同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)課件D112數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及審斂法

$number{01}同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)課件D112數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及審斂法(2)目錄數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和法數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性與發(fā)散性01數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是無窮多個(gè)數(shù)按一定順序排列的無窮序列。它的一般形式為$sum_{n=0}^{infty}a_n$，其中$a_n$是數(shù)列中的第$n$項(xiàng)。數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)表示無窮多個(gè)數(shù)的和，即$lim_{ntoinfty}sum_{i=0}^{n}a_i$。數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的分類按照收斂性，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)可以分為收斂級(jí)數(shù)、發(fā)散級(jí)數(shù)和條件收斂級(jí)數(shù)。收斂級(jí)數(shù)的和是有限的，發(fā)散級(jí)數(shù)的和是無窮的，而條件收斂級(jí)數(shù)的和是有限的但需要附加條件。0302數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)具有可加性和可乘性，即對(duì)于兩個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，它們的和與乘積仍然是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。01數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)對(duì)于收斂的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，改變其各項(xiàng)的順序不會(huì)改變其和。數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的各項(xiàng)可以按照任意順序排列，只要保持原有的項(xiàng)的順序，其和不變。02數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法123正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法冪級(jí)數(shù)對(duì)于形如$sum_{n=0}^{infty}a_nx^n$的冪級(jí)數(shù)，如果存在某個(gè)正整數(shù)$N$，使得當(dāng)$ngeqN$時(shí)，$a_nx^n$的絕對(duì)值單調(diào)趨于0，則該冪級(jí)數(shù)收斂。幾何級(jí)數(shù)當(dāng)$|q|<1$時(shí)，幾何級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)$|q|>1$時(shí)，幾何級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)$|q|=1$時(shí)，需要進(jìn)一步判斷。調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù)$1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+cdots$是發(fā)散的。交錯(cuò)級(jí)數(shù)的審斂法主要依據(jù)是萊布尼茨判別法，即如果一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足$sum_{n=0}^{infty}(-1)^na_n$收斂，并且滿足$lim_{ntoinfty}a_n=0$，則該交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。另外，如果一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)的絕對(duì)值都小于前一項(xiàng)的絕對(duì)值，并且前一項(xiàng)的絕對(duì)值趨于0，則該交錯(cuò)級(jí)數(shù)也是收斂的。交錯(cuò)級(jí)數(shù)的審斂法03數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和法注意事項(xiàng)定義適用范圍直接求和法直接求和法簡(jiǎn)單直觀，但當(dāng)級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)較多或項(xiàng)間關(guān)系復(fù)雜時(shí)，計(jì)算量會(huì)變得非常大，甚至無法得出結(jié)果。直接求和法是指將級(jí)數(shù)的各項(xiàng)直接相加，得出結(jié)果的方法。適用于項(xiàng)數(shù)較少、項(xiàng)間關(guān)系較為簡(jiǎn)單的級(jí)數(shù)。適用范圍適用于項(xiàng)數(shù)較多、項(xiàng)間關(guān)系較為復(fù)雜的級(jí)數(shù)。注意事項(xiàng)間接求和法可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算過程，但需要掌握一定的數(shù)學(xué)變換技巧，且結(jié)果的正確性需要經(jīng)過嚴(yán)格證明。定義間接求和法是通過數(shù)學(xué)變換，將級(jí)數(shù)的求和問題轉(zhuǎn)化為其他易于處理的形式，從而得出結(jié)果的方法。間接求和法在數(shù)學(xué)領(lǐng)域數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和法是研究級(jí)數(shù)收斂性、函數(shù)逼近論、概率論等領(lǐng)域的重要工具。在物理領(lǐng)域在量子力學(xué)、熱力學(xué)等領(lǐng)域，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和法被廣泛應(yīng)用于求解微分方程和積分方程。在工程領(lǐng)域在信號(hào)處理、控制系統(tǒng)等領(lǐng)域，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和法被用于分析和處理各種復(fù)雜信號(hào)。求和法的應(yīng)用04數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性與發(fā)散性收斂性的定義與性質(zhì)收斂性的定義如果數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和（即前n項(xiàng)和）無限趨近于一個(gè)有限的數(shù)，則稱該級(jí)數(shù)收斂。收斂性的性質(zhì)收斂級(jí)數(shù)具有唯一性和穩(wěn)定性，即其和是唯一的，且對(duì)級(jí)數(shù)的項(xiàng)進(jìn)行加、減、乘運(yùn)算后，其和不變。如果數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和沒有極限，則稱該級(jí)數(shù)發(fā)散。發(fā)散性的定義發(fā)散級(jí)數(shù)的部分和可能趨于無窮大，也可能在某個(gè)值附近擺動(dòng)。發(fā)散性的性質(zhì)發(fā)散性的定義與性質(zhì)收斂性與發(fā)散性的關(guān)系收斂級(jí)數(shù)的部分和有極限，而發(fā)散級(jí)數(shù)的部分和沒有極限。02對(duì)于任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果存在某一項(xiàng)使得其后所有的項(xiàng)都為0，則該級(jí)數(shù)必然收斂