《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》講義

匯報人：AA2024-01-19《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》講義延時符Contents目錄概率論基本概念隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布數(shù)理統(tǒng)計基本概念和方法常用統(tǒng)計分布及其性質(zhì)線性回歸分析與方差分析初步延時符01概率論基本概念123所有可能結(jié)果的集合，常用大寫字母S表示。樣本空間樣本空間的子集，即某些可能結(jié)果的組合。常用大寫字母A、B等表示。事件只包含一個樣本點(diǎn)的事件，其概率為該樣本點(diǎn)發(fā)生的概率?；臼录颖究臻g與事件概率定義及性質(zhì)概率定義描述某一事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，取值范圍在0到1之間。概率性質(zhì)非負(fù)性、規(guī)范性（所有可能事件的概率之和為1）、可列可加性（互不相容事件的概率之和等于各事件概率之和）。在某一事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，另一事件A發(fā)生的概率，記作P(A|B)。如果兩個事件A和B的發(fā)生互不影響，即P(A|B)=P(A)且P(B|A)=P(B)，則稱事件A和B是相互獨(dú)立的。條件概率與獨(dú)立性獨(dú)立性條件概率全概率公式如果事件B1、B2、...、Bn構(gòu)成一個完備事件組，且都具有正概率，則對任一事件A，有P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)。貝葉斯公式在全概率公式的條件下，可以求出某一事件Bi已發(fā)生的條件下，另一事件A發(fā)生的概率，即P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)/[P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)]。全概率公式與貝葉斯公式延時符02隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量定義隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)，它將樣本空間中的每一個樣本點(diǎn)映射到一個實(shí)數(shù)。隨機(jī)變量分類根據(jù)取值的不同，隨機(jī)變量可分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量取值為有限個或可列個，而連續(xù)型隨機(jī)變量取值充滿某個區(qū)間。隨機(jī)變量概念及分類離散型隨機(jī)變量的分布律描述了隨機(jī)變量取各個值的概率。分布律定義包括0-1分布、二項分布、泊松分布等。這些分布具有不同的特點(diǎn)和適用場景，例如二項分布適用于n次獨(dú)立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，泊松分布適用于描述單位時間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)。常見離散型隨機(jī)變量分布離散型隨機(jī)變量分布律連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)是一個非負(fù)可積函數(shù)，它描述了隨機(jī)變量在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率分布情況。概率密度函數(shù)定義包括均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等。這些分布具有不同的概率密度函數(shù)和特性，例如正態(tài)分布具有鐘形曲線，適用于描述許多自然現(xiàn)象的概率分布情況。常見連續(xù)型隨機(jī)變量分布連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度函數(shù)隨機(jī)變量函數(shù)分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布描述了由隨機(jī)變量經(jīng)過某種函數(shù)變換后得到的新隨機(jī)變量的分布情況。