2024屆江蘇省鎮(zhèn)江市新區(qū)九年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

2024屆江蘇省鎮(zhèn)江市新區(qū)九年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．定義：在等腰三角形中，底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)，頂角的正對(duì)記作，即底邊:腰.如圖，在中，，.則（）A． B． C． D．2．點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是A． B． C． D．3．若關(guān)于x的一元二次方程的兩根是，則的值為()A． B． C． D．4．已知一元二次方程的一般式為，則一元二次方程x2－5＝0中b的值為（）A．1 B．0 C．－5 D．55．小華同學(xué)某體育項(xiàng)目7次測(cè)試成績(jī)?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?，7，1，8，1，9，1．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（）A．8，1 B．1，9 C．8，9 D．9，16．如圖，直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)，那么與軸正半軸的夾角的余切值為（）A．2 B． C． D．7．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣1，2）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，﹣2）B．（1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（﹣2，1）8．根據(jù)下面表格中的對(duì)應(yīng)值：x3.243.253.26ax2+bx+c﹣0.020.010.03判斷關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個(gè)解x的范圍是（）A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25 C．3.25＜x＜3.26 D．x＞3.269．張華同學(xué)的身高為米，某一時(shí)刻他在陽光下的影長(zhǎng)為米，同時(shí)與他鄰近的一棵樹的影長(zhǎng)為米，則這棵樹的高為（）A．米 B．米 C．米 D．米10．已知圓錐的母線長(zhǎng)是12，它的側(cè)面展開圖的圓心角是120°，則它的底面圓的直徑為（）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空題(每小題3分,共24分)11．將“定理”的英文單詞theorem中的7個(gè)字母分別寫在7張相同的卡片上，字面朝下隨意放在桌子上，任取一張，那么取到字母e的概率為．12．方程2x2﹣6=0的解是_____．13．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AD⊥BC于點(diǎn)D，則△ABD與△ADC的面積比為________.14．如圖，等邊邊長(zhǎng)為2，分別以A，B，C為圓心，2為半徑作圓弧，這三段圓弧圍成的圖形就是著名的等寬曲線——魯列斯三角形，則該魯列斯三角形的面積為___________．15．如圖，六邊形ABCDEF是正六邊形，曲線FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六邊形的漸開線”，其中弧FK1、弧K1K2、弧K2K3、弧K3K4、弧K4K5、弧K5K6、…的圓心依次按點(diǎn)A、B、C、D、E、F循環(huán)，其弧長(zhǎng)分別為l1、l2、l3、l4、l5、l6、…．當(dāng)AB＝1時(shí)，l3=________，l2019＝_________．16．已知：如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線、相較于點(diǎn)，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)你添加一個(gè)條件________________（只添加一個(gè)即可），使平行四邊形成為矩形．17．二次函數(shù)y＝a（x+m）2+n的圖象如圖，則一次函數(shù)y＝mx+n的圖象不經(jīng)過第_____象限．18．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，根據(jù)函數(shù)圖象，可以寫出一系列的正確結(jié)論，如：a＞0；b＜0；c＜0；對(duì)稱軸為直線x＝1；…請(qǐng)你再寫出該函數(shù)圖象的一個(gè)正確結(jié)論：_____．三、解答題(共66分)19．（10分）A、B兩地間的距離為15千米，甲從A地出發(fā)步行前往B地，20分鐘后，乙從B地出發(fā)騎車前往A地，且乙騎車比甲步行每小時(shí)多走10千米．乙到達(dá)A地后停留40分鐘，然后騎車按原路原速返回，結(jié)果甲、乙兩人同時(shí)到達(dá)B地．求甲從A地到B地步行所用的時(shí)間．20．（6分）數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，將邊長(zhǎng)為的正方形ABCD與邊長(zhǎng)為的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一條直線上，AB與AG在同一條直線上.(1)小明發(fā)現(xiàn)DG⊥BE，請(qǐng)你幫他說明理由.(2)如圖2，小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)B恰好落在線段DG上時(shí)，請(qǐng)你幫他求出此時(shí)BE的長(zhǎng).21．（6分）如圖，已知A，B（-1,2）是一次函數(shù)與反比例函數(shù)（）圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，AC⊥x軸于C，BD⊥y軸于D．(1)根據(jù)圖象直接回答：在第二象限內(nèi)，當(dāng)x取何值時(shí)，一次函數(shù)大于反比例函數(shù)的值?(2)求一次函數(shù)解析式及m的值；(3)P是線段AB上的一點(diǎn)，連接PC，PD，若△PCA和△PDB面積相等，求點(diǎn)P坐標(biāo)．22．（8分）某校九年級(jí)（2）班、、、四位同學(xué)參加了?；@球隊(duì)選拔.（1）若從這四人中隨杋選取一人，恰好選中參加?；@球隊(duì)的概率是______；（2）若從這四人中隨機(jī)選取兩人，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求恰好選中、兩位同學(xué)參加校籃球隊(duì)的概率.23．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=，以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑的圓與BC相切于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F．（1）求∠ABE的大小及的長(zhǎng)度；（2）在BE的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G，使得上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)G的最短距離為，求BG的長(zhǎng)．24．（8分）我們定義：如果圓的兩條弦互相垂直，那么這兩條弦互為“十字弦”，也把其中的一條弦叫做另一條弦的“十字弦”.如：如圖，已知的兩條弦，則、互為“十字弦”，是的“十字弦”，也是的“十字弦”.（1）若的半徑為5，一條弦，則弦的“十字弦”的最大值為______，最小值為______.（2）如圖1，若的弦恰好是的直徑，弦與相交于，連接，若，，，求證：、互為“十字弦”；（3）如圖2，若的半徑為5，一條弦，弦是的“十字弦”，連接，若，求弦的長(zhǎng).25．（10分）如圖所示，分別切的三邊、、于點(diǎn)、、，若，，．（1）求的長(zhǎng)；（2）求的半徑長(zhǎng)．26．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC為直徑的⊙O交斜邊AB于點(diǎn)M，若H是AC的中點(diǎn)，連接MH．（1）求證：MH為⊙O的切線．（2）若MH=，tan∠ABC=，求⊙O的半徑．（3）在（2）的條件下分別過點(diǎn)A、B作⊙O的切線，兩切線交于點(diǎn)D，AD與⊙O相切于N點(diǎn)，過N點(diǎn)作NQ⊥BC，垂足為E，且交⊙O于Q點(diǎn)，求線段NQ的長(zhǎng)度．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、C【分析】證明△ABC是等腰直角三角形即可解決問題．【詳解】解：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠A=2∠B，

