我們知道，而g的倒數(shù)2卻比!

的倒數(shù)3小。就普遍的情況而言，一個分數(shù)的倒數(shù)大，這個分數(shù)反而小。

這樣，要比較這三個分數(shù)的大小，只要比較它們的倒數(shù)就可以了。

1111的倒數(shù)是10高

11111

霜的倒數(shù)是1。忐

揩的倒數(shù)是1。1

111111

111

因為，10----------<10----------<------

111111111111111

1111

所以,

111111111111111111

13.想辦法巧算

11111

---+----+----+...+--------+--------

1x22x33x4998x999999x1000

分析與解計算這道題要是先通分再加，那實在是太困難了。我們可以把

這樣的分數(shù)拆開。

因為：士=1-(

1_11

2x3~2"31

1_1_1

111

999x100099910000

1111

所以,原式=l-g+g-g+g-；++--------+---------

9989999991000

1_999

woo=；000

14.從1到100萬

大家對德國大數(shù)學(xué)家高斯小時候的一個故事可能很熟悉了。

傳說他在十歲的時候，老師出了一個題目：1+2+3+......+99+100的和是多少？

老師剛把題目說完，小高斯就算出了答案：這100個數(shù)的和是5050。

原來，小高斯是這樣算的：依次把這100個數(shù)的頭和尾都加起來，即1+100,2+99,

3+98,……，50+51,共50對，每對都是101,總和就是101X50=5050。

現(xiàn)在請你算一道題：從1至IJ1000000這100萬個數(shù)的數(shù)字之和是多少？

注意：這里說的“100萬個數(shù)的數(shù)字之和”，不是“這100萬個數(shù)之和”。例如,1、2、

3、4、5、6,7、8、9、10、11、12這12個數(shù)的數(shù)字之和就是1+2+3+4+5+6+7+8+9

+1+0+1+1+1+2=51o

請你先仔細想想小高斯用的方法，會對你算這道題有啟發(fā)。

分析與解

可以在這100萬個數(shù)前面加一個“0”，再把這些數(shù)兩兩分組：

999999和0999998和1

999997和2999996和3

依此類推，一共可分為50萬組，最后剩下1000000這個數(shù)不成對。

各組數(shù)的數(shù)字之和都是9+9+9+9+9+9=54,最后的1000000數(shù)字之和是1。

所以這100萬個數(shù)的數(shù)字之和為：

(54X500000)+1=27000001

15.求數(shù)列的和

你能用巧妙的方法，求出下列算式的結(jié)果嗎？注意，高斯求和的方法在這

里用不上。

⑴卓+1+

241224406084

小222222

（2）-+—+——+—+—+——

315356399143

分析與解這是兩道求數(shù)列和的計算題。巧算的方法與第13題類似，要根

據(jù)每個數(shù)列中各個數(shù)的特點，進行“拆分”，使拆分成的新數(shù)列的中間部分互

相抵消，從而達到“巧”算的目的。

/、U.1111111111111

1111111111111

—1--+---+---+---+------+---------+---------

224466881010121214

113

=1--=—

1414

1」1_1l_i1_J_

=I-3+3_5+5_7+7_Tt"9_TI+TT_T3

112

_1_-----=

-1313

16.不必大乘大除

下面這道計算題，按一般運算法則計算是很麻煩的。如果你能發(fā)現(xiàn)數(shù)字的

特點，采用巧算，則這道題將變得很容易。請你不要用紙和筆，用腦子想一

想，就得出答案，行嗎？(限10秒鐘)

1994

1994X1994-1995x1993

分析與解根據(jù)分母的數(shù)字特點，可用如下方法計算：

1994

1994X1994-1995X1003

____________1994__________

~19942-(1994+1)X(1994-1)

1994

-19942-(19942-1)

_______—=”94

19942-19942+1

17.猜猜是幾？

一個三位數(shù)，寫在一張紙上，倒過來看是正著看的1.5倍，正著看是倒

過來看的|。這個三位數(shù)是幾？

分析與解這個三位數(shù)是666。其實，只要你稍加思索，就可以想出來了。

這道題如果要求找一個一位數(shù)，那就是6；找一個兩位數(shù)，則是66；找一個四

位數(shù)，則是6666,……，依此類推。

18.完全數(shù)

