山東省煙臺(tái)市2023屆高三年級上冊期末學(xué)業(yè)水平診斷數(shù)學(xué)

2022?2023學(xué)年度高三第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平診斷

數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.本試題滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘.

2.答卷前，務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題紙上.

3.使用答題紙時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰；超出答題區(qū)

書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

符合題目要求.

1,若集合3={小2…2<0},則45=()

A.1x|O<x<ljB.1x|0<x<l}

C.|x|0<x<2}D,{x|0<x<2j

【答案】D

【詳解】A=Hi=g=[O,+e),

—x—2Vo(x+l)(x—2)v0,/.—1<x<2

故8={巾2-x-2<o}=(-l,2),

AcB={x|0<x<2}.

故選：D.

2.已知。，beR,則““>b”的一個(gè)充分不必要條件為()

A.a2>b2B.\na>\nb

11,

C.->-D.T>2b

ba

【答案】B

【詳解】選項(xiàng)A：取a=—2,b=\,滿足/>〃，但a>b不成立，A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：由對數(shù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性可知若lna>lnb,則。>6；若a>6,Ina,In匕可能無意義，所以

lna>ln人是。>6的充分不必要條件，B正確；

選項(xiàng)C：取a=-2,h=\,滿足，>?!■,但”>b不成立，C錯(cuò)誤；

ba

選項(xiàng)D：由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得若2">2"，則。>6；若則2">2"，所以2">2”是。>人的充要

條件，D錯(cuò)誤；

故選：B

3.過點(diǎn)（0,3）且與曲線y=d-2x+l相切的直線方程為（）

A.x-y-3=0B.x-y+3=0

C.x+y+3=0D.x+y-3=Q

【答案】B

【詳解】由y=d—2x+l,貝|」y=3/一2，

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（面，%3-2x0+l）,則切線的斜率々=3/2—2,切線方程為

32

y-（x0-2x0+1）=（3x0-2）（x-x0）,

由切線過點(diǎn)（0,3）,代入切線方程解得升=-1,則切線方程y—2=x+l,即x-y+3=0.

故選：B

4.米斗是古代官倉、米行等用來稱量糧食的器具，鑒于其儲(chǔ)物功能以及吉祥富足的寓意，現(xiàn)今多在超市、

糧店等廣泛使用.如圖為一個(gè)正四棱臺(tái)形米斗（忽略其厚度），其上、下底面正方形邊長分別為30cm、

20cm,側(cè)棱長為5"lcm，若將該米斗盛滿大米（沿著上底面刮平后不溢出），設(shè)每立方分米的大米重0.8

千克，則該米斗盛裝大米約（）

A.6.6千克B.6.8千克

C.7.6千克D.7.8千克

【答案】C

【詳解】設(shè)該正棱臺(tái)為ABC?！狝AG2,其中上底面為正方形A8CD,取截面A4CC，如下圖所示:

易知四邊形441G。為等腰梯形，且AC=30夜，AG=2O0,A4=CG=5"T，

分別過點(diǎn)4、G在平面A4CC內(nèi)作A|EJ_AC,QFA.AC,垂足分別為點(diǎn)E、F,

由等腰梯形的幾何性質(zhì)可得M=CC,,又因?yàn)閆A.AE=NCQF,NAE4,=ZCFC）=90,

所以，RtAA^E^RtACQF,所以，AE=CF,

因?yàn)锳￡//AC,易知NEAG=/4所=NEFG=NAG尸=90,

lAC-EFr-

故四邊形4￡比為矩形，則瓦'=AG=20血，.?.AE=CF=—^—=5叵,

2

所以，AtE=slA^-AE=15,故該正四棱臺(tái)的高為15cm,

所以，V=1x(202+302+V202x302)x15=9500cm3,

所以，該米斗所盛大米的質(zhì)量為9.5x0.8=7.6kg.

故選：C.

