4.3指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系（原卷版）

4.3指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系TOC\o"13"\h\z\u題型1反函數(shù)存在的條件 ⑤y=f（x）與y=f1（x）具有相同的單調(diào)性.此時(shí)，如果y=f（x）是增函數(shù)，則y=f1（x）也是增函數(shù)；如果y=f（x）是減函數(shù)，則y=f1（x）也是減函數(shù).知識點(diǎn)二.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系1.指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax（a>0且a≠1）互為反函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax（a>0且a=1）的圖像關(guān)于y=x對稱.由互為反函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知，若函數(shù)y=f(x)的圖像上有一點(diǎn)（a，b），則點(diǎn)（b，a）必在其反函數(shù)的圖像上；反之，若點(diǎn)（b，a）在y=f(x)的反函數(shù)的圖像上，則點(diǎn)（a，b）必在函數(shù)y=f（x）的圖像上.知識點(diǎn)三.求給定解析式的函數(shù)的反函數(shù)的步驟1.求出原函數(shù)的值域，這就是反函數(shù)的定義域；2.從y=f（x）中解出x3.x，y互換并注明反函數(shù)的定義域.題型1反函數(shù)存在的條件【方法總結(jié)】反函數(shù)的存在條件∶原函數(shù)中x、y是"一對一"確定的．一般來說，若f（x）在區(qū)間A上是單調(diào)的，那么f（x）在A上有反函數(shù).【例題1】試判斷函數(shù)y=xx【變式11】1.（2019·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)中，存在反函數(shù)的是A．y=B．y=|x|C．y=D．y=【變式11】2.（2020·高一課時(shí)練習(xí)）判斷下列各對函數(shù)是否互為反函數(shù),若是,則求出它們的定義域和值域:(1)y=ln(2)y=-log【變式11】3.（2020·高一課時(shí)練習(xí)）分別判斷下列函數(shù)是否存在反函數(shù)，如果不存在，說明理由；如果存在，寫出反函數(shù).（1）x12345f(x)00135（2）x12345g(x)-101-25【變式11】4.（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）以下說法正確的有（

）①偶函數(shù)一定不存在反函數(shù)；②若函數(shù)y=fx和其反函數(shù)y③函數(shù)y=fx④定義域上嚴(yán)格單調(diào)的函數(shù)必存在反函數(shù)．A．①② B．②③ C．③④ D．①④題型2求反函數(shù)的解析式【方法總結(jié)】求反函數(shù)的兩種方法（1）可以通過對調(diào)y=f（x）中的x與y，然后從x=f（y）中求出y得到反函數(shù)y=f1(x).（2）從y=f(x）反解得到x=f1（y），然后把x=f1（y）中的x，y對調(diào)得到y(tǒng)=f1(x）.【例題21】（2019·高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的反函數(shù)：（1）y=x3-1（2）y=x2?（3）y=x-1（4）y=-x-1?，【變式21】1．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的反函數(shù)．(1)y=1(2)y=5x+1；(3)y=x2（【變式21】2．（2020下·高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的反函數(shù)：（1）y=-25-9（2）y=x+2（3）y=【變式21】3.（2022·上海市七寶中學(xué)）函數(shù)f(【變式21】4．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)fx=log【變式21】5．（2021·上海市吳淞中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=ax+x+1(a【例題22】（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）與函數(shù)y=14xA．y=4xC．y=log1【變式22】1.（2019·高一課時(shí)練習(xí)）將y=2x的圖象_________，再作關(guān)于直線y=x對稱的圖象，可得到函數(shù)y=A．先向上平移一個(gè)單位長度 B．先向右平移一個(gè)單位長度C．先向左平移一個(gè)單位長度 D．先向下平移一個(gè)單位長度【變式22】2.（2020·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）與方程y=e2x-2A．y=ln(1+C．y=ln(1-【變式22】3.（2023上·北京·高一北京市十一學(xué)校?？计谀┖瘮?shù)y=lnx是與函數(shù)A．關(guān)于x軸對稱 B．關(guān)于y軸對稱C．關(guān)于原點(diǎn)對稱 D．關(guān)于直線y=x對稱【變式22】4.（2023下·云南臨滄·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)P(a,b)(a≠0,b≠14)在函數(shù)y=A．y=log2x的圖象上C．y=2log2x的圖象上題型3反函數(shù)求值【例題3】（2022·北京·清華附中高一期末）已知f-1(x)是函數(shù)A．0 B．1 C．10 D．100【變式31】1.（2022·北京房山·高一期末）已知函數(shù)f(x)=2xA．1 B．12 C．-1【變式31】2．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)是y=gA．a(chǎn) B．a(chǎn)-1 C．b D．【變式31】3.（2022·云南·昆明一中）函數(shù)y=fx的圖像與函數(shù)y=3A．1 B．2 C．3 D．4【變式31】4．