小學(xué)奧數(shù)題庫(kù)《計(jì)算》公式類(lèi)連續(xù)自然數(shù)的立方和公式-0星題（含詳解）

計(jì)算-公式類(lèi)計(jì)算-連續(xù)自然數(shù)的立方

和公式-0星題

課程目標(biāo)

知識(shí)點(diǎn)考試要求具體要求考察頻率

平方和公式B1.熟悉平方和公式少考

2.運(yùn)用公式進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算。

知識(shí)提要

平方和公式

?平方和公式M+22+32+…+4=n（"+l）（2n+l）

6

精選例題

平方和公式

1.計(jì)算：22+42+62+-+502=.

【答案】22100

【分析】

原式=22X(12+22+3Z+-+252)

=4x51x26x254-6

=22100.

2.計(jì)算：12+22+42+52+72+82+102+II2+132+142+162=.

【答案】1001

原式=(I2+22+…+162)-(32+62+92+122+152)

【分析】=(仔+22+…+162)-32x(I2+22+32+42+52)

=1496-495

=1001.

3.計(jì)算：36+49+64+81+…+400=.

【答案】2815

【分析】

原式=62+72+82+-+202

=12+22+32+?-?+202-(I2+22+32+42+52)

=20x21x414-6-5x6x11-?6

=2870-55

=2815.

4.計(jì)算：/+22+3?+…+1()2=.

【答案】385

【分析】

原式=12+22+32+-+102

=10x11x21-?6

=385.

5.計(jì)算：202+212+222+-.+10。2=.

【答案】335880

【分析】

原式=I2+22+32+?-?+1002-(I2+22+32+?-?+192)

=100x101x201+6—19x20x39+6

=338350-2470

=335880.

6.337X02=12+22+32+…+3372,那么團(tuán)=.

【答案】195

【分析】I2+22H---1-n2=^n(n+l)(2n+1)

因?yàn)?2+22+…+3372=工x337x338X675

6

所以團(tuán)2=工x338x675=1952

6

故團(tuán)=195.

7.計(jì)算：36+49+64+81+-+400=.

【答案】2815

原式=62+72+82+-+202

=I2+22+32+…+202-(I2+22+32+42+52)

【分析】="20x21x41-3x5x6x11

66

=2870-55

=2815.

8.計(jì)算:102+112+122+-+2002=.

【答案】2686415

【分析】原式缺少前幾項(xiàng)，可以先補(bǔ)上前幾項(xiàng)，再減去前幾項(xiàng)，再利用公式進(jìn)行求解.

原式=(I2+22+-+92+102+II2+122+…+2002)-

(I2+22+…+92)

200x(200+1)x(400+1)9x10x19

=66

=2686700-285

=2686415.

9.計(jì)算：12+22+32+-+992=.

【答案】328350

【分析】

原式=12+22+32+-+992

=99x100x199+6

=328350.

10.計(jì)算:ll2+122+132+-+202=.

【答案】2485

原式=(I2+22+-+202)-(I2+22+???+102)

【分析】=41x21x20+6-21x10x11+6

=2485.

11.計(jì)算：IO?+122+142+…+502=.

【答案】21980

【分析】

原式=(22+42+62+???+502)-(22+42+62+82)

=22x(I2+22+…+252)-22x(I2+22+32+42)

=4x51x25x264-6-4x30

=21980.

12.計(jì)算:12+32+52+-+192=.

【答案】1330

原式=12+32+52+-+192

=(I2+22+32+-+192)-(22+42+…+182)

【分析］=19x20x396-4x(I2+22+■-■+92)

=2470-9x10x19x4+6

=2470-285x4

=1330.

13.計(jì)算：1x4+3x7+5x10+…+99x151=.