函數(shù)分布定義求隨機(jī)變量函數(shù)的分布通常涉及到對原隨機(jī)變量的取值范圍和概率密度函數(shù)進(jìn)行變換，并根據(jù)變換后的結(jié)果確定新隨機(jī)變量的分布類型和參數(shù)。在變換過程中，需要注意保持函數(shù)的單調(diào)性和可積性，以確保新隨機(jī)變量的分布是合理的。同時，不同函數(shù)變換下得到的隨機(jī)變量分布可能具有不同的特性和性質(zhì)。求法及性質(zhì)延時符03多維隨機(jī)變量及其分布VS對于離散型二維隨機(jī)變量，聯(lián)合分布律描述了每一個可能取值的概率，常用二維表格表示。聯(lián)合密度函數(shù)對于連續(xù)型二維隨機(jī)變量，聯(lián)合密度函數(shù)描述了隨機(jī)變量取值的概率分布情況，是一個二元函數(shù)。聯(lián)合分布律二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布律/密度函數(shù)離散型二維隨機(jī)變量的邊緣分布律是指固定一個變量的取值，另一個變量的概率分布情況。連續(xù)型二維隨機(jī)變量的邊緣密度函數(shù)是指對聯(lián)合密度函數(shù)進(jìn)行積分，得到一個變量的概率分布情況。邊緣分布律邊緣密度函數(shù)邊緣分布律/密度函數(shù)條件分布律在離散型二維隨機(jī)變量中，條件分布律描述了在已知一個變量取值的條件下，另一個變量的概率分布情況。要點(diǎn)一要點(diǎn)二條件密度函數(shù)在連續(xù)型二維隨機(jī)變量中，條件密度函數(shù)描述了在已知一個變量取值的條件下，另一個變量的概率分布情況。條件分布律/密度函數(shù)定義如果兩個隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律（或聯(lián)合密度函數(shù)）等于各自邊緣分布律（或邊緣密度函數(shù)）的乘積，則稱這兩個隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的。性質(zhì)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之間沒有相互影響，一個變量的取值不會影響到另一個變量的取值。相互獨(dú)立隨機(jī)變量延時符04數(shù)理統(tǒng)計基本概念和方法總體研究對象的全體個體組成的集合，通常用一個分布函數(shù)來描述。樣本從總體中隨機(jī)抽取的一部分個體組成的集合，用于推斷總體的性質(zhì)。統(tǒng)計量由樣本數(shù)據(jù)計算得到的用于描述樣本特征的量，如樣本均值、樣本方差等?？傮w、樣本和統(tǒng)計量概念矩估計法用樣本矩作為總體矩的估計值，通過求解方程組得到參數(shù)的估計值。最大似然估計法在已知總體分布的情況下，選擇使得樣本數(shù)據(jù)出現(xiàn)概率最大的參數(shù)值作為估計值。點(diǎn)估計方法（矩估計法和最大似然估計法）由樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造的一個區(qū)間，用于估計總體參數(shù)的取值范圍，同時給出該估計的可靠程度（置信水平）。置信區(qū)間基于樣本數(shù)據(jù)的分布特征，選擇合適的統(tǒng)計量并確定其分布，進(jìn)而計算置信區(qū)間的上下限。構(gòu)造方法區(qū)間估計方法（置信區(qū)間）參數(shù)假設(shè)檢驗對總體分布中的未知參數(shù)提出假設(shè)，通過構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量并根據(jù)顯著性水平進(jìn)行決策。非參數(shù)假設(shè)檢驗在總體分布未知或僅知道部分信息的情況下，通過比較樣本數(shù)據(jù)的分布特征進(jìn)行假設(shè)檢驗。常用的方法有符號檢驗、秩和檢驗等。假設(shè)檢驗方法（參數(shù)假設(shè)檢驗和非參數(shù)假設(shè)檢驗）延時符05常用統(tǒng)計分布及其性質(zhì)二項分布01描述n次獨(dú)立重復(fù)試驗中成功次數(shù)的概率分布。其概率質(zhì)量函數(shù)為C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)為組合數(shù)，表示從n個不同元素中取出k個元素的組合數(shù)，p為成功概率。泊松分布02描述單位時間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)的概率分布。其概率質(zhì)量函數(shù)為λ^k*e^(-λ)/k!