如果整數(shù)a能被b整除，那么b就叫做a的一個因數(shù)。例如，1、2、3、4、

6都是12的因數(shù)。有一種數(shù)，它恰好等于除去它本身以外的一切因數(shù)的和，這

種數(shù)叫做完全數(shù)。例如，6就是最小的一個完全數(shù)，因為除6以外的6的因數(shù)是

1、2、3,而6=1+2+3。

你能在20至30之間找出第二個完全數(shù)嗎？

分析與解20至30之間的完全數(shù)是28o因為除28以外的28的因數(shù)是1、2、

4、7、14,而28=1+2+4+7+14。

尋找完全數(shù)并不是容易的事。經(jīng)過不少數(shù)學(xué)家研究，到目前為止，一共找到

了23個完全數(shù)。第三、四個完全數(shù)是：

496=1+2+4+84-16+31+62+124+248

8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064

奇怪的是，已發(fā)現(xiàn)的23個完全數(shù)是偶數(shù)，會不會有奇完全數(shù)存在呢？至今

無人能回答。完全數(shù)問題還是一個沒有解決的問題。

19.有這樣的數(shù)嗎？

小明異想天開地提出：“世界上應(yīng)該存在這樣兩個數(shù)，它們的根與它們的差相等。”他

的話音剛落，就引起了同學(xué)們的哄堂大笑，大家都覺得這是不可能的。但是，世界上有些事

情往往產(chǎn)生于一些怪想法。小明的想法，后來竟被同學(xué)們討論證實了。

你能找到這樣的兩個數(shù)嗎？告訴你，這樣的數(shù)還不止一對呢！

分析與解卜一面舉出幾個兩數(shù)的積等于兩數(shù)的差的實例：

1、，1111

23236

454520

22224

5~7~5~7~35

lx-=---=—

47=4~7=28

同學(xué)們，你可再試著找一些。

20.兩數(shù)的積與兩數(shù)的和能相等嗎？

數(shù)學(xué)課匕小明偶然發(fā)現(xiàn)2X2=2+2。下課后，小明問王老師：“2X2=2+2,這樣兩

數(shù)的積等于兩數(shù)的和的情況，還有嗎？”王老師聽后很高興地拍著小明肩膀說：“你能在數(shù)

學(xué)學(xué)習(xí)中敏銳地發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，這是很寶貴的，希望你能保持這個優(yōu)點。你提的問題

在數(shù)學(xué)中不是偶然的現(xiàn)

