浙大版概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

浙大版概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)匯報(bào)人：AA2024-01-19目錄contents概率論基本概念一維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念與方法方差分析與回歸分析初步隨機(jī)過程初步知識(shí)概率論基本概念01樣本空間與事件事件必然事件樣本空間的子集，即某些可能結(jié)果的集合。包含樣本空間中所有樣本點(diǎn)的事件。樣本空間基本事件不可能事件所有可能結(jié)果的集合，常用大寫字母S表示。只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件。不包含任何樣本點(diǎn)的事件。概率定義及性質(zhì)概率定義在給定條件下，某一事件A發(fā)生的可能性大小，記為P(A)。概率性質(zhì)非負(fù)性、規(guī)范性（必然事件的概率為1）、可加性（互斥事件的概率和）。在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，記為P(A|B)。如果事件A的發(fā)生與否對(duì)事件B的發(fā)生概率沒有影響，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立。條件概率與獨(dú)立性事件的獨(dú)立性條件概率全概率公式如果事件B1,B2,...,Bn構(gòu)成一個(gè)完備事件組，且都有正概率，則對(duì)任意一個(gè)事件A，有P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)。貝葉斯公式在全概率公式的條件下，可以進(jìn)一步求得事件Bi已發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，即P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)/P(A)。全概率公式與貝葉斯公式一維隨機(jī)變量及其分布02設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，集合{ω|X(ω)≤x}都是一個(gè)隨機(jī)事件，則稱定義在樣本空間S上的實(shí)值函數(shù)X(ω)為隨機(jī)變量。定義根據(jù)隨機(jī)變量可能取值的性質(zhì)不同，可分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量?jī)深悺７诸愲S機(jī)變量定義及分類0102030-1分布隨機(jī)變量X只可能取0和1兩個(gè)值，且P{X=1}=p,P{X=0}=1-p，其中0<p<1。二項(xiàng)分布在n次獨(dú)立重復(fù)的伯努利試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率服從二項(xiàng)分布，記為B(n,p)。泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取值為0,1,2,...，且P{X=k}=(λ^k/k!)e^(-λ)，k=0,1,2,...，其中λ>0是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布。離散型隨機(jī)變量分布律均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度若連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度f(x)=1/(b-a)，a≤x≤b，則稱X在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布。若連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度f(x)=λe^(-λx)，x>0，其中λ>0是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)=(1/√(2πσ^2))e^[-(x-μ)^2/(2σ^2)]，x∈R，其中μ和σ^2為常數(shù)，且σ>0，則稱X服從參數(shù)為μ和σ^2的正態(tài)分布。隨機(jī)變量函數(shù)分布設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布律為P{X=x_k}=p_k，k=1,2,...。若Y=g(X)是X的函數(shù)，則Y也是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布律可以通過X的分布律求得。離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f_X(x)，若Y=g(X)是X的連續(xù)函數(shù)，且g(x)在X的取值范圍內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)，則Y也是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度可以通過X的概率密度和函數(shù)g(x)求得。連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布多維隨機(jī)變量及其分布03聯(lián)合分布函數(shù)描述多維隨機(jī)變量取值情況的函數(shù)，表示所有隨機(jī)變量同時(shí)取某組值的概率。聯(lián)合分布律離散型多維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律，通過概率質(zhì)量函數(shù)表示。聯(lián)合概率密度連續(xù)型多維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布，通過概率密度函數(shù)表示。多維隨機(jī)變量聯(lián)合分布03條件概率密度函數(shù)連續(xù)型多維隨機(jī)變量在給定條件下，剩余隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。01邊緣分布從多維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布中，提取出某一維隨機(jī)變量的分布。02條件分布在多維隨機(jī)變量中，已知部分隨機(jī)變量的取值，求其他隨機(jī)變量的分布。邊緣分布與條件分布變換法通過多維隨機(jī)變量的函數(shù)關(guān)系，求新隨機(jī)變量的分布。特征函數(shù)法利用特征函數(shù)求解多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布。卷積公式針對(duì)兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和的分布求解方法。多維隨機(jī)變量函數(shù)分布相關(guān)系數(shù)衡量多維隨機(jī)變量之間線性相關(guān)程度的統(tǒng)計(jì)量。