小學(xué)奧數(shù)題庫《數(shù)論》余數(shù)問題余數(shù)的判定1星題（含解析）全國通用版

數(shù)論-余數(shù)問題-余數(shù)的判定-1星題

課程目標(biāo)

知識(shí)點(diǎn)考試要求具體要求考察頻率

余數(shù)的判定B1、理解并掌握余數(shù)的判定方法。少考

2、能夠運(yùn)用余數(shù)判定方法判斷余

數(shù)。

知識(shí)提要

余數(shù)的判定

?概念

當(dāng)一個(gè)數(shù)不能被另一個(gè)數(shù)整除時(shí)，雖然可以用長除法求得余數(shù)，但當(dāng)被除數(shù)位數(shù)較多時(shí)，

我們可以找到一個(gè)較簡(jiǎn)單的數(shù)，通過這個(gè)較簡(jiǎn)單的數(shù)除以除數(shù)得到的余數(shù)來得原來的數(shù)的

余數(shù)的方法叫做余數(shù)的判定。

?判定方法

1、末位判定法

整數(shù)N被2或5除的余數(shù)等于這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)被2或5除的余數(shù)；

整數(shù)N被4或25除的余數(shù)等于這個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)被4或25除的余數(shù)；

整數(shù)N被8或125除的余數(shù)等于這個(gè)數(shù)的末三位數(shù)被8或125除的余數(shù)；

2、數(shù)字求和法

整數(shù)N被3除的余數(shù)等于這個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和被3除的余數(shù)；；

整數(shù)N被9除的余數(shù)等于這個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和被9除的余數(shù)；

3、奇偶位求差法

整數(shù)N被11除的余數(shù)等于這個(gè)數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差被11

除的余數(shù)（如果不夠減，適當(dāng)加11的倍數(shù)再減）；

4、截?cái)嘧骱?/p>

整數(shù)N被99除的余數(shù)等于這一個(gè)數(shù)從個(gè)位開始每?jī)晌灰唤?，得到的所有兩位?shù)（最前面

的可以是一位數(shù))之和被99除的余數(shù)；

5、截?cái)嘧鞑?/p>

整數(shù)N被7、11、13除的余數(shù)等于這一個(gè)整數(shù)，從個(gè)位開始每三位一截，奇數(shù)段之和與偶

數(shù)段之和的差被7、11或13整除的余數(shù)(如果不夠減，適當(dāng)加7、11、13的倍數(shù)再減)

精選例題

余數(shù)的判定

1.利用整除判斷：

(1)14785369除以3的余數(shù)是；

(2)25896278除以9的余數(shù)是.

【答案】(1)1;

(2)2.

【分析】(1)(1+4+7+8+5+3+6+9)+3…1；

(2)(2+5+8+94-6+2+7+8)4-9-2

2.滿足被7除余3,被9除余4,并且小于100的自然數(shù)有.

【答案】31、49

【分析】被9除余4的數(shù)100以內(nèi)的有：4,13,22,31,40,49,58,67,85,94.

然后驗(yàn)證這些數(shù)被7除是否余3,可以找出31和94滿足條件.

3.利用整除判斷：

(1)360215除以7的余數(shù)是；

(2)110112除以13的余數(shù)是.

【答案】(1)2；

(2)2.

【分析】(1)(360-215)+7…5,所以原數(shù)除以7的余數(shù)為2；

(2)(112-110)4-13-2

4.整除判斷余數(shù):

(1)1024除以4的余數(shù)是:24除以4的余數(shù)是；

(2)1025除以4的余數(shù)是；25除以4的余數(shù)是；

(3)1026除以4的余數(shù)是；26除以4的余數(shù)是；

綜上可得110029除以4的余數(shù)是；

所以：1428572+9…….

【答案】(1)0、0.

(2)1、1；

(3)2、2；1、2.

【分析】用整除特征可判斷余數(shù)：110029除以4的余數(shù)只看末兩位29除以4的余數(shù)即

可；1428572除以9的余數(shù)是(1+4+2+8+5+7+2)+9的余數(shù).

5.利用整除判斷：

(1)2374009除以8的余數(shù)是；

(2)654129除以125的余數(shù)是.

【答案】(1)1:

(2)4.

【分析】⑴9-8-1；

(2)129+125…4

222-22

6.2222個(gè)除以13所得余數(shù)是.

【答案】9

【分析】利用13的整除特征，三位一段，奇段和減偶段和差為22,用整除特征來判斷余數(shù)

22+13……9,所以原式除以13所得余數(shù)是9.

7.1234567除以3、5、9的余數(shù)分別是多少？

【答案】1;2；1

【分析】簡(jiǎn)答：利用特性求余法計(jì)算.

8.151515151515除以8、11、7的余數(shù)分別是多少?

【答案】3,2,0

【分析】簡(jiǎn)答：利用特性求余法計(jì)算.

9.(1)20132013除以4和8的余數(shù)分別是多少？

⑵20142014除以3和9的余數(shù)分別是多少?