象，還可以舉出很多實例。例如，3X11=3+11,甚至還有三個數(shù)的積

等于這三個數(shù)的和，四個數(shù)的積等于這四個數(shù)的和，五個數(shù)的積等于這五個數(shù)的和。這

些現(xiàn)象近似于數(shù)學(xué)游戲，有興趣，你回去仔細想想，一定會找到答案的。明天我們一起交換

看法好嗎？”小明聽后高興地接受了老師的建議。

同學(xué)們，你們能找出這樣的數(shù)嗎？

分析與解下面是部分例子。

兩數(shù)積=兩數(shù)和：

11X1.1=11+1.1

1,1

3X1-=3+l-

22

1,1

4X1-=4+1-

33

5X11=5+1-1

44

三數(shù)積=三數(shù)和：

1X2X3=1+24-3

四數(shù)積=四數(shù)和：

lXlX2X4=l+l+2+4

五數(shù)積=五數(shù)和：

lXlXlX2X5=l+l+l+2+5

lXlXlX3X3=l+l+l+3+3

1義lX2X2X2=l+l+2+2+2

其中，有關(guān)兩數(shù)積二兩數(shù)和的例子，可以找出無數(shù)組，請再找出一些。

21.老路行不通

五年級的時候，我們在數(shù)學(xué)課上就學(xué)習(xí)過計算與三角形有關(guān)的陰影部分面

積的方法。但下面這道題卻無法用習(xí)慣的方法解答，需要另辟蹊徑。這條要走

的“新路”所依靠的知識，仍然是最基本的：如果幾個三角形的底和高都相

等，那么它們的面積也相等。

圖26

已知：在Z\ABC中，BC=5BD,AC=4EC,DG=GS=SE,AF=FG。

求陰影部分的面積占AABC面積的幾分之幾？

分析與解這道題看起來很像一道中學(xué)較復(fù)雜的幾何求解題。其實，只需

要一些小學(xué)最基本的數(shù)學(xué)知識就可以解答了。

根據(jù)BC=5BD,可以知道，AABD的面積=：Z\ABC的面積；根據(jù)AC

114

=4EC,可以知道，ZXDEC的面積的面積=xX、ZXABC的

445

面積=?△ABC的面積。依此類推，ZXADG的面積=：Z\ADE的面積=

；AABC的面積；ZXFGE的面積=|ZXABC的面積。

陰影部分的面積占ZXFGE面積的,即占AABC面積的gx!=

22.關(guān)鍵在于觀察

你在數(shù)學(xué)課上學(xué)了不少幾何圖形的知識，掌握了不少平面圖形的求面積公

式。但是有許多組合面積的計算，單靠這些知識是遠遠不夠的，它更需要對組

合圖形的觀察能力。下面就是一道考查你的觀察能力的題目。試試看，你能很

快做出來嗎？

已知圖內(nèi)各圓相切，小圓半徑為1,求陰影部分的面積。

分析與解按一般的解題規(guī)律，要求面積，首先得確定所求的是什么圖

形，或是由什么圖形組合而成。而本題構(gòu)成陰影部分的圖形，卻是個不規(guī)則的

圖形。但仔細觀察，就能發(fā)現(xiàn)陰影部分是由兩部分組成的：下面是一個小

的半圓，上面是大的半圓減去2個小圓和3個小半圓的剩余部分的由此

可得到以下解法：

2

陰影部分面積=下JT+g1X（-Ji.?2兀-3X彳7T）

71幾

=—+—

23

23.一筐蘋果

入冬前，媽媽買來了一筐蘋果，清理時，發(fā)現(xiàn)這筐蘋果2個、2個地數(shù)，余1個；3個、

3個地數(shù)，余2個；4個、4個地數(shù)，余3個；5個、5個地數(shù)，余4個；6個、6個地數(shù)，

余5個。你知道這筐蘋果至少有多少個嗎？

分析與解根據(jù)題目條件，可以知道，這筐蘋果的個數(shù)加1,就恰好是2、3、4、5、6的

公倍數(shù)。而題目要求“至少有多少個”，所以，蘋果的個數(shù)應(yīng)該是2、3、4、5、6的最小公

倍數(shù)減去1。

⑵3,4,5,6]=60

60-1=59

即這筐革果至少有59個。

24.怎樣分？

有44枚棋子，要分裝在10個小盒中，要求每個小盒中的棋子數(shù)互不相同,應(yīng)該怎樣分？

分析與解無法分。這道題的具體答案同學(xué)們要開動腦筋自己想想哦……

25.不要急于動手

左圖是一個正方形，被分成6橫行，6縱列。在每個方格中，可任意填入1、2、3中的

一個數(shù)字，但要使每行、每列及兩條對角線上的數(shù)字之和各不相同，這可能嗎？為什么？

分析與解不可能。

這是因為每行、每列和兩條對角線都是由6個方格組成的，那么數(shù)字之和最小是1X6=

6,數(shù)字之和最大是3義6=18。要想使各行、各列及對角線上的數(shù)字之和各不相同，只能出

現(xiàn)6、7、8、9、……、17、18這13種數(shù)字和，但實際卻需要6（行）+6（列）+2（對角

線）=14種不同的數(shù)字和。

由此可知，要達到銀行、每列及兩條對角線上的數(shù)字和各不相同是不可能的。

26.數(shù)字小魔術(shù)