協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的關(guān)系協(xié)方差反映多維隨機(jī)變量之間的總體誤差，相關(guān)系數(shù)是協(xié)方差的標(biāo)準(zhǔn)化形式，消除了量綱的影響。獨(dú)立性多維隨機(jī)變量中各分量相互獨(dú)立，一個(gè)分量的取值不影響其他分量的取值。獨(dú)立性及相關(guān)性數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念與方法04研究對(duì)象的全體個(gè)體組成的集合，通常用一個(gè)概率分布來描述?？傮w從總體中隨機(jī)抽取的一部分個(gè)體組成的集合，用于推斷總體的性質(zhì)。樣本樣本中包含的個(gè)體數(shù)目，通常用n表示。樣本容量總體與樣本概念介紹統(tǒng)計(jì)量樣本的函數(shù)，用于描述樣本的特征，如樣本均值、樣本方差等。要點(diǎn)一要點(diǎn)二統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)包括無偏性、有效性和一致性等，用于評(píng)價(jià)統(tǒng)計(jì)量的優(yōu)劣。統(tǒng)計(jì)量及其性質(zhì)點(diǎn)估計(jì)用一個(gè)具體的數(shù)值來估計(jì)總體參數(shù)的方法，如樣本均值估計(jì)總體均值。區(qū)間估計(jì)根據(jù)樣本信息構(gòu)造一個(gè)置信區(qū)間，以一定概率包含總體參數(shù)的真值。參數(shù)估計(jì)方法VS先對(duì)總體參數(shù)提出一個(gè)假設(shè)，然后根據(jù)樣本信息判斷假設(shè)是否成立。假設(shè)檢驗(yàn)步驟包括建立假設(shè)、選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、確定拒絕域、計(jì)算p值和作出決策等步驟。假設(shè)檢驗(yàn)原理假設(shè)檢驗(yàn)原理及步驟方差分析與回歸分析初步05方差分析基本原理通過比較不同組別間方差的大小，判斷各因素對(duì)結(jié)果的影響是否顯著。方差分析的應(yīng)用場(chǎng)景適用于多個(gè)總體均值是否相等的假設(shè)檢驗(yàn)問題，如醫(yī)學(xué)、農(nóng)業(yè)、工業(yè)等領(lǐng)域的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析。方差分析的前提條件各總體應(yīng)服從正態(tài)分布，且各組內(nèi)的觀察值相互獨(dú)立，具有相同的方差。方差分析原理及應(yīng)用030201回歸分析基本原理通過建立自變量與因變量之間的回歸方程，描述兩者之間的依存關(guān)系，并用于預(yù)測(cè)和控制?；貧w分析的應(yīng)用場(chǎng)景適用于研究變量間相關(guān)關(guān)系的問題，如經(jīng)濟(jì)學(xué)中的需求與價(jià)格關(guān)系、醫(yī)學(xué)中的疾病與危險(xiǎn)因素關(guān)系等?；貧w分析的分類根據(jù)自變量的個(gè)數(shù)可分為一元回歸和多元回歸；根據(jù)因變量的類型可分為線性回歸和非線性回歸?；貧w分析原理及應(yīng)用線性回歸模型的檢驗(yàn)包括模型的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)（如R方值）、參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)（如t檢驗(yàn)和F檢驗(yàn)）以及模型的穩(wěn)定性檢驗(yàn)等。線性回歸模型的預(yù)測(cè)利用建立的模型對(duì)新的自變量數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到相應(yīng)的因變量估計(jì)值。線性回歸模型的建立通過最小二乘法等方法估計(jì)模型參數(shù)，建立自變量與因變量之間的線性關(guān)系式。線性回歸模型建立與檢驗(yàn)非線性回歸模型的概念當(dāng)自變量與因變量之間呈現(xiàn)非線性關(guān)系時(shí)，需要采用非線性回歸模型進(jìn)行擬合。非線性回歸模型的建立通過選擇合適的非線性函數(shù)形式，采用迭代算法等方法估計(jì)模型參數(shù)。非線性回歸模型的檢驗(yàn)與線性回歸模型類似，需要進(jìn)行模型的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)、參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)以及模型的穩(wěn)定性檢驗(yàn)等。非線性回歸模型簡(jiǎn)介隨機(jī)過程初步知識(shí)06隨機(jī)過程是一族隨時(shí)間變化的隨機(jī)變量，用于描述隨機(jī)現(xiàn)象的動(dòng)態(tài)演變。根據(jù)隨機(jī)過程的性質(zhì)，可將其分為平穩(wěn)過程、馬爾可夫過程、鞅過程等。隨機(jī)過程的定義隨機(jī)過程的分類隨機(jī)過程定義及分類馬爾可夫鏈基本概念對(duì)于馬爾可夫鏈，若存在某一狀態(tài)，使得從其他任意狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)過足夠長(zhǎng)的時(shí)間后均可達(dá)到該狀態(tài)，則稱該狀態(tài)為平穩(wěn)分布或極限分布。平穩(wěn)分布與極限分布馬爾可夫鏈?zhǔn)且环N特殊的隨機(jī)過程，具有“無后效性”，即未來狀態(tài)只與當(dāng)前狀態(tài)有關(guān)，而與過去狀態(tài)無關(guān)。馬爾可夫鏈定義描述從一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一個(gè)狀態(tài)的概率，通常表示為轉(zhuǎn)移概率矩陣。馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率平穩(wěn)過程是一類特殊的隨機(jī)過程，其統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間變化。具體來說，若一個(gè)隨機(jī)過程的任意有限維分布函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，則稱該過程為平穩(wěn)過程。平穩(wěn)過程的定義遍歷性定理是平穩(wěn)過程的一個(gè)重要性質(zhì)，它指出平穩(wěn)過程的時(shí)間平均與空間平均在概率意義下相等。這一性質(zhì)在信號(hào)處理、控制系統(tǒng)等領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用。遍歷性定理平穩(wěn)過程與遍歷性定理時(shí)間序列的定義時(shí)間序列是指按時(shí)間順序排列的一組數(shù)據(jù)，通常用于描述某個(gè)隨機(jī)變量隨時(shí)間變化的情況。時(shí)間序列