現(xiàn)代控制理論實(shí)驗(yàn)一

實(shí)驗(yàn)一、線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立以及線性變換

1實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

1.掌握線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。學(xué)會在MATLAB中建立狀態(tài)空間模型的

方法。

2.掌握傳遞函數(shù)與狀態(tài)空間表達(dá)式之間相互轉(zhuǎn)換的方法。學(xué)會用MATLAB實(shí)現(xiàn)不

同模型之間的相互轉(zhuǎn)換。

3.熟悉系統(tǒng)的連接。學(xué)會用MATLAB確定整個系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式和傳遞函數(shù)。

4.掌握狀態(tài)空間表達(dá)式的相似變換。掌握將狀態(tài)空間表達(dá)式轉(zhuǎn)換為對角標(biāo)準(zhǔn)型、

約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型、能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀測標(biāo)準(zhǔn)型的方法。學(xué)會用MATLAB進(jìn)行線性變換。

2實(shí)驗(yàn)步驟

已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

a)G(s)=S(S+I)2(S+3)

(1)建立系統(tǒng)的TF或ZPK模型。

(2)將給定傳遞函數(shù)用函數(shù)ss()轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間表達(dá)式。再將得到的狀態(tài)空間表達(dá)

式用函數(shù)tf()轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)，并與原傳遞函數(shù)進(jìn)行比較。

(3)將給定傳遞函數(shù)用函數(shù)jordants()轉(zhuǎn)換為對角標(biāo)準(zhǔn)型或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。再將得到的

對角標(biāo)準(zhǔn)型或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型用函數(shù)tf()轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)，并與原傳遞函數(shù)進(jìn)行比較。

(4)將給定傳遞函數(shù)用函數(shù)ctrlts()轉(zhuǎn)換為能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀測標(biāo)準(zhǔn)型。再將得到

的能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀測標(biāo)準(zhǔn)型用函數(shù)tf()轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù),并與原傳遞函數(shù)進(jìn)行比較。

1.已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式

a)%=[_°5「6〕*+Ri"y=[11卜

(1)建立給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。用函數(shù)eig()求出系統(tǒng)特征值。用函數(shù)tf()

和zpk()將這些狀態(tài)空間表達(dá)式轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)，記錄得到的傳遞函數(shù)和它的零極點(diǎn)。

比較系統(tǒng)的特征值和極點(diǎn)是否一致，為什么？

(2)用函數(shù)canon()將給定狀態(tài)空間表達(dá)式轉(zhuǎn)換為對角標(biāo)準(zhǔn)型。用函數(shù)eig()

求出系統(tǒng)特征值。比較這些特征值和(1)中的特征值是否一致，為什么？再用函數(shù)tf()

和zpk()將對角標(biāo)準(zhǔn)型或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)。比較這些傳遞函數(shù)和(1)中

的傳遞函數(shù)是否一致，為什么？

(3)用函數(shù)ctrlss()將給定的狀態(tài)空間表達(dá)式轉(zhuǎn)換為能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀測標(biāo)準(zhǔn)

型。用函數(shù)eig()求系統(tǒng)的特征值。比較這些特征值和(1)中的特征值是否一致，

為什么？再用函數(shù)tf()將它們轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)。比較這些傳遞函數(shù)和(1)中的傳遞

函數(shù)是否一致，為什么？

3.已知兩個子系統(tǒng)

5+1

G(s)=

s2+45+4

3s+5

G2(s)=

53+6s2+1Is+6

(1)建立兩個子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。求它們串聯(lián)、并聯(lián)、反饋連接時，整個系

統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。然后將所得傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型。

(2)將兩個子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型。求它們串聯(lián)、并聯(lián)、反

饋連接時，整個系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。然后將所得狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型。

比較(1)和(2)所得的相應(yīng)的結(jié)果。

(3)將(2)中所得的整個系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的系數(shù)矩陣與教材中推導(dǎo)出的整個

系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式的系數(shù)矩陣比較，是否符合？

3實(shí)驗(yàn)結(jié)果及其分析

1(a)G(S)=--------

'7S(S+1)2(S+3)

(1)建立系統(tǒng)的TF或ZPK模型。

命令行窗口

?num=4;

?den=[l5730];

?Gl=tf(num,den)

G1=

s4+5s3+7s2+3s

Continuous-timetransferfunction.