【答案】256225

【分析】觀察可知式子中每一項(xiàng)乘積的被乘數(shù)與乘數(shù)依次成等差數(shù)列，被乘數(shù)依次為1,3,5,

…，99,乘數(shù)依次為4,7,10,151,根據(jù)等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，被乘數(shù)可以表示為2n-

1,乘數(shù)可以表示為3n+l,所以通項(xiàng)公式為(2n-1)x(3n+1)=6層-n-1.所以，

原式=(6xl2-1-1)+(6x22-2-1)+-+(6x502-50-1)

=6X(12+22+…+502)-(1+2+-+50)-50

1

=50x51x101--x50x51-50

2

=256225.

另解：如果不進(jìn)行通項(xiàng)歸納，由于式子中每一項(xiàng)的被乘數(shù)與乘數(shù)的差是不相等，可以先將這個(gè)

差變?yōu)橄嗟仍龠M(jìn)行計(jì)算.

1

原式=二X(3x8+9x14+15x20+…+297x302)

6

1

=-x

6

[3x(3+5)+9x(9+5)+15x(15+5)+…+297x(297+5)]

1

=-x

6

(32+3x5+92+9x5+152+15x5+…+2972+297X5)

1

=-x

6

[(32+92+152+-??+2972)+5x(3+9+15+…+297)]

[9x(I2+32+52+…+992)+5x3x(l+3+5+???+99)]

35

=5X⑴+32+52+…+992)+2x(1+3+5+…+99).

而12+32+52+…+992和1+3+5+…+99都是我們非常熟悉的.

12+32+52+-+992

=(I2+2?+3?+…4-1002)-(22+4?+6?+…+1002)

11

=-x100x101x201-4x-x50x51x101

66

1

=-x100X101X(201-102)

6

1

=-X99x100x101

6

=166650,

1+3+5+…+99=502=2500,

所以

一35

原式=-x166650+-x2500=256225.

小結(jié)：從上面的計(jì)算過(guò)程中可以看出，」

1

12+32+52+…4-992=-x99x100X101,

6

而

1

1x2+2x3+-+99x100=-x99x100x101,

所以有

(I2+32+52+…+992)x2=lx2+2x3+???+99x100.

14.計(jì)算:92+102+112+-+202=.

【答案】2666

【分析】

原式=Q2+22+…+202)-(I2+2?+…+82)

=41x21x20+6—17x9x8+6

=2666.

15.1x2+2x3+3x4+4x5+5x6+6x7+7x8+8x9+9x10=.

［答案］330

【彳析】此題項(xiàng)數(shù)較少，可以直接將每一項(xiàng)乘積都計(jì)算出來(lái)再計(jì)算它們的和，但是對(duì)于項(xiàng)數(shù)較

多的情況顯然不能這樣進(jìn)行計(jì)算.對(duì)于項(xiàng)數(shù)較多的情況，可以進(jìn)行如下變形：

n(n4-l)(n4-2)-(n-l)n(n4-1)1,、,、1,、,、

n(n+1)=---------------------------------------------=-n(n+l)(n+2)--(n-l)n(n+1)

所以原式',

1/I1\/I1

=-xlx2x3+l-x2x3x4——xlx2x3)+???+(-x9xl0xll——x8x9x10

3\33/\33

1

=-x9x10X11=330

另解：由于以n+1)=九2+九，所以

原式

=(I2+1)+(22+2)+…+(92+9)=(I2+22+…+92)+(1+2+…+9)

11

=-x9xl0xl9+-x9xl0=330

62

采用此種方法也可以得到

1

1x2+2x34-???+nx(n+l)=-n(n+l)(n+2)

16.計(jì)算：Ix3+2x4+3x5+…9x11=.

【答案】375

【分析】

原式=(2-1)(2+1)+(3-1)(3+1)+…+(10-1)(10+1)

=(22-1)+(32-1)+…+(102-1)

=(22+32+-+102)-9

=(12+22+32+-+102)-10

10x11x21

=375.

17.12+32+52+72+…372=.