新年聯(lián)歡會上，同學(xué)們一致要求教數(shù)學(xué)的王老師出?個節(jié)目。王老師微笑著走到講臺前

說：“我給你們表演一個數(shù)字魔術(shù)吧！”說完，王老師拿出一疊紙條，發(fā)給每人一張，并神

秘地說：“由于我教你們數(shù)學(xué)，所以你們腦子里的數(shù)也聽我的話。不信，你們每人獨立地在

紙條上寫上任意4個自然數(shù)（不重復(fù)寫），我保證能從你們寫的4個數(shù)中，找出兩個數(shù)，它

們的差能被3整除?！?/p>

王老師的話音一落，同學(xué)們就活躍起來。有的同學(xué)還說：“我寫的數(shù)最調(diào)皮，就不聽王

老師的話?！辈灰粫海瑢W(xué)們都把數(shù)寫好了，但是當(dāng)同學(xué)們一個個念起自己寫的4個數(shù)時,

奇怪的事果真發(fā)生了。同學(xué)們寫的數(shù)還真聽王老師的話，竟沒有一個同學(xué)寫的數(shù)例外，都讓

王老師找出了差能被3整除的兩個數(shù)。

同學(xué)們，你們知道王老師數(shù)字小魔術(shù)的秘密嗎？

分析與解其實，同學(xué)們寫在紙條上的數(shù)字并不是聽王老師的話，而是聽數(shù)學(xué)規(guī)律的話。

因為任意一個自然數(shù)被3除，余數(shù)只能有3種可能，即余0、余1、余2。如果把自然

數(shù)按被3除后的余數(shù)分類，只能分為3類，而王老師讓同學(xué)們在紙條上寫的卻是4個數(shù)，那

么必有兩個數(shù)的余數(shù)相同。余數(shù)相同的兩個數(shù)相減（以大減?。┧玫牟?，當(dāng)然能被3整除。

王老師是根據(jù)數(shù)學(xué)基本性質(zhì)設(shè)計小魔術(shù)的。所以，只要我們刻苦學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，掌握規(guī)律，

也會在數(shù)學(xué)王國中創(chuàng)造出魔術(shù)般的奇跡。

27.應(yīng)該怎樣稱？

有9個外觀完全相同的小球，其中只有一個重量輕一點兒?，F(xiàn)在要求你用架天平去稱,

問你至少稱幾次，才能找出較輕的球？

如果是27個球、81個球中只有一個較輕的球，你知道至少稱幾次才能找出那個較輕的

球嗎？這里有規(guī)律嗎？

分析與解9個球，至少稱兩次就可以找到那個較輕的球。

第一次：天平兩側(cè)各放3個球。

如果天平平衡，說明較輕的球在下面；如果不平衡，那么抬起一側(cè)的3個球中必有輕球。

第二次：從含有輕球的3個球中任選兩個，分別放在天平兩側(cè)。如果平衡，下面的球是

輕的；如果不平衡，抬起?側(cè)的球是輕的。

如果是27個球，至少需要稱3次。

第一次：天平兩側(cè)各放9個球。

如果平衡，說明輕球在下面9個中；如果不平衡，抬起一側(cè)的9個球中含有輕球。

第二次、第三次與前面所說9個球的稱法相同。

在這種用天平確定輕球（或重球）的智力題中，球的總個數(shù)與至少稱的次數(shù)之間的關(guān)系

是：若3n〈球的總個數(shù)W3n+1,則（n+1）即為至少稱的次數(shù)。

例如，設(shè)有25個球，因為32<25<33,所以至少稱3次；

設(shè)有81個球，因為33<81=34,所以至少稱4次。

28.最少拿幾次？

晚飯后，爸爸、媽媽和小紅三個人決定下一盤跳棋。打開裝棋子的盒子前，爸爸忽然用

大手捂著盒子對小紅說：“小紅，爸爸給你出一道跳棋子的題，看你會不會做？”小紅毫不

猶豫地說：“行，您出吧？”“好，你聽著：這盒跳棋有紅、綠、藍色棋子各15個，你閉

著眼睛往外拿，每次只能拿1個棋子，問你至少拿幾次才能保證拿出的棋子中有3個是同?

顏色的？”

聽完題后，小紅陷入了沉思。同學(xué)們，你們會做這道題嗎？

分析與解至少拿7次，才能保證其中有3個棋子同一顏色。

我們可以這樣想：按最壞的情況，小紅每次拿出的棋子顏色都不一樣，但從第4次開始,

將有2個棋子是同一顏色。到第6次，三種顏色的棋子各有2個。當(dāng)?shù)?次取出棋子時，不

管是什么顏色，先取出的6個棋子中必有2個與它同色，即出現(xiàn)3個棋子同一顏色的現(xiàn)象。

同學(xué)們，你們能從這道題中發(fā)現(xiàn)這類問題的規(guī)律嗎？如果要求有4個棋子同一顏色，至

少要拿幾次？如果要求5個棋子的顏色相同呢？

29.巧手擺花壇

學(xué)校門口修了一個正方形花壇，花壇竣工時，大隊部在花壇旁掛出一塊小黑板，上面寫

著：

“各中隊少先隊員：

花壇修好了，同學(xué)們都希望管理這個花壇。哪個中隊的少先隊員能做出下面兩道題，就

請那個中隊的少先隊員負責(zé)管理這個花壇。

①要在這個花壇的四周擺上16盆麥冬，要求每邊都是7盆，應(yīng)該怎樣擺？

②還要在這個花壇四周擺上24盆串紅，要求每邊也是7盆，應(yīng)該怎樣擺？”