22

5.設(shè)AB分別為橢圓C:5+A1（a〉。>0）的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，若F到直線AB的

a2b2

距離為b,則該橢圓的離心率為（）

A.B.6-1C.2/IzlD.&-1

22

【答案】A

【詳解】由題意可得A（-a,0）,8（0,。）,尸（c,0）,

所以直線AB的方程/為上心=士上，整理得ay-笈一"=0,

Q-b-a-Q

\-ch-ab\ch+ab

=b,所以①，

所以尸到直線AB的距離d=j2+（點(diǎn)~~J《+/c+a=G7K

又因?yàn)橥皥A中/=/+°2②，e=￡③，

a

所以聯(lián)立①②③得2e2+2e—1=0,解得e=："聲

2

又因?yàn)閑>0,所以e=1二L

2

故選：A

6.勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作

一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.在如圖所示的勒洛三角形中，已知A8=2，P為

弧AC上的點(diǎn)且NP8C=45°,則8PCP的值為（）

A.4-72B.4+72

C.4-272D.4+2血

【答案】C

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，為X軸，垂直于3c方向?yàn)閥,建立平面直角坐標(biāo)系，

因?yàn)镹PBC=45°,PB=2,所以P（2cos45,2sin45）,即尸（0,0）,

且B（0,0）,C（2,0）,所以3尸=（夜,夜）,CP=（四—2,垃），

所以BP?CP=2—2&+2=4-2夜，

故選:C.

7.過直線2x-y+l=0上一點(diǎn)尸作圓（x-2『+y2=4的兩條切線帖,PB,若PAPB=O,則點(diǎn)P的

橫坐標(biāo)為（）

A.OB.-C.±-D.

55-5

【答案】D

【詳解】如下圖，過直線2x-y+l=0上一點(diǎn)p作圓（x-2y+y2=4的兩條切線Q4,PB,

設(shè)圓心C（2,0）,連接AC,C6,PA±AC,PB±BC,

可得=PAPB=Q）則ZAPC=NBPC=45°,

所以|P4|=|Aq=2,所以|PC|=JF萬=2&,

因?yàn)辄c(diǎn)P在直線2x-y+l=0上，

所以設(shè)P（a,2a+1）,C（2,0）,

|PC\=^（a-2）2+（2a+l）2=272，解得：。=±孚.

—8sinx,----<x<0

為偶函數(shù)，且〃x）=|2;函數(shù)

H-f（X-7T）,X>0

乃

g(x)=lgx+],則當(dāng)xc[-4乃,3旬時(shí)，函數(shù)y="x)-g(x)的所有零點(diǎn)之和為()

A.-7%B.—6〃C.---D.—3〃

2

【答案】A

【詳解】因?yàn)?(X-]]為偶函數(shù)，所以/(X)關(guān)于％=對稱,

所以當(dāng)xe（-辦0）時(shí)，/（x）=—8sinx,

當(dāng)％￡（0,4）時(shí)，％-%￡（一巴0）,/（x）=^-[-8sin（1-"）]=4sinx,

當(dāng)了￡（冗,2兀）時(shí)，了一萬￡（0,4）,/（x）=^-[4sin（x-^-）]=-2sinx,

當(dāng)x￡（2?,3%）時(shí)，x-?！辏ㄘ?2兀）,/（%）=^?[-2sin（x-zr）]=sinx,

當(dāng)xe(—4,0)時(shí)，x+乃e(0,乃)，/(x)=；?[-8sin(x+?)]=4sinx,

函數(shù)g(x)=lgx+g為y=愴國的圖象向左平移3個(gè)單位,

2

〃x),g(x)的圖象如下圖所示,

/(x),g(x)均關(guān)于彳=-］對稱，/(x),g(x)有14個(gè)交點(diǎn)，

所以函數(shù)y=〃x)—g(x)的所有零點(diǎn)之和為：7卜、x2)=—7萬.

故選：A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.如圖是某正方體的平面展開圖，則在該正方體中()

A.A.BHC.DB.45//平面AC。

C.與C4所成角為60°

D.4B與平面AB。所成角的正弦值為且

3

【答案】BC

［詳解】將展開圖合成空間圖形如下圖并連接AR,CD,,AC,8,0,,

AD}//AD,AQ=AD,AD//BC,AD=BC,

：.ADJ/BC，ADI=BC,四邊形4BCD,為平行四邊形，A\B//CD\,

若A8〃G。，則CD|〃G。，顯然不成立，故A錯(cuò)誤,

AB//CD],CQ|U平面ACD1,48<2平面4。。|,

.?.43〃平面4。9，故B正確,

設(shè)正方體棱長為1,則￡>c=eg=耳°=血，故BQ為正三角形,

故NB|C￡)|=60°,而.?.AB與C4所成角為60°，故C正確,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1,

則A(l,0,0),C(0,1,0),4(1,1,1),4(1,0,1),30,1,0),

則AC=(T,l,0),A4=(0,1,1),AB=(O,l,T),

AC-m=0

設(shè)平面A4c的一個(gè)方向量〃2=(x,y,z),則<

AjB-m=0

—X4~V=0

即《*八，令y=l,則x=l,z=-l,則加=?！?一1),

y+z=0

設(shè)48與平面ABC所成角為a，

m-AjB

則sina=cos,77,43)2一g,故D錯(cuò)誤.