(3)將給定傳遞函數(shù)用函數(shù)ss()轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間表達(dá)式。再將得到的狀態(tài)空間表達(dá)

式用函數(shù)tf()轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)，并與原傳遞函數(shù)進(jìn)行比較。

?Gss=ss(Gl)

Gss=

A=

xlx2x3x4

X1~5-3.5-1.50

x22000

x30100

x4000.50

B=

ul

xl2

x20

x30

x40

C=?Gl=tf(Gss)

xlx2x3x4

yl0002Gl=

D=4

ul

yl0

s-4+5s*3+7s"2+3s

Continuous-tiiestate-spaceaodel.

Continuous-tiietransferfunction.

結(jié)論：所得結(jié)果與原傳遞函數(shù)相同

(3)將給定傳遞函數(shù)用函數(shù)jordants()轉(zhuǎn)換為對角標(biāo)準(zhǔn)型或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。再將得到的

對角標(biāo)準(zhǔn)型或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型用函數(shù)tf()轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)，并與原傳遞函數(shù)進(jìn)行比較。

?Gj=jordants(nui,den)

Gj=

?G2=tf(Gj)

G2=

D=4

ul

yl0s-4+5s'3+7s"2+3s

Continuous-tiiestate-space?odel.Continuous-timetransferfunction.

結(jié)論：所得結(jié)果與原傳遞函數(shù)相同

(4)將軍定傳遞函數(shù)用函數(shù)ctrlts()轉(zhuǎn)換為能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀測標(biāo)準(zhǔn)型。再將得到

的能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀測標(biāo)準(zhǔn)型用函數(shù)tf()轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)，并與原傳遞函數(shù)進(jìn)行比較。

命令行窗口

?Gc=ctrlts(num,den)

Gc=

A=

xlx2x3x4

xl0100

x20010

x30001

x40-3-7-5

B=

ul

xl0

x20

x30

x41

C=?G3=tf(Gc)

xlx2x3x4

G3=

yl4000

4

D=

uls-4+5s-3+7s*2+3s

yl0

Continuous-tiaetransferfunction.

Continuous-timestate-spacemodel.

結(jié)論：所得結(jié)果與原傳遞函數(shù)相同

2(a)%=[_°5「6〕”+丫=[1"%

(1)建立給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。用函數(shù)eig()求出系統(tǒng)特征值。用函數(shù)tf()和

zpk()將這些狀態(tài)空間表達(dá)式轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)，記錄得到的傳遞函數(shù)和它的零極點(diǎn)。

比較系統(tǒng)的特征值和極點(diǎn)是否一致，為什么？

命令行竊LI

?A=[01;-5-6];

?B=[01?;

?C=[l1];

?D=0;

?G=ss(A,B,C,D)

G=

A=

xlx2

xl01

x2-5-6

B=

ul

xl0

x21

C=

xlx2

yl11

—?el=eig(G)

Ul

yl0el=

Continuous-timestate-spacemodel.~5

?G2=tf(G)

G2=

s+1

s'2+6s+5

Continuous-timetransferfunction.

?G3=zpk(G)

G3=

(s+1)

(s+1)(s+5)

Continuous-timezero/pole/gainmodel.

結(jié)論：系統(tǒng)的特征值和極點(diǎn)一致，因?yàn)榫€性變換不改變系統(tǒng)的特征值和極點(diǎn)。

(2)用函數(shù)canon()將給定狀態(tài)空間表達(dá)式轉(zhuǎn)換為對角標(biāo)準(zhǔn)型。用函數(shù)eig()求出

系統(tǒng)特征值。比較這些特征值和(1)中的特征值是否一致，為什么？再用函數(shù)tf()

和zpk()將對角標(biāo)準(zhǔn)型或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)。比較這些傳遞函數(shù)和(1)中

的傳遞函數(shù)是否一致，為什么？

?e2=eig(G4)

?G4=canon(G,'modal')

e2=

G4=

0000

-1.0000

A=

xlx2?G5=tf(G4)

X1-10

x20-5G5=

B=1

ul

xl0.559s+5

x21.346

Continuous-timetransferfunction.

C=

?G6=zpk(G4)

xlx2

yi00.7428G6=

D=1

ul

yi0(s+5)

Continuous-timestate-spacemodel.Continuous-timezero/pole/gainmodel.