同學(xué)們，你會擺嗎？請你試試看。

分析與解答案如下圖:

度。目

。擺16盆。

§000°

圖29

30.填數(shù)（一）

請你把1~8這八個數(shù)分別填入下圖所示正方體頂點的圓圈里，使每個面的

4個角上的數(shù)之和都相等。

圖30

分析與解做這種填數(shù)游戲，有兩種方法，一種是“笨”方法，即湊數(shù)的

方法。分別用這8個數(shù)去試，這種方法可行，但很費事。另一種方法是用分

析、計算的方法。這道題可以分析、計算如下：

在計算各個面上4個數(shù)的和時，頂點上的數(shù)總是分屬3個不同的面，這樣，

每個頂點上的數(shù)都被重復(fù)計算了3次。因此，各個面上4個數(shù)的和為1~8這8個

致的和的3倍，即（1+2+3+…+8）X3=108。又因為正方體有6個面，也就是每

個面上的四個數(shù)的和應(yīng)是108+6=18。18應(yīng)是我們填數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)。

如果在前面上填入1、7、2、8（如圖31）,那么右側(cè)面上已有2、8,其余

兩頂點只能填3、5。以此類推，答案如圖31所示。

31.算算這筆賬

小明哥哥的個體商店里，同時放著甲、乙兩種收錄機，售價都是990元。但是甲種收錄

機是緊俏商品，賺了10%;乙種收錄機是滯銷品，賠了10%。假如今天兩種收錄機各售出

一臺，小明哥哥的商店是賺錢了還是賠錢了？若賺了，則賺了多少？若賠了，則賠了多少？

你會算這筆賬嗎？

分析與解賺了10%后是990元，原價是：

9904-(1+10%)=900(元)

賠了10%后是990元，原價是：

9904-(1-10%)=1100(元)

那么兩臺收錄機，原來進價為900+1100=2000元，現(xiàn)在賣了990X2=1980元。

因此，這個商店賣出甲、乙兩種收錄機各一臺，賠了2000-1980=20元。

32.“達標(biāo)”的人數(shù)

有一所學(xué)校，男生有5%的人體育“達標(biāo)”，得了優(yōu)秀。這所學(xué)校的g

是男生；在全?！斑_標(biāo)”獲優(yōu)秀的學(xué)生中，;是男生。問女生“達標(biāo)”獲

優(yōu)秀的學(xué)生占全校學(xué)生總數(shù)的百分之幾？

分析與解

根據(jù)已知條件，獲體育“達標(biāo)”優(yōu)秀的男生占全校人數(shù)的1x5%

3

=100°

根據(jù)獲優(yōu)秀的學(xué)生中，;7是男生，則女生占工1。即男生占3份，女生

44

占1份。所以，女生獲優(yōu)秀的占全校人數(shù)的高+3=+=1%

33.誰得優(yōu)秀？

六年級同學(xué)畢業(yè)前，凡報考重點中學(xué)的同學(xué)，都要參加體育加試。加試后，甲、乙、丙、

丁四名同學(xué)談?wù)撍麄兊某煽儯?/p>

甲說：“如果我得優(yōu)，那么乙也得優(yōu)?！?/p>

乙說：“如果我得優(yōu)，那么丙也得優(yōu)?！?/p>

丙說：“如果我得優(yōu)，那么丁也得優(yōu)。”

以上三名同學(xué)說的都是真話，但這四人中得優(yōu)的卻只有兩名。問這四人中誰得優(yōu)秀？

分析與解我們可以這樣想：如果甲得優(yōu)秀，那么乙、丙、丁都得優(yōu)秀，這與實際不符;

如果乙得優(yōu)秀，則丙、丁也得優(yōu)秀，也與實際不符。因此，只能丙、丁得優(yōu)秀，才符合實際

情況。

判斷結(jié)果是：丙、丁得優(yōu)秀。

34.排名次

學(xué)校舉辦排球比賽，進入決賽的是五（1）班、五（2）班、六（1）班、六（2）班的代

表隊，到底誰得第一，誰得第二，誰得第三，誰得第四呢？

甲、乙、丙三人做如下的猜測：

甲說：“五（1）班第一，五（2）班第二?！?/p>

乙說：“六（1）班第二，六（2）班第四?！?/p>

丙說：“六（2）班第三，五（1）班第二?！?/p>

比賽結(jié)束后，發(fā)現(xiàn)甲、乙、丙三人誰也沒有完全猜對，但他們都猜對了一半。你能根據(jù)