WIIIAJBA/3X5/2

故選：BC.

10.已知函數(shù)/(x)=sinx-acosx(aeR)的圖象關(guān)于直線x=-5對稱，則()

6

A./(x)的最小正周期為2兀

■TTJT

B.“X)在一上單調(diào)遞增

C./(力的圖象關(guān)于點(diǎn)。,0卜稱

2幾

D.若/&)+/(』)=0,且/'(%)在(石/2)上無零點(diǎn)，則歸+引的最小值為W

【答案】ACD

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=sinx-acosx(aeR)的圖象關(guān)于直線》=一;對稱，

所以/(0)=/(一])，即一a=sin[-1)-acos(-]),解得a=,

/(x)=sinx-V3cosx=2gsinx一等cosx=

對于A,T=2五,故A正確；

兀7T7C2兀27r7T

對于B,xG—,所以工一可￡—~-,0,因?yàn)閥=sinx在入￡——,—~,上單調(diào)遞減，在

xe,0上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤;

2

對于C,7[；J=2sin[；-?!)=(),故C正確；

對于D,若于(％)+/(電)=0,則25始1-三)=一2§1“九2-三)=2$|-赴+三)，

[I]I

可得不————%2+Q+k"Jl或者X]————X>+—4-7T+kit,%￡Z,

27t._?57t..

X+"2=—或玉+/=,%￡Z,

且/'(x)=2cos[x-T的半周期為兀，在(玉,々)上無零點(diǎn)，則氏+馬|的最小值為會(huì)，故D正確.

故選：ACD.

11.已知。>0,b>0,且Q+2/?=1,貝IJ()

,111—

A.ab<—B.—H----->4

8a+l

C.sin6/2+2/?<1D.in。一e-"v-l

【答案】ACD

【詳解】a>0,b>0,且a+2b=l,

所以"竺]=-,故選項(xiàng)A正確；

2212J8

(1]]]+2b+J[a+(2"1)]2b+1a6,

-+----=---------乙-----------=1+-----+----+1>2<2+2=4

\a2b+\)2a2b+1

故選項(xiàng)B正確；

要證sin/+2b<l>

證sina2<1-2/7>

即證sina2<a，

由a>0,b>0,且a+?=1,知0<a<i,

所以/(a)=a-sina2>a2-sina2>0,

故選項(xiàng)C正確；

要證lna-e-2"<-l,

即證lna+1<e"T，

因?yàn)閘nx〈x-l<x<x+l〈e*，

所以lna+lWa4ea-1，

前后取得等號(hào)條件分別是a=0和a=1,

所以不同時(shí)取得等號(hào)，故D選項(xiàng)正確；

故選：ACD.

12.已知過拋物線Uy?=4x焦點(diǎn)F的直線/交C于A3兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于點(diǎn)M,其中8點(diǎn)在線段

AML,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線/的斜率為左，則()

A.當(dāng)k=1時(shí)，|AB|=8B.當(dāng)k=2萬時(shí)，忸M=

C,存在〃使得NAOB=90D.存在上使得乙4OB=120°

【答案】ABD

【詳解】對于選項(xiàng)A.當(dāng)k=l吐過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)"1,0)的直線方程為：y=x-l,設(shè)該直線

與拋物線交于A(x，yJ,8(看,必)兩點(diǎn)，

y=x—1

聯(lián)立方程組42,，整理可得：——6x+l=0,則玉+々=6,

y=4x

由拋物線的定義：|AB|=X|+X2+p=6+2=8,故A正確.

對于選項(xiàng)B.當(dāng)k=26時(shí)，過拋物線V=4x的焦點(diǎn)尸(1,0)的直線方程為：y=2及(x-l),設(shè)該

直線與拋物線交于A(%,X),3(/,%)兩點(diǎn)，

聯(lián)立方程組['=2夜"-1)整理可得：2/一5%+2=0,則為=2,工2=1，則%+電=1，

y=4x22

所以A(2,20),8(；,—0),由拋物線的定義:|48|=%+占+。=|+2=|,

又因?yàn)橹本€丁=2&“一1)與拋物線的準(zhǔn)線x=-l交于點(diǎn)M(-1,-4V2),

則怛=1—J+(T忘+血)2=|,即IBM|=|故B正確.

