高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件第9章.多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

$number{01}高等數(shù)學(xué)》(同濟(jì)六版)教學(xué)課件★第9章.多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用目錄引言多元函數(shù)微分法的基本概念多元函數(shù)微分法的計(jì)算多元函數(shù)微分法的應(yīng)用多元函數(shù)微分法的擴(kuò)展習(xí)題解答與解析01引言多元函數(shù)微分法的意義多元函數(shù)微分法是高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，是研究多元函數(shù)性質(zhì)和變化規(guī)律的基礎(chǔ)工具。通過多元函數(shù)微分法的學(xué)習(xí)，可以深入理解函數(shù)的局部行為，為解決實(shí)際問題提供數(shù)學(xué)模型和理論支持。多元函數(shù)微分法的應(yīng)用場(chǎng)景在物理學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域中，多元函數(shù)微分法被廣泛應(yīng)用于解決各種實(shí)際問題，如物體運(yùn)動(dòng)軌跡、電路電流、市場(chǎng)供需關(guān)系等。在機(jī)器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)科學(xué)中，多元函數(shù)微分法也是優(yōu)化算法和損失函數(shù)的重要基礎(chǔ)，對(duì)于模型訓(xùn)練和預(yù)測(cè)具有關(guān)鍵作用。02多元函數(shù)微分法的基本概念123偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法通過求導(dǎo)法則和鏈?zhǔn)椒▌t進(jìn)行計(jì)算。偏導(dǎo)數(shù)的定義對(duì)于一個(gè)多元函數(shù)，如果一個(gè)變量變化時(shí)，其余變量保持不變，那么這個(gè)變量對(duì)其他變量的偏導(dǎo)數(shù)就是該函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)上的斜率。偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義在二維空間中，偏導(dǎo)數(shù)表示曲線在某一點(diǎn)的切線的斜率；在三維空間中，偏導(dǎo)數(shù)表示曲面在某一點(diǎn)的切平面的法線斜率。全微分的計(jì)算方法全微分的定義全微分的幾何意義全微分通過偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算全微分。全微分是指函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小增量，它等于各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)的值與自變量增量乘積的和。全微分表示函數(shù)圖像在某一點(diǎn)附近的小面積，即函數(shù)值在該點(diǎn)附近的小變化量。方向?qū)?shù)的定義方向?qū)?shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)處沿某一方向的變化率，它等于該點(diǎn)處各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的幾何平均值。方向?qū)?shù)的幾何意義方向?qū)?shù)表示函數(shù)圖像在某一點(diǎn)處沿某一方向的變化率。方向?qū)?shù)的計(jì)算方法通過偏導(dǎo)數(shù)和方向余弦進(jìn)行計(jì)算。方向?qū)?shù)03多元函數(shù)微分法的計(jì)算理解復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法，掌握鏈?zhǔn)椒▌t。總結(jié)詞復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)是多元函數(shù)微分學(xué)中的重要概念，其計(jì)算方法基于鏈?zhǔn)椒▌t。對(duì)于復(fù)合函數(shù)f(u(x,y))，其偏導(dǎo)數(shù)可以通過對(duì)內(nèi)層函數(shù)u的偏導(dǎo)數(shù)乘以外層函數(shù)f的導(dǎo)數(shù)來計(jì)算。鏈?zhǔn)椒▌t在計(jì)算復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)非常有用，能夠簡(jiǎn)化計(jì)算過程。詳細(xì)描述復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)總結(jié)詞理解高階偏導(dǎo)數(shù)的概念，掌握高階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。詳細(xì)描述高階偏導(dǎo)數(shù)是多元函數(shù)微分學(xué)中的重要概念，表示函數(shù)對(duì)某一自變量的二階及以上的偏導(dǎo)數(shù)。高階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法與一階偏導(dǎo)數(shù)類似，但需要注意符號(hào)的正確使用和計(jì)算順序。高階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算在解決一些實(shí)際問題時(shí)非常有用，如求極值、判斷函數(shù)的凸凹性等。高階偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)理解隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法，掌握隱函數(shù)求導(dǎo)法則?？偨Y(jié)詞隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)是多元函數(shù)微分學(xué)中的重要概念，其計(jì)算方法基于隱函數(shù)求導(dǎo)法則。對(duì)于一個(gè)由方程F(x,y)=0定義的隱函數(shù)y，可以通過對(duì)方程兩邊同時(shí)關(guān)于x求導(dǎo)來求得y關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)。