【答案】(1)1；5(2)2；5

【分析】一個(gè)數(shù)除以4和8的余數(shù)，只要分別看這個(gè)數(shù)末兩位和末三位除以4和8的余數(shù)

即可.一個(gè)數(shù)除以3和9的余數(shù).只要分別看這個(gè)數(shù)的數(shù)字和除以3和9的余數(shù)即可.

10.188+288+388+...+2088除以9、11的余數(shù)各是多少？

【答案】8；11.

【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和列式：188+288+388+...+2088=22760,所以

22760+9……8；227604-11--1.

11.將10,11,12,13,…，40從左往右依次排列成一個(gè)62位數(shù)，這個(gè)數(shù)被11除的余數(shù)是

多少？

【答案】9.

【分析】記它的個(gè)位為第1位，十位為第2位，那么：

它的奇數(shù)位數(shù)字和為：

0+9+8+7+6+5+4+3+2+1+3+2+2-+2+1+1-+1=78

10不210冷1.

4+3+3-+3+(9+8+74-6+5+4+3+2+1)X2=124

它的偶數(shù)位數(shù)字和為：1。43；

它的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差為78+55-124=9,所以這個(gè)數(shù)除以11的余數(shù)為

9.

12.將1,2,3,30從左往右依次排列成一個(gè)51位數(shù)，這個(gè)數(shù)被11除的余數(shù)是多少？

【答案】7.

【分析】1,2,3,…，30這30個(gè)數(shù)從左往右依次排列成一個(gè)51位數(shù)為：

123456…910…15…192021…25…2930

記個(gè)位為第1位，十位為第2位，那么：

它的奇數(shù)位數(shù)字和為：

0+9+8+7+6+.?.+1+9+8+7+6+.??+1+9+7+5+3+1=115；

3+2+2+2+...+2+1+1+1+...+1+8+6+4+2=53

它的偶數(shù)位數(shù)字和為：1叫1穌；

它的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差為115—53=62.而62除以11的余數(shù)為7.即這個(gè)

51位數(shù)除以11的余數(shù)是7.

評(píng)注：如果記個(gè)位為第1位，十位為第2位，那么一個(gè)數(shù)除以11的余數(shù)為其奇數(shù)位數(shù)字和4

減去偶數(shù)位數(shù)字和B的差4-8=C,再用C除以11所得的余數(shù)即是原來那個(gè)數(shù)的余

數(shù).(如果減不開可將偶數(shù)位數(shù)字和B減去奇數(shù)位數(shù)字和4,求得B-4=C,再求出C除以

11的余數(shù)。，然后將11-。即為原來那個(gè)數(shù)除以11的余數(shù)).

如：123456的奇數(shù)位數(shù)字和為6+4+2=12,偶數(shù)位數(shù)字和為5+3+1=9,奇數(shù)位數(shù)字

和與偶數(shù)位數(shù)字和的差為12-9=3,所以123456除以11的余數(shù)為3.

又如：654321的奇數(shù)位數(shù)字和為1+3+5=9,偶數(shù)位數(shù)字和為2+4+6=12,奇數(shù)位數(shù)

字和減不開偶數(shù)位數(shù)字和，那么先將12-9=3,顯然3除以11的余數(shù)為3,然后再用

11-3=8,這個(gè)8即為654321除以11的余數(shù).

200320032003-2003

13.2003^2003除以9的余數(shù)是多少？除以11的余數(shù)是多少？除以99的余數(shù)是多

少？

【答案】7；1；34

【分析】詳解：除以9的余數(shù)，按，，特性求余"數(shù)字和為

200320032003-2003

(2+0+0+3)xX2003=10015,而1+0+0+1+5=7,所以，2003^2003除

以9的余數(shù)是7；除以11的余數(shù)，也可用“特性求余法”；除以99的余數(shù)，兩位截段求和判

斷即可.

14.(1)418X814X1616除以7、8、9、11的余數(shù)分別是多少？

(2)289除以7的余數(shù)是多少？

(3)14389的個(gè)位數(shù)字是多少？除以7的余數(shù)是多少？除以11和13的余數(shù)呢？

【答案】⑴4、0、8、0；(2)4；⑶3；5；0；0

【分析】詳解：(1)按替換求余計(jì)算即可；(2)按周期求余：2、2\2\2、…，除以7

的余數(shù)依次是2、4、1,2、4、…，每三個(gè)數(shù)一個(gè)周期，所以，289除以7的余數(shù)是4；口)

按周期求余即可，143=11X13,143是11和13的倍數(shù).

15.求(2013X2014X2015)+7的余數(shù)

【答案】1.

【分析】根據(jù)任何一個(gè)數(shù)除以7的余數(shù)求法，因?yàn)?3-2=11,11-7=1……4,所以

20134-7=……4,同理，2014+7=……5,2015+7=……6,(2013X2014X2015)+7的

余數(shù)為(4X5X6)+7的余數(shù)，計(jì)算得1.

777……777

16.20127除以41的余數(shù)是多少？

【答案】28

【分析】找規(guī)律：7+41=?！?,77-?41=0-36,777+41=?！?9,

7777+41=