，其中λ為單位時間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的平均次數(shù)，k為實(shí)際發(fā)生的次數(shù)。指數(shù)分布03描述連續(xù)型隨機(jī)變量中，兩個相鄰事件發(fā)生的時間間隔的概率分布。其概率密度函數(shù)為λ*e^(-λx)，其中λ為單位時間內(nèi)事件發(fā)生的次數(shù)，x為時間間隔。二項分布、泊松分布和指數(shù)分布正態(tài)分布描述影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機(jī)因素很多，而每一個因素所起的作用不太大，且各種因素的影響可以疊加的隨機(jī)現(xiàn)象。其概率密度函數(shù)為(1/(√(2π)σ))*e^(-((x-μ)^2/(2σ^2)))，其中μ為均值，σ為標(biāo)準(zhǔn)差。t分布用于根據(jù)小樣本來估計呈正態(tài)分布且方差未知的總體的均值。其概率密度函數(shù)與自由度df有關(guān)，形狀類似于正態(tài)分布但尾部更重?？ǚ椒植济枋鰇個獨(dú)立的服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量的平方和的概率分布。其概率密度函數(shù)與自由度df有關(guān)，形狀向右偏斜。正態(tài)分布、t分布和卡方分布F分布和均勻分布F分布用于比較兩個總體方差是否有顯著差異。其概率密度函數(shù)與兩個自由度df1和df2有關(guān)，形狀向右偏斜。均勻分布描述在某個區(qū)間內(nèi)所有取值等可能出現(xiàn)的隨機(jī)現(xiàn)象。其概率密度函數(shù)在區(qū)間[a,b]內(nèi)為常數(shù)1/(b-a)，在區(qū)間外為0。均勻分布與其他分布在某些特定條件下，均勻分布可以轉(zhuǎn)化為其他類型的統(tǒng)計分布。例如，通過對均勻分布的隨機(jī)變量進(jìn)行特定的變換，可以得到指數(shù)分布、正態(tài)分布等。二項分布與泊松分布當(dāng)二項分布的n很大而p很小時，二項分布近似于泊松分布。正態(tài)分布與t分布當(dāng)樣本量足夠大時，t分布近似于正態(tài)分布；當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差已知時，可用正態(tài)分布代替t分布進(jìn)行假設(shè)檢驗或置信區(qū)間估計?？ǚ椒植寂cF分布F分布的分子和分母分別服從自由度為df1和df2的卡方分布；當(dāng)df1和df2都很大時，F(xiàn)分布近似于卡方分布。各統(tǒng)計分布之間關(guān)系延時符06線性回歸分析與方差分析初步一元線性回歸模型描述兩個變量之間線性關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，形式為Y=β0+β1X+ε，其中Y為因變量，X為自變量，β0和β1為待估參數(shù)，ε為隨機(jī)誤差。最小二乘法用于估計一元線性回歸模型中的參數(shù)β0和β1，使得殘差平方和最小。具體步驟包括計算樣本均值、構(gòu)造正規(guī)方程組并求解得到參數(shù)估計值?；貧w方程的顯著性檢驗通過構(gòu)造F統(tǒng)計量進(jìn)行檢驗，判斷自變量X對因變量Y是否有顯著影響。一元線性回歸分析模型建立及參數(shù)估計多元線性回歸模型描述多個自變量與一個因變量之間線性關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，形式為Y=β0+β1X1+β2X2+...+βpXp+ε，其中Y為因變量，X1,X2,...,Xp為自變量，β0,β1,...,βp為待估參數(shù)，ε為隨機(jī)誤差。最小二乘法同樣適用于多元線性回歸模型的參數(shù)估計，通過最小化殘差平方和得到參數(shù)估計值。多重共線性問題當(dāng)自變量之間存在高度相關(guān)時，會導(dǎo)致參數(shù)估計不準(zhǔn)確。解決方法包括逐步回歸、主成分回歸等。010203多元線性回歸分析模型建立及參數(shù)估計通過比較不同組別間的差異與組內(nèi)差異的大小，判斷因素對結(jié)果是否有顯著影響。具體步驟包括建立假設(shè)、構(gòu)造統(tǒng)計量、進(jìn)行假設(shè)檢驗等。方差分析原理研究單一因素對結(jié)果的影響，如比較不同品種作物的產(chǎn)量差異。單因素方差分析研究多個因素對結(jié)果的影響及因素間的交互作用，如研究不同施肥量和灌溉量對作物產(chǎn)量的影響。多因素方差分析方差分析原理及應(yīng)用場景介紹包