【答案】9139

【分析】因?yàn)?/p>

,,,,,2n(2n+l)(4n+1)

12+22+32+42+…+(2n-I)2+(2n)2=------------------------

6

22+42+…+(2九＞=4x(I2+22+…+n2)

nx(n+1)x(2n+1)

=4X---------------6---------------

所以

,52n(2n+l)(4n+1)

7129+32+…+(2n-I)29+229+42+…+(2九＞=--------2----------

6

1

12+32+52+…+(2n-I)2=-n(4n2-1).

當(dāng)n=19時(shí)，

原式=gx19x(4x192-1)

=9139.

18.12+32+52+???+192=.

【答案】2185

I2+32+52+--?+192

=(I2+22+32+-+192)-(22+42+?-?+182)

.、一=ix19x20x39-4x(I2+22+-+92)

【分析】6.

=2470--X9x10x19

6

=2470—285

=2185.

9-24小島+*+…+/)-G+力+…+i”；.…

【答案】§

【分析】雖然很容易看出;點(diǎn)S=T……可是再仔細(xì)一看，并沒(méi)有什么效果，因?yàn)檫@不象分

數(shù)裂項(xiàng)那樣能消去很多項(xiàng).我們?cè)賮?lái)看后面的式子，每一項(xiàng)的分母容易讓我們想到公式12+

224-32+-?-4-n2=ixnX(n4-1)x(2n+1),

于是我們又有百二=馬許?

減號(hào)前面括號(hào)里的式子有10項(xiàng)，減號(hào)后面括號(hào)里的式子也恰好有10項(xiàng)，是不是“一個(gè)對(duì)一個(gè)"

呢？

111\/I11\

帝+而+…+廣臣++…+12+22+...+104

/111\/111\

<I--------1----------+…H---------------)-6XI---------------+---------------+…H-----------------------I

\2x34x520x21/\1x2x32x3x510x11x21/

/I11\/I11

<I----|------k-|-------j—24xI---------1---------1------------

\2x34x520x21/\2x4x34x6x520x22x21

L\2x32x4x3/\4x54x6x5/120x2120x22x214

(111\

\2x44x620x22/

/111\

\1x2+2x3+…+10x117

60

11

20.計(jì)算：11x29+12x28+-??+19x21=.

【答案】3315

【分析】

原式=(2。2-92)+(202-82)+…+(202-I2)

=202x9-(M+22+…+92)

1

=3600--X9x10x19

6

=3315.

21.計(jì)算：1x22+2x32+3x42+…+18x192+19x202=.

【答案】41230

【分析】分拆(2-1)x22=23—22,(3-1)X32=33-32,再用公式,

原式=(23-22)+(33-32)+…+(203-202)

=(1+23+33+???+203)-(1+22+32+…+202)

=202x2124-20x21x414-6

=41230.

22.計(jì)算：52+62+72+-+302=.

【答案】9425

【分析】

原式=(I2+22+32+?-?+292+302)-(I2+22+32+42)

30x31x61

=-6-------30

=9455-30

=9425.

23.規(guī)定aab=ax(a+2)-(a+l)-b,計(jì)算：(2△1)+…+(11△10)=.

【答案】505

【分析】這個(gè)題目直接套用定義給的公式非常麻煩，需要套用10次，然后再求和.但是我們注

意到要求的10項(xiàng)值有一個(gè)共同的特點(diǎn)就是在要我們求得這個(gè)式子中6=a-1，所以，我們不

妨把b=a-1代入原定義.

aAb=ax(a+2)—(a+l)-b

就變成了

a△b=ax(a+2)—(a+1)—(a—1)=a2.

所以241=22,3A2=32,3A2=ll2,那么

原式=22+32+42+-+ll2

11x12x23

=61

=505.

24.1x1+2x3+3x5+4x7+-+99x197=.

【答案】651750

【分析】I2+22H---Fn2=+l)(2n+1).

6

1

Ix2+2x3+3x4+…+n(Ti+1)="+1)(幾+2)

原式="+22+32+…+992+1x2+2x3+3x4+…+98x99

11

=-x99x100x199+-x98x99x100

63

=328350+323400

=651750

25.正整數(shù)4分解質(zhì)因數(shù)可以寫(xiě)成4=20x36x5〃，其中a,0,y是自然數(shù).如果4的二分之一是

完全平方數(shù)，A的三分之一是完全立方數(shù)，4的五分之一是某個(gè)自然數(shù)的五次方，那么a+0+

y的最小值是.