∴∠B=∠C=45°，∠A=90°，

∴在Rt△ABC中，BC==AC，

∴sin∠B?sadA=,故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．2、C【解析】解：點(diǎn)P(4，﹣3)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是(﹣4，3)．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)符號(hào)相反，即P(x，y)關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)是P′(﹣x，﹣y)．3、A【分析】利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可求解.【詳解】由題意可得：則故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)于一般形式，設(shè)其兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，則方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：.4、B【分析】對(duì)照一元二次方程的一般形式，根據(jù)沒有項(xiàng)的系數(shù)為0求解即可．【詳解】∵一元二次方程的一般式為，對(duì)于一元二次方程x2－5＝0中沒有一次項(xiàng)，故b的值為0，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查對(duì)一元二次方程的一般形式的認(rèn)識(shí)，掌握住各項(xiàng)系數(shù)是解題的關(guān)鍵．5、D【解析】試題分析：把這組數(shù)據(jù)從小到大排列：7，8，9，9，1，1，1，最中間的數(shù)是9，則中位數(shù)是9；1出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，則眾數(shù)是1；故選D．考點(diǎn)：眾數(shù)；中位數(shù)．6、B【分析】作PA⊥x軸于點(diǎn)A，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)的定義求解．【詳解】過P作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)A，