對于選項(xiàng)C.設(shè)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)廠(L0)的直線方程為：y=Hx-l)與拋物線交于

兩點(diǎn)，聯(lián)立方程組yy2_4x，整理可得：

Kx~—(2々~+4)x+&~=0,則%+/=2H—Xj%2=1,

=爐(七-1)(/_1)=公[5工2一(西+/)+1]=k[l_2-'+l)=-4,

所以玉々+乂必=1-4=一3.若ZAOB=90,則。4?03=%％+乂％=0,故不存在左，使得

ZAOB=90，故C不正確.

對于選項(xiàng)D.設(shè)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(l,0)的直線方程為：y=k(x-l)與拋物線交于

人（石,乂）,3（孫％）兩點(diǎn)，

聯(lián)立方程組《,整理可得：及2X2一（2《+4）》+公=0,則%+/=2+記,玉/=1，

X%=公（％-1）（%,-1）=E一（%+^2）+1]=^[1-2—^+1U-4,

OA-OB1一一.

若ZAOB=120°,因?yàn)?=一3，cosNAOB=^j^pj^^=-5,即|。4|-|。8|=6,

則（再2+才）（,+父）=36,即:（片+4%乂4+4巧）=36,可得:石/（石+4）（馬+4）=36,

即：xlx2[xlx2+4（^+x,）+16]=36,IJIIJlx[l+8+[+16）=36,解得：公=與,解得：

k=±-----?

11

故存在人使得4408=120°,故D正確;

故選：ABD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知2"=3"=6，則‘+'=.

ab

【答案】1

【詳解】由2"=3"=6可知a=log26,b=log,6,

所以1+：=log62+log63=log66=L

ab

故答案為：1

14.已知向量a=（sin6,cos8）,力=（3,1）,若a〃b,則sin?6+sin26的值為.

3

【答案】-

2

【詳解】已知向量a=（sinacos9）,/?=（3,1）,若?！ㄕ?，則有sin6=3cose,

sin29+2sinecos69cos26+6cos2。153

/.sin2+sin26=

sin2<9+cos209cos2<9+cos20To2

3

故答案為：—■

2

15.“0,1數(shù)列”是每一項(xiàng)均為?；?的數(shù)列，在通信技術(shù)中應(yīng)用廣泛?設(shè)A是一個(gè)“0,1數(shù)列''，定義數(shù)列/(A)：

數(shù)列A中每個(gè)0都變?yōu)椤?,0,1”,A中每個(gè)1都變?yōu)椤?,1,0”，所得到的新數(shù)列.例如數(shù)列A：1,0,

則數(shù)列/(A)：0,1,0,1,0,1.已知數(shù)列A：1,0,1,0,1,記數(shù)列4+i=/(4)，k=l,2,3,

則數(shù)列A,的所有項(xiàng)之和為.

【答案】67

【詳解】依題意，可知經(jīng)過一次變換Af/(A),每個(gè)1變成3項(xiàng)，其中2個(gè)0,1個(gè)1；每個(gè)0變成3

項(xiàng)，其中2個(gè)1,1個(gè)0,

因?yàn)閿?shù)列A：1,0,1,0,1,共有5項(xiàng)，3個(gè)1,2個(gè)0,

所以&=/(4)有5x3項(xiàng)，3個(gè)1變?yōu)?個(gè)0,3個(gè)1；2個(gè)。變?yōu)?個(gè)1,2個(gè)0；故數(shù)列&中有7個(gè)1,

8個(gè)0；

A=〃4)有5x32項(xiàng)，7個(gè)1變?yōu)?4個(gè)0,7個(gè)1；8個(gè)。變?yōu)?6個(gè)1,8個(gè)0；故數(shù)列A3中有23個(gè)1,

22個(gè)0；

4=/(4)有5x33項(xiàng)，23個(gè)1變?yōu)?6個(gè)0,23個(gè)1；22個(gè)0變?yōu)?4個(gè)1,22個(gè)0；故數(shù)列中有67

個(gè)1,68個(gè)0；

所以數(shù)列A的所有項(xiàng)之和為67.

故答案為：67.

16.在直四棱柱ABCD-A耳GR中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱A4,=2,M為側(cè)棱8片的

中點(diǎn)，N在側(cè)面矩形內(nèi)(異于點(diǎn)R),則三棱錐N-MC。體積的最大值為.