【答案】31

【分析】4的二分之一是完全平方數(shù)，a-l,0,y是2的倍數(shù)；4的三分之一是完全立方數(shù)，

a,0-l,y是3的倍數(shù)；4的五分之一是某個(gè)自然數(shù)的五次方，a,￡,y-1是5的倍數(shù)；要a+0+

y的值最小，分別求滿(mǎn)足條件的a1,y值：3x5—1是2的倍數(shù)，a的最小值為15,2x3—1是5

的倍數(shù)，y的最小值為6,2x5—1是3的倍數(shù)，￡的最小值為10,所以a+0+y的最小值是：

15+6+10=31.

26.對(duì)自然數(shù)a和n,規(guī)定a(7n=a"+a”】，例如3。2=3?+3=12,那么：

(1)172+272+372+-+9972=；

(2)271+272+273+-+2(799=.

【答案】(1)333300；⑵3x2"-3

【分析】(1)

原式=I2+1+22+2+32+3+-+992+99

=(I2+22+32+…+992)+(1+2+3+-+99)

=99x100x199+6+4950

=328350+4950

=333300;

(2)

原式=21+2°+22+21+23+22+…+2"+298

=(20+21+22+…+298)+(21+22+23+…+2")

=(20+21+22+…298)x3

=(2"-1)x3

=3x299—3

27.圍棋棋盤(pán)是由19條點(diǎn)和19條豎蔑組成的正方形方陣，其中有多少個(gè)正方形呢？

【答案】2109個(gè)

【分析】簡(jiǎn)答：按正方形的大小分類(lèi)，共有182+172+.??+M=2109個(gè).

28.我們知道：9=3x3,16=4x4,這里，9、16叫做“完全平方數(shù)”，在前300個(gè)自然數(shù)中,

去掉所存的“完全平方數(shù)”，剩下的自然數(shù)的和是多少？.

【答案】43365

【分析】不超過(guò)300的完全平方數(shù)，有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100>121、144、

169、196、225、256、289,^12+22+32+-+172=17x18x35=1785.前300

6

個(gè)自然數(shù)的和是：1+2+3+…+300=45150,于是剩下的自然數(shù)的和45150-1785=

43365.

29.12+22+32+???+20012+20022除以7的余數(shù)是多少？

【答案】0

【分析】由于

I2+22+32+…+20012+20022

2002x2003x4005

一6

=1001x2003x1335

而1001是7的倍數(shù)，所以這個(gè)乘積也是7的倍數(shù)，故M+22+32+…+200/+20022除以7的

余數(shù)是0;

30.計(jì)算以下式子的值：

111111

24X(273+475+-"+2072i)-(P+FT2^+-"F+2^+-+10^

【答案】黑

【分析】雖然很容易看出白=之一如短……可是再仔細(xì)一看，并沒(méi)有什么效果，因?yàn)?/p>

這不像分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)那樣能消,很多項(xiàng).黃們?cè)賮?lái)看后面的式子，每一項(xiàng)的分母容易讓我們想到公

式

1

I24-224-32H---1-n2=-Xnx(n4-1)x(2n+1),

6

于是我們又有

_______1_______________6______

I24-224-32H---Fn2nx(n+l)(2n—1),

減號(hào)前面括號(hào)里的式子有10項(xiàng)，減號(hào)后面括號(hào)里的式子也恰好有10項(xiàng)

111111

24X(2^3+475+,"+2^2i)~(P+F72^+",+P+22+...+102)

111

,2x34x520x2V

111

4x2x32x3x510x11x12，

111

12x34x520x21，

111

24X(--------1---------k...H-----------)

‘2x4x34x6x520x22x2r

r1111

「2x32x4x3714x54x6x5，

111

…+(20X21—20X22x21)]

111