上面情況排出1?4名的名次嗎？

分析與解這類題用列表法進行推理比較簡捷。

甲說XV

乙說XV

丙說VX

上表第一行，是假設(shè)甲說的“五（1）班第一”是錯的，“五（2）班第二”是對的；由

此推向乙、丙，因為“五（2）班第二”是對的，則乙說的“六（1）班第二”就是錯的，丙

說的“五（1）班第二”也是錯的，那么乙說的“六（2）班第四”與丙說的“六（2）班第

三都是對的，這顯然矛盾。因此可以斷定，甲說的“五（2）班第二”是錯的，而甲說“五

（1）班第一”是對的。進而我們用下表可推出正確結(jié)論來：

甲說VX

乙說VX

丙說7X

推理過程是：甲說“五（1）班第一”是對的，丙說“五（1）班第二”是錯的；那么，

丙說“六（2）班第三”是對的。由此又推出，乙說“六（2）班第四”是錯的，當(dāng)然乙說‘'六

（1）班第二”是對的。前三名已有了，第四名只能是五（2）班了。

35.要賽多少盤？

六年級舉行中國象棋比賽，共有12人報名參加比賽。根據(jù)比賽規(guī)則，每個人都要與其

他人各賽一盤，那么這次象棋比賽一共要賽多少盤？

分析與解一共要賽66盤。

要想得出正確答案，我們可以從簡單的想起，看看有什么規(guī)律。

假如2個人（A、B）參賽，那只賽1盤就可以了；假如3個人（A、B、C）參賽，那么

A—B、A—C、B—C要賽3盤；假如4個人參賽，要賽6盤，……

于是我們可以發(fā)現(xiàn)：

2人參賽，要賽1盤，即1；

3人參賽，要賽3盤，即1+2；

4個參賽,要賽6盤，即1+2+3；

5人參賽，要賽10盤，即1+2+3+4；

那么，12人參賽就要賽1+2+3+……+11=66盤。

我們還可以這樣想:

這12個人，每個人都要與另外11個人各賽1盤，共11X12=132(盤)，但計算這總

盤數(shù)時把每人的參賽盤數(shù)都重復(fù)算了一次，(如A-B賽一盤，B-A又算了一盤)，所以實

際一共要賽1324-2=66(盤)。

36.獲第三名的得幾分？

A、B、C、D、E五名學(xué)生參加乒乓球比賽，每兩個人都要賽一盤，并且只賽一盤。規(guī)定

勝者得2分，負者得0分?，F(xiàn)在知道比賽結(jié)果是：A和B并列第一名，C是第三名，D和E

并列第四名。那么C得幾分？

分析與解獲第三名的學(xué)生C得4分。

因為每盤得分不是2分就是。分，所以每個人的得分一定是偶數(shù)，根據(jù)比賽規(guī)則，五個

學(xué)生一共要賽10盤，每盤勝者得2分，共得了20分。每名學(xué)生只賽4盤，最多得8分。

我們知道，并列第一名的兩個學(xué)生不能都得8分，因為他們兩人之間比賽的負者最多只

能得6分，由此可知，并列第一的兩個學(xué)生每人最多各得6分。

同樣道理，并列第四的兩個學(xué)生也不可能都得0分，因此他們兩人最少各得2分。

這樣，我們可得出獲第三名的學(xué)生C不可能得6分或2分，只能得4分。

37.五個好朋友

A、B、C、D、E五個學(xué)生是同班的好朋友，其中有四人做課代表工作，這四科是語文、

數(shù)學(xué)、地理、歷史。另一個人是中隊長。

請你根據(jù)下列條件，判斷出這五位同學(xué)各做什么工作。

(1)語文課代表不是C,也不是D；

(2)歷史課代表不是D,也不是A；

(3)C和E住在同一樓里，中隊長和他們是鄰居；

(4)C問數(shù)學(xué)課代表問題時，B也在一旁聽著；

(5)A、C、地理課代表、語文課代表常在一起討論問題；

(6)D、E常到數(shù)學(xué)課代表家去玩，而中隊長去的次數(shù)不多。

分析與解A是數(shù)學(xué)課代表，B是中隊長，C是歷史課代表，D是地理課代表，E是語文

課代表。

題中（1）、（2）是直接條件，而（3）?（6）就不像（1）、（2）那樣將條件直接寫

明。只要我們把（3）?（6）轉(zhuǎn)換成直接條件，再把這些條件填入下表，就會得到正確的判

斷。

條件（3）中，“C和E住在同一樓里，中隊長和他們是鄰居”，這就是說，中隊長不

是C,也不是E。條件（4）就是說，數(shù)學(xué)課代表不是C也不是B。條件（5）就是說，地理

課代表、語文課代表不是A,也不是C。條件（6）就是說，數(shù)學(xué)課代表、中隊長不是D或E。

將以上（1）?（6）條件填入下表。

語文課代數(shù)學(xué)課代地理課代歷史課代中隊長

表表表表

AX(5)VX(5)X(2)X

BXX(4)4

CX(l)(5)X(4)X(5)X(3)

Dx(i)X(6)X(2)X(6)

EX⑹X(3)(6)

由上表縱著看到數(shù)學(xué)課代表是A,畫上“J”；A就不可能是中隊長了，

在相應(yīng)位置上畫上“X那么中隊長一定是B,畫上既然B是中隊

長，他就不是語文課代表了，在相應(yīng)位置上畫上“義再按著看，C是歷史

課代表，D是地理課代表。最后得出E是語文課代表。

38.過隊日

六（1）中隊共43名隊員，他們到龍?zhí)队螛穲@過中隊日。中隊長宣布，大家只能參加“激

流勇進”、“觀覽車”和“單軌火車”三種游樂活動。活動結(jié)束時，中隊長說：“根據(jù)今天

參加游樂活動的情況我編了一道數(shù)學(xué)題：“全中隊至少有多少人參加的活動完全相同？”

你能替六（1）中隊的同學(xué)找到正確答案嗎？

分析與解全中隊至少有7人參加的活動相同。

這是一道根據(jù)實際活動編得很有趣的數(shù)學(xué)題。解答這道題首先要弄明白同學(xué)們參加游樂

活動共有幾種可能情況。我們把各種情況分別列出如下：

(1)只參加“激流勇進”；

(2)只參加“觀覽車”；

(3)只參加“單軌火車”；

(4)既參加“激流勇進”，又參加“觀覽車”；

(5)既參加“激流勇進”，又參加“單軌火車”；

(6)既參加“觀覽車”，又參加“單軌火車”；

(7)三種活動都參加。

由于可能的情況共有7種，去游樂場的有43名少先隊員，43+7=6……1(人)，即如

果每種可能的情況有6名隊員參加的話，那么還余1名隊員，不管這1名隊員參加活動屬于

哪種“情況”，則至少有7人參加的活動相同。

39.放硬幣游戲

參加人：2人，也可以有裁判1人。

用具：一張紙(方形、圓形都可以)，1分硬幣若干枚。

游戲規(guī)則：①2人輪流把硬幣放在紙上，每人每次只放一枚；②放在桌上的硬幣不能重

疊；③最后在紙上無處可放者為負。

同學(xué)們，要想在這個小游戲中取勝，只需應(yīng)用幾何中一個很簡單的原理。你知道怎樣放

才能保證在游戲中穩(wěn)操勝券嗎？

分析與解這個游戲?qū)⒓拥膬蓚€人來說是不平等的，如果知道了游戲的奧妙，那么先放

硬幣的一方會穩(wěn)操勝券。

游戲的奧妙是利用平面幾何中的中心對稱原理。先放者，首先搶占“對稱中心”，即紙

的中心。然后，不論對方把硬幣放在什么位置，你每次都根據(jù)中心對稱原理，把硬幣放到對

方硬幣的對稱位置上。這樣，只要對方有地方放，你就必定有放的地方，直到你占滿最后一

處空白，逼得對方無處可放，你就獲勝了。

40.一本書的頁數(shù)