【答案】4##0-5

【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

C(O,1,O),M(1,1,1),/),(O,O,2),7V(x,O,z)(0<x<l,0<z<2),

且x=0和z=2不同時(shí)成立，

CM=(1,0,1),CD,=(0,-1,2),MR=(-l,-l,l)

因?yàn)镋M=V2,|cr>,|=網(wǎng)叫|=百,

所以有CM2+MD：=CD：,

所以..MC。是直角三角形，于是S=

MCLJ)22

設(shè)平面MCQ的法向量為〃=(%,%,zj,

nCM=0[x.+z,=0

因此有<=>{'c，

z?CD,=0Lx+2Z|=0

取X|=-l,則x=2,Z1=l,則”=(-1,2,1)

NDt=(-x,0,2-z),設(shè)點(diǎn)N到平面MCA的距離為d，

尸一

三棱錐N—MCQ體積為V=+'W述=k—z+2],

3n26

因?yàn)?WxWl,0WzW2,

所以當(dāng)x=l,z=0時(shí)，丫有最大值，顯然滿足x=0和z=2不同時(shí)成立，

即v=LM=1,

max62

故答案為：g

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在上A3C中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,月.acosC+csinA=〃.

(1)求A；

(2)若43=2。己，80=3,求.ABC面積的最大值.

JT

【答案】(1)A=一

⑵27（及+1）

8

【小問1詳解】

由正弦定理可得sinAcosC+sinAsinC=sin5,

因?yàn)锳+3+C=zr,所以sinACOSC+sinAsinC=sin（A+C）,

即sinAcosC+sinAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

整理得：sinAsinC=cosAsinC,

因?yàn)镺VCVTI,所以sinCwO,所以tanA=l,

71

因?yàn)?<A<7i,所以A=—.

4

【小問2詳解】

在△ABO中，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2-2ABADcosA

即9=AB2+AD2-CABAD>（2-^2）ABAD,

整理得,46ADW9（2+C），當(dāng)且僅當(dāng)AB=4）時(shí)，等號(hào)成立?

2

所以SA",>=,A3.A°sinP=在A3.A￡）M^t^^，

2444

因?yàn)?。=2。。，所以s<27（，+1）,

“△A6C-2△AfiD—g

所以ABC面積的最大值為27（、反+1）

8

18.己知數(shù)列｛4｝和也｝的各項(xiàng)均不為零，S,是數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和，且偽=2%=2,ana?+l=2S?,

九”“=〃"+“，用,〃eN*.

（1）求數(shù)列｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)c.=anbn,求數(shù)列｛c.｝的前”項(xiàng)和T?.

【答案】（1）a?=n,b?=2"

（2）（=（〃-l）x2”“+2

【小問1詳解】

因?yàn)?4+1=25"（"eN*）,所以an_｝an=2Sn_^n>2）,

兩式相減得an（4+i-％）=2a“（n>2）.

又因?yàn)閍“wO,所以見+]—?！盻]=2（"N2）,

所以數(shù)列｛4,T｝和｛4”｝都是以2為公差的等差數(shù)列.

因?yàn)?=1,所以在a,""+[=2S“中，令〃=1,得%=2,

所以%a=1+2（〃-1）=2〃-1,02n=2+（〃一l）x2=2〃，

所以4=〃.

b

對于數(shù)列出｝,因?yàn)?+1=4也,=2?！埃遗?,所以十^Z^eN*),

un

所以數(shù)列｛a｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以勿=2".

【小問2詳解】

由2”，

有7；=1x2+2x2?+3x23+...+〃x2",

27；,=1X22+2X23+3X24+.+(n-l)x2n+HX2,,+1,

兩式相減得，一[=2+22++2〃一〃*2'-=2；2；一”2'm=一2—(〃—1)-2'向，

所以7；=(/1—1*2向+2.

19.如圖，&ABC是以為斜邊的等腰直角三角形，△BCD是等邊三角形，BC=2,AD=S.

(1)求證：BC1AD；

(2)求平面說與平面8C。夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；

⑵返.

31

【小問1詳解】

取3c中點(diǎn)0,連接Q4,0D,

因?yàn)橐籄BC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，所以。4_13c.

因?yàn)椤?8是等邊三角形，所以±BC.

OA~OD^O,Q4u平面AOD,ODu平面AOD,

所以8c1平面A8.