結(jié)論：這些傳遞函數(shù)和(1)中的特征值一致，因?yàn)榫€性變換不改變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

(3)用函數(shù)ctrlss()將給定的狀態(tài)空間表達(dá)式轉(zhuǎn)換為能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀測標(biāo)準(zhǔn)型。

用函數(shù)eig()求系統(tǒng)的特征值。比較這些特征值和(1)中的特征值是否一致，為什

么？再用函數(shù)tf()將它們轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)。比較這些傳遞函數(shù)和(1)中的傳遞函數(shù)

是否一致，為什么？

?G7=ctrlss(A,B?,C,D)

G7=

A=

xlx2

xl01

x215-6?e3=eig(G7)

B=e3=

ul

xl0-1

x21-5

C=?G8=tf(G7)

xlx2

yl11G8=

D=s+1

ul

yl0s2+6s+5

Continuous-timestate-spacemodel.Continuous-timetransferfunct

結(jié)論：這些傳遞函數(shù)和（1）中的特征值一致，因?yàn)榫€性變換不改變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

3.已知兩個子系統(tǒng)

5+1

G(s)=

t52+45+4

3s+5

G(.V)=

2.y3+6s2+1l.v+6

（1）建立兩個子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。求它們串聯(lián)、并聯(lián)、反饋連接時，整個系

統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。然后將所得傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型。

?numl=[l1];

?denl=[l44];

?num2=[35];

?den2=[l6116];

?[num3,den3]=series(numl,deni,num2,den2)?Gtfl=tf(numl,deni)

nua3=

Gtf1=

000385

s+1

1

s*2+4s+4

den3=

Continuous-timetransferfunction.

11039746824

?G3=tf(num3,den3)?Gt2=tf(num2,den2)

G3=Gt2=

3s-2+8s+53s+5

s-5+10s"4+39s~3+74s”+68s+24s〃3+6s-2+11s+6

Continuous-timetransferfunction.Continuous-timetransferfunction.

Al_-I-Al_?u.'inu/X?

>>[num4,den4J=parallel(numl,deni,num2,den2)

num4=

0110344926

den4=

11039746824

?G4=tf(num4,den4)

G4=

s4+10s*3+34s2+49s+26

s*5+10s4+39s3+74s~2+68s+24

Continuous-timetransferfunction.

?Gss3=ss(G3)

Gss3=

A=

xlx2x3x4x5

xl-10-4.875-2.313-1.063-0.75

x280000

x304000

?Inui5,den5]=feedback(num1,deni,num2,den2)

x400200

x50000.50

nun5=

B=

01717176

ul

xl0.5

x20

den5=x30

x40

11039777629x50

?G5=tf(num5,den5)C=

xlx2x3x4x5

G5=yi000.18750.250.3125

s"4+7s*3+17s*2+17s+6D=

ul

s"5+10SA4+39s*3+77s，2+76s+29yl0

Continuous-tiietransferfunction.Continuous-timestate-spacenodel.

?Gss5=ss(G5)

?Gss4=ss(G4)

Gss5=

Gss4=

A=

A=xlx2x3x4x5

xlx2x3x4x5

xl-10-4.875-2.406-1.188-0.9063

xl-10--4.875-2.313-1.063-0.75

x280000

x280000

x304000

x304000

x400200

x400200

x50000.50

x50000.50

B=

B=

U1

U1

xl2

xl2

x20x20

x30x30

x40x40

x50x50

C=C=

xlx2x3x4x5xlx2x3x4x5

yi0.50.6250.53130.38280.4063yi0.50.43750.26560.13280.09375

D=D=

U1ul

yi0yi0

Continuous-tinestate-space?odel.Continuous-tinestate-spacemodel.

（2）將兩個子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型。求它們串聯(lián)、并聯(lián)、反

饋連接時，整個系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。然后將所得狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型。

比較（1）和（2）所得的相應(yīng)的結(jié)果。

?Gss2=ss(Gtf2)

wxxLiiiuuudtimedpacewuuci.

Gss2=

>>Gssl=ss(Gtfl)

A=

Gssl=

xlx2x3

xl一6-2.75-1.5

A=

x2400

xlx2

x3010

xl-4-2

x220

B=

B=ul

ulxl2

xl1x20

x20x30

I

1

C=C=

xlx2xlx2x3

yl10.5yi00.3750.625

D=D=

ulul

yl0yi0

Continuous-timestate-spacemodel.Continuous-timestate-spacemodel.

?Gss3=Gssl*Gss2

?Gss4=Gssl-*Gss2

Gss3=

Gss4=

A=A=

xlx2x3x4x5xlx2x3x4x5

xl-4-200.3750.625xl-4-2000

x220000x220000

x300一6-2.75-1.5x300-6-2.75-1.5

x400400x400400

x500010x500010

B=

B=

ul

ul

xl1

xl0

x20

x20

x32

x32x40

x40x50

x50

C=

C=xlx2x3x4x5

xlx2x3x4x5yi10.500.3750.625

yl10.5000

D=

ul

D=

yl0

ul

yl0

Continuous-tinestate-spacemodel.