我們知道印刷廠的排版工人在排版時，一個數(shù)字要用一個鉛字。例如15,就要用2個

鉛字；158,就要用3個鉛字?，F(xiàn)在知道有一本書在排版時，光是排出所有的頁數(shù)就用了68

69個鉛字，你知道這本書共有多少頁嗎？（封面、封底、扉頁不算在內(nèi)）

分析與解仔細分析一?下，頁數(shù)可分為一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、……。

一位數(shù)有9個，使用IX9=9個鉛字；

兩位數(shù)有（99-9）個，使用2X90=180個鉛字；

三位數(shù)有（999-90-9）個，使用3X900=2700個鉛字；

依此類推。

我們再判斷?下這本書的頁數(shù)用到了幾位數(shù)。因為從1到999共需用9+2X90+3X900

=2889個鉛字，從1到9999共需用9+2X90+3X900+4X9000=38889個鉛字，而2889<6

869<38889,所以這本書的頁數(shù)用到四位數(shù)。

排滿三位數(shù)的頁數(shù)共用了2889個鉛字，排四位數(shù)使用的鉛字應(yīng)有6869-2889=3980（個），

那么四位數(shù)的頁數(shù)共有3980+4=995（頁）。因此這本書共有999+995=1994（頁）。

41.重要的是能發(fā)現(xiàn)規(guī)律

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，重要的不是會做幾道題，而是通過學(xué)習(xí)，學(xué)會總結(jié)規(guī)律、使用

規(guī)律，最終培養(yǎng)出一種能獨立發(fā)現(xiàn)和總結(jié)規(guī)律并應(yīng)用規(guī)律去解決實際問題的能

力。

下面有一道題，就是檢查你是否具備這方面能力的。不過，在正式做題

前，先復(fù)習(xí)一下有關(guān)的知識。

一個三位數(shù)，例如256,可以表示成：

100X2+10X5+6。

一個任意三位數(shù)而（通常表示幾位數(shù)時就在這幾個字母上面畫一條

橫線）也可以表示成：

100a+10b+c

一個任意四位數(shù)砌也可以表示成：

1000a+100b+10c+d

好了，現(xiàn)在請做下面的題。

有一個四位數(shù)，減掉它各位數(shù)字的和得到19派2,你能準(zhǔn)確地判斷出※表

示的數(shù)字是幾嗎？

解答這道題，當(dāng)然可以用分析、推理等方法，但希望你能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并利

用規(guī)律來巧解這道題。

分析與解※表示6。

在解答這道題的過程中，不知你是否發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：不管是一個兩位

數(shù)、三位數(shù)或四位數(shù)……，減去它的各個數(shù)位上數(shù)字之和所得的差，必定是9

個的倍數(shù)。這個規(guī)律的證明，簡述如下：

一個四位數(shù)abed,可以表示成：1000a+100b+10c+d。它

與它的數(shù)字之和的差為

1000a+100b+10c+d-(a+b+c+d)

=(1000a-a)+(100-b)+(10c-c)+(d-d)

=999a+99b+9c

=9(llla+llb+c)

因為這個差是“9”與一個算式(其計算結(jié)果是整數(shù))的乘積，所以這個

差必定能被9整除。(其他位數(shù)的數(shù)的證明與此相同，從略)。

解答上面這道題，我們可以根據(jù)條件這樣想：1+9+2=12,12比9的2倍少

6,比9的3倍少15,因為※表示的是一個數(shù)字，所以※表示的只能是6。

42.填數(shù)(二)

右圖中的大三角形被分成9個小三角形。試將1、2、3、4、5、6、7、8、9

分別填入9個小三角形中，每個小三角形內(nèi)只填一個數(shù)。要求靠近大三角形每

條邊的5個小三角形內(nèi)的數(shù)相加的和相等，并且使五個數(shù)的和盡可能大，請問

該怎樣填？如果使五個數(shù)的和盡可能小，又該怎樣填？

圖32

分析與解靠近大三角形三條邊的5個數(shù)的和盡可能大的填法如圖33中的左

圖；使5個數(shù)的和盡量小的填法如圖33中的右圖。

把靠近大三角形三條邊的5個數(shù)都加起來，就會發(fā)現(xiàn)，除每邊靠中間的那

三個數(shù)外，其余的數(shù)都重復(fù)相加了兩次。要想

圖33

使靠近大三角形每條邊的5個數(shù)的和相等，并且使和盡可能大，那么靠近

各邊中間的這三個數(shù)就應(yīng)該盡量小，當(dāng)然應(yīng)該填1、2,3。這時每條邊的5個數(shù)

之和為

[2X(1+2+3+……+9)-1-2-31^-3=28

同理，要使靠近大三角形三條邊的5個數(shù)的和相等，并且使和盡可能小，

則靠近各邊中間的這三個數(shù)就應(yīng)該盡量大，即這三個數(shù)應(yīng)是7、8、9