因?yàn)锳Du平面AOD，故BC_LAO.

【小問2詳解】

在△A0￡＞中，40=1,OD=g，AD"，由余弦定理可得,

cosZAOD=--,故ZAOD=150°

2

如圖，以Q4,0B及過。點(diǎn)垂直于平面ABC的方向?yàn)閤,V,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系。一孫z,

(3⑸UULl

可得。＞0,--,所以8。j3㈤,CB=(0,2,0),A8=(-1,1,0),

[22J

設(shè)"=(X],X,4)為平面ABD的一個(gè)法向量,

x

n-AB=0~\+X=o

則《,即《3_'

n?BD-0--xy-y\+—zi=on

令x=6可得〃=(6,6,5).

設(shè)/W=(%2，y2，Z2)為平面8CQ的一個(gè)法向量,

2%=。

mCB=0

則《，即《

3工6_n

m?BD=0~~x2~yi+~zz=0

令兀2=6，可得加=(6,0,3).

3+0+153A/93

所以COS(/V力=

731x712-31

故平面他與平面BCD夾角的余弦值為孑叵.

31

20.某工廠擬建造如圖所示容器（不計(jì)厚度，長度單位：米），其中容器的上端為半球形，下部為圓柱形,

該容器的體積為詈三立方米，且/26八假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分側(cè)面的

建造費(fèi)用為每平方米2.25千元，半球形部分以及圓柱底面每平方米建造費(fèi)用為〃?（加>2.25）千元.設(shè)該容

器的建造費(fèi)用為〉千元.

（1）寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域;

（2）求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的廠.

【答案】（1）y=3萬（/〃-1）,+-----,o<r<2（2）見解析

【小問1詳解】

2

設(shè)該容器的體積為V,則丫=萬//+一萬/,

3

…，160,,1602

又丫=---4，所cr以/=-Z--r

33/3

因?yàn)?26r,所以0<rW2.

9

-

所以建造費(fèi)用y4—rx—+3^r2m,

3)4

,,,c/八2240萬入

因此y=3萬（而一1）廠+-----,0<r<2.

【小問2詳解】

不,,/八240萬6乃（機(jī)—1）（340、八

由（1）得y=6萬（加一1）「----=————-Ir-------I,0＜r＜2.

由于機(jī)＞2

所以加一1＞0,

4

、

若借＜2,…當(dāng)40當(dāng),2時(shí),y>（）,

3,時(shí)，/＜0,y(r)為減函數(shù)，當(dāng)3,

m-1m-17,

y(r)為增函數(shù)，此時(shí)r=J也為函數(shù)興廠)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn).

Vm—1

若：422,即2〈機(jī)W6,當(dāng)re(O,2］時(shí)，/＜0,y(r)為減函數(shù)，此時(shí)r=2是火廠)的最小值點(diǎn).

V721-14

940

綜上所述，當(dāng)一＜相工6時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)〃=2；當(dāng)初＞6時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)〃——

4Vm-1

21.已知雙曲線C:=—與=1(。＞0力＞0)的焦距為26，A,B為C的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P為C上異

a"h~

于A,B的任意一點(diǎn)，滿足人心

(1)求雙曲線C的方程；

(2)過C的右焦點(diǎn)尸且斜率不為0的直線/交C于兩點(diǎn)M,N,在x軸上是否存在一定點(diǎn)。，使得

DM-DN為定值?若存在，求定點(diǎn)。的坐標(biāo)和相應(yīng)的定值；若不存在，說明理由.

r2

【答案】(1)--/=1

4

(2)存在定點(diǎn)。--,0，使得DM?ON為定值一”

I8)64

【小問1詳解】

設(shè)4(一a,0),8(a,0),P(XQJ,則左”左如=%,

X+ax]-ax]-a4

又因?yàn)辄c(diǎn)P（x，x）在雙曲線上，所以工一與=1.

ab

于是才=；片一號(hào)=與不；一/，對任意王。0恒成立,

b21

所以-7-=—，即〃2=4b2.

a4

222

又因?yàn)閏=逐，c=a+b,

可得/=4，〃=1，所以雙曲線C的方程為三—y2=]

4

【小問2詳解】

設(shè)直線/的方程為：x=ty+s/5,N（%4，”），由題意可知，W±2,

Z_2T

聯(lián)立（4）,消X可得，92-4）/+2不）+1=0,

x-ty+V5

m"七