（2022·山東濰坊·高一期末）已知函數(shù)fx=log3x與gA．3 B．13 C．1 D．【變式31】5．（2021·吉林·長春市第二中學(xué)高一期中）已知函數(shù)y=ex的圖象與函數(shù)y=fA．2e2 B．2e C．1+ln2題型4過定點(diǎn)問題【例題4】（2021·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)f(【變式41】1．（2021·云南·硯山縣第三高級中學(xué)高一期末）函數(shù)y=loga(2x【變式41】2．（2021·山東德州·高一期末）已知a>0且a≠1，b>0且b≠1，函數(shù)y=ax-2+3【變式41】3.（2021·全國·高一單元測試）已知函數(shù)y=fx存在反函數(shù)y=f【變式41】4．（2021·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)f-1x為函數(shù)fx的反函數(shù)，且函數(shù)fx-1題型5反函數(shù)含參問題【例題5】（2021·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)f(x)=x-【變式51】1.（2021·全國·高一專題練習(xí)）已知常數(shù)m∈R，若函數(shù)f(x)=【變式51】2．（2021·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=2+loga(x+1)（a>0【變式51】3.（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)y=ax（a>0，且A．2 B．12 C．2或1【變式51】4．（2021·廣東·普寧市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)的圖象與y=ex的圖象關(guān)于直線A．-e B．-1e C．e【變式51】5．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知fx=log4x+1，y=題型6反函數(shù)的圖像【例題6】（2021·廣東·西關(guān)外國語學(xué)校高一階段練習(xí)）函數(shù)y=lgA． B．C． D．【變式61】1．（2019·陜西·鎮(zhèn)安中學(xué)高一期中）已知函數(shù)fx=logaxa>0,a≠1A．gx=2x B．g【變式61】2．（2021·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）將函數(shù)y=log2x的圖像沿x軸負(fù)方向移動1個(gè)單位，再沿y軸負(fù)方向移動2個(gè)單位，得到圖像C，在下列函數(shù)的圖像中，與圖像A．y=2x+2+1 B．【變式61】3．（2021·上?！じ咭徽n時(shí)練習(xí)）將函數(shù)y=log3【變式61】4.（2021·海南二中高一期末）函數(shù)y=5xA．關(guān)于y軸對稱 B．關(guān)于x軸對稱 C．關(guān)于原點(diǎn)對稱 D．關(guān)于直線y=題型7反函數(shù)的性質(zhì)【例題7】（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)fx是y=ax（A．fx2C．f12【變式71】1.（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)y=ex的圖象與函數(shù)y=A．f2xC．f2x【變式71】2．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）已知函數(shù)fx在定義域內(nèi)是增函數(shù)，且f1=-1，若fA．f-1-1=1C．f-1-1=-1題型8反函數(shù)定義域【例題8】（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)fx與函數(shù)gx互為反函數(shù)，若fx=1A．0,+∞ B．R C．0,1 D．【變式81】1．（2023上·遼寧營口·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)fx=logA．1,+∞ B．3,+∞ C．0,+【變式81】2.（2022上·江西南昌·高三南昌二中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)?,+∞，則函數(shù)A．2,3 B．-2,3 C．-2,3 D．0,3【變式81】3.（2023上·廣西·高一廣西壯族自治區(qū)百色高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)y=log3【變式81】4.（2023上·甘肅蘭州·高一蘭州一中?？计谀┖瘮?shù)fx=log題型9反函數(shù)的值域與最值【例題9】（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)f(x)=log2(1x+A．(-∞,-12C．(-∞,-2)∪(2,+∞) D．(-2,2)【變式91】1.（2021·上海·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)f(（1）求y=f(（2）若(7,2)是y=f-1【變式91】2.（2021·上海市進(jìn)才中學(xué)高一期末）已知y=f-1(x)是【變式91】3．（2021·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）若f(x)=2x的反函數(shù)為fA．2 B．12 C．13【變式91】4．（2022·遼寧·東港市第二中學(xué)高一開學(xué)考試）已知函數(shù)f(x)=loga(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)g(x)=f(x2題型10反函數(shù)與單調(diào)區(qū)間【例題10】（2022上·廣東惠州·高一惠州一中?？计谥校┮阎瘮?shù)fx=12x，函數(shù)y=gx的圖象與A．0,1 B．1,+∞ C．-∞【變式101】1.（2019上·陜西西安·高一西安市鐵一中學(xué)統(tǒng)考期中）若函數(shù)y=f(x)與y=10x互為反函數(shù)，則A．(2,+∞) B．(-∞,1) C．(1,+∞) D．(-∞,0)【變式101】2．（2022上·上海普陀·高一曹楊二中校考期末）已知函數(shù)y=fx是函數(shù)y=(1)求函數(shù)y=fx(2)判斷函數(shù)y=fx【變式101】3.