∵P(2,4)，

∴OA=2,AP=4，．

∴∴.故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是銳角三角函數(shù)的定義，解題關(guān)鍵是熟記三角函數(shù)的定義.7、B【解析】用關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征進(jìn)行判斷即可.【詳解】點(diǎn)P(-1,2)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-2),故選:B.【點(diǎn)睛】根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí),它們的坐標(biāo)符號(hào)相反.8、B【解析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得出ax2+bx+c＝0的值在-0.02和0.01之間，再看對(duì)應(yīng)的x的值即可得．【詳解】∵x＝3.24時(shí)，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.1時(shí)，ax2+bx+c＝0.01，∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個(gè)解x的范圍是3.24＜x＜3.1．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了估算一元二次方程的近似解：用列舉法估算一元二次方程的近似解，具體方法是：給出一些未知數(shù)的值，計(jì)算方程兩邊結(jié)果，當(dāng)兩邊結(jié)果愈接近時(shí)，說明未知數(shù)的值愈接近方程的根．9、A【分析】在同一時(shí)刻物高和影長(zhǎng)成正比，即在同一時(shí)刻的兩個(gè)物體、影子、經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個(gè)直角三角形相似．【詳解】解：據(jù)相同時(shí)刻的物高與影長(zhǎng)成比例，

設(shè)這棵樹的高度為xm，

則可列比例為，,解得，x=3.1．

故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查同一時(shí)刻物高和影長(zhǎng)成正比，考查利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．10、D【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角與半徑（即圓錐的母線的長(zhǎng)度）求得的弧長(zhǎng)，就是圓錐的底面的周長(zhǎng)，然后根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式l=2πr解出r的值即可．【詳解】試題解析：設(shè)圓錐的底面半徑為r圓錐的側(cè)面展開扇形的半徑為12，∵它的側(cè)面展開圖的圓心角是∴弧長(zhǎng)即圓錐底面的周長(zhǎng)是解得，r=4，∴底面圓的直徑為1．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算．正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長(zhǎng)是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)．二、填空題(每小題3分,共24分)11、【解析】試題分析：根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：①全部等可能情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率．因此，∵theorem中的7個(gè)字母中有2個(gè)字母e，∴任取一張，那么取到字母e的概率為．12、x1=，x2=﹣【解析】此題通過移項(xiàng)，然后利用直接開平方法解方程即可.【詳解】方程2x2﹣6=0，即x2=3，開方得：x=±，解得：x1=，x2=﹣，故答案為：x1=，x2=﹣【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的解法—直接開平方法，比較簡(jiǎn)單.13、1:1【分析】根據(jù)∠BAC=90°，可得∠BAD+∠CAD=90°，再根據(jù)垂直的定義得到∠ADB=∠CDA=90°，利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠B+∠BAD=90°，根據(jù)同角的余角相等得到∠B=∠CAD，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等兩三角形相似得到△ABD∽△CAD，由tanB=tan60°=，再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比（對(duì)應(yīng)邊的之比）的平方即可求出結(jié)果．【詳解】：∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAD=90°，

又∵AD⊥BC，

∴∠ADB=∠CDA=90°，

∴∠B+∠BAD=90°，

∴∠B=∠CAD，又∠ADB=∠CDA=90°，

∴△ABD∽△CAD，

∴,

∵∠B=60°，

∴，

∴．

故答案為1：1．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似比即為對(duì)應(yīng)邊之比，周長(zhǎng)比等于相似比，面積之比等于相似比的平方是解決問題的關(guān)鍵．14、【分析】求出一個(gè)弓形的面積乘3再加上△ABC的面積即可．【詳解】過A點(diǎn)作AD⊥BC，∵△ABC是等邊三角形，邊長(zhǎng)為2，∴AC=BC=2，CD=BC=1∴AD=∴弓形面積=.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是陰影部分的面積，掌握扇形的面積計(jì)算及等邊三角形的面積計(jì)算是關(guān)鍵．15、π673π【分析】用弧長(zhǎng)公式，分別計(jì)算出l1，l2，l3，…的長(zhǎng)，尋找其中的規(guī)律，確定l2019的長(zhǎng)．【詳解】解：根據(jù)題意得：l1=，l2=，