隱函數(shù)求導(dǎo)法則是計(jì)算隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵，能夠簡(jiǎn)化計(jì)算過程，提高解題效率。詳細(xì)描述04多元函數(shù)微分法的應(yīng)用切線在多元函數(shù)中，函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)表示該點(diǎn)處函數(shù)的斜率。因此，切線是連接函數(shù)圖像上某一點(diǎn)和該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)所形成的直線。切線的斜率等于該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。法線法線是與切線垂直的直線。在二維空間中，法線的斜率是切線斜率的負(fù)倒數(shù)。在三維空間中，需要使用向量叉乘來定義法線。幾何應(yīng)用：切線和法線極值條件無約束極值有約束極值極值問題一元函數(shù)極值的必要條件是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，但對(duì)于多元函數(shù)，極值條件包括一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)以及二階導(dǎo)數(shù)矩陣的符號(hào)變化。無約束極值問題是在給定函數(shù)定義域內(nèi)尋找極值點(diǎn)的問題，可以通過梯度下降法、牛頓法等求解。有約束極值問題是在給定函數(shù)定義域和約束條件下尋找極值點(diǎn)的問題，可以通過拉格朗日乘數(shù)法、庫恩-塔克條件等方法求解。VS條件極值問題是在給定附加條件下的極值問題，可以通過拉格朗日乘數(shù)法轉(zhuǎn)化為無約束極值問題求解。無條件極值無條件極值問題是在無任何附加條件下的極值問題，可以通過梯度下降法、牛頓法等求解。條件極值條件極值和無條件極值05多元函數(shù)微分法的擴(kuò)展對(duì)于向量函數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一自變量方向上的變化率。偏導(dǎo)數(shù)的定義根據(jù)多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義，對(duì)向量函數(shù)中的各個(gè)分量分別求導(dǎo)，得到偏導(dǎo)數(shù)。偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算在二維空間中，偏導(dǎo)數(shù)表示切線斜率；在三維空間中，偏導(dǎo)數(shù)表示切平面法線的方向。偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義向量函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)123梯度是向量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在各點(diǎn)的方向?qū)?shù)的最大值。梯度的定義根據(jù)向量函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，計(jì)算梯度向量。梯度的計(jì)算在二維空間中，梯度表示函數(shù)值增長最快的方向；在三維空間中，梯度表示函數(shù)值增長最快的方向場(chǎng)。梯度的幾何意義向量函數(shù)的梯度散度的定義散度表示向量場(chǎng)中某點(diǎn)附近的點(diǎn)源或匯的強(qiáng)度。旋度的定義旋度表示向量場(chǎng)中某點(diǎn)附近的旋轉(zhuǎn)源或匯的強(qiáng)度。散度的計(jì)算根據(jù)向量函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，計(jì)算散度。旋度的計(jì)算根據(jù)向量函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，計(jì)算旋度。散度的幾何意義在二維空間中，散度表示向量場(chǎng)中某點(diǎn)附近的點(diǎn)源或匯的個(gè)數(shù)；在三維空間中，散度表示向量場(chǎng)中某點(diǎn)附近的點(diǎn)源或匯的分布情況。旋度的幾何意義在二維空間中，旋度表示向量場(chǎng)中某點(diǎn)附近的旋轉(zhuǎn)源或匯的方向和速度；在三維空間中，旋度表示向量場(chǎng)中某點(diǎn)附近的旋轉(zhuǎn)源或匯的分布情況。向量場(chǎng)的散度與旋度06習(xí)題解答與解析2.$lim_{xto0}frac{tanx-x}{x^{3}}$題目：求下列函數(shù)的極限1.$lim_{xto0}frac{sinx-x}{x^{3}}$第1節(jié)習(xí)題解答VS3.$lim_{xto0}frac{sinx-cosx}{x^{3}}$4.$lim_{xto0}frac{tanx-sinx}{x^{3}}$第1節(jié)習(xí)題解答0302答案01第1節(jié)習(xí)題解答2.$-frac{1}{2}$1.$-frac{1}{6}$3.$frac{1}{2}$4.$-frac{1}{2}$題目：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)010203第1節(jié)習(xí)題解答1.$y=(x+2)(x+3)$3.$y=sqrt{x}$2.$y=(x+1)^2$第1節(jié)習(xí)題解答$y=\frac{1}{\sqrt{x}}$第1節(jié)習(xí)題解答第1節(jié)習(xí)題解答0102031.$y'=2x+5$2.$y'=2(x+1)$答案3.$y'=frac{1}{2sqrt{x}}$4.$y'=-frac{1}{2sqrt{x^3}}$第1節(jié)習(xí)題解答第2節(jié)習(xí)題解答01題目：求下列函數(shù)的極值021.$f(x)=x^3-3x^2$2.$f(x)=x^4-4x^2$03$f(x)=x^3-3x+2$第2節(jié)習(xí)題解答010203答案1.$f(x)$在$x=0$處取得極大值$f(0)=0$，在$x=2$處取得極小值$f(2)=-4$。2.$f(x)$在$x=0$處取得極小值$f(0)=0$，在$x=pm2$處取得極大值$f(pm2)=0$。第2節(jié)習(xí)題解答第2節(jié)習(xí)題解答$f(x)$在$x=-1$處取得極大值$f(-1)=2$，在$x=1$處取得極小值$f(