（2020·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x-1x+12（1）求y=f（2）判斷y=f（3）設(shè)g(x)=1f-1【變式101】4.（2017上·上海寶山·高一上海交大附中?？计谀┮阎瘮?shù)fx=x-4（1）求函數(shù)fx的反函數(shù)（2）判斷f-1（3）解不等式：2【變式101】5.（2021下·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x-1（1）求函數(shù)f(x)的反函數(shù)f-1（2）判斷并證明f-1【變式101】6.（2021上·遼寧·高一遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx是函數(shù)y=ax（a>0且a≠0(1)求函數(shù)fx(2)設(shè)gx（i）寫出函數(shù)gx（ⅱ）求gx在區(qū)間t,t+1（其中t∈R且t>0）上的最小值ht題型11奇偶性相關(guān)問題【方法總結(jié)】判斷函數(shù)fx（1）先分析fx的定義域，若fx定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則fx為非奇非偶函數(shù)，若f（2）若fx=f-x，則fx【例題11】（2022·上海徐匯·統(tǒng)考三模）設(shè)fx是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，fx=ax【變式111】1．（2020下·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=12x(x>0)，函數(shù)y=g(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，有【變式111】2．(多選)（2021上·山東威海·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx=2x，其反函數(shù)f-1x滿足f-14=aA．a(chǎn)=2B．當(dāng)x∈-∞,0時(shí)，C．若xgx<0D．函數(shù)gx在(-∞,0)【變式111】3.（2021·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx=a?（1）求a的值；（2）求fx的反函數(shù)f【變式111】4.（2021上·上海浦東新·高一上海市建平中學(xué)?？计谀┰O(shè)函數(shù)f(x)=a?ex（1）求a的值，并求函數(shù)f(x)的反函數(shù)f-1（2）若k為正實(shí)數(shù)，解關(guān)于x的不等式f-1【變式111】5.（2020上·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f(x)=ex-ae-x（I）求函數(shù)f(x)的解析式；（II）判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并證明．題型12反函數(shù)取值范圍相關(guān)問題【例題12】（2021·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)y=x+4x在A．(1,4) B．(0,2] C．(2,4] D．[2,+∞)【變式121】1．（2023上·上?！じ咭簧虾Ｊ薪ㄆ街袑W(xué)校考階段練習(xí)）定義在-1,2上的函數(shù)y=lgx+a不存在反函數(shù)，則實(shí)數(shù)【變式121】2．（2021下·上海寶山·高一上海交大附中校考開學(xué)考試）若函數(shù)y=x2+(a-4)x+3-a，x∈[0,1]【變式121】3.（2017下·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？计谥校┤艉瘮?shù)f(x)=|x|-1+ax(x∈R)存在反函數(shù)，則a的取值范圍為.【變式121】4.（2017上·上海楊浦·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)f(x)=ax+1-2（a>0且a≠1），設(shè)f-1(x)是f(x)題型13反函數(shù)與不等式【例題13】（2016上·上海松江·高三上海市松江二中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=ax（a>0且a≠1）滿足f2>f3，若y=【變式131】1．(多選)（2022·遼寧營口·高一期末）（多選）已知函數(shù)f(x)=ax(a>1)，其反函數(shù)為A．-1 B．12 C．23【變式131】2．（2022上·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f(x)為函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的反函數(shù)，f(5)<f(6)，且f(x)(1)求a的值；(2)解關(guān)于x的不等式f(2x)<f(1-x)．【變式131】3．（2022上·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx=ax（a>0且a≠1），(1)若gx在區(qū)間1,2上的最大值與最小值之和為2，求a(2)解關(guān)于x的不等式gx【變式131】4.（2011上·河南鄭州·高三階段練習(xí)）已知奇函數(shù)f(x)=a?·?2（1）求實(shí)數(shù)a，（2）解關(guān)于x的不等式f題型14反函數(shù)與零點(diǎn)結(jié)合【例題14】（2022·湖南·高一階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=ex+x-π【變式141】1.（2021·陜西安康·高一期中）若實(shí)數(shù)a、b滿足2a=2-a，log【變式141】2.（2019·云南省玉溪第一中學(xué)高一期末）已知函數(shù)y=10x的反函數(shù)為f（1）求F(x)（2）設(shè)a∈R，求函數(shù)題型15有解問題【例題15】（2019·山東寧陽縣一中高一階段練習(xí)）關(guān)于x的方程(1A．0≤a<1 B．1≤a<2【變式151】1．（2017·上海松江·高一期中）若關(guān)于x的方程lg(x2+ax)=1【變式151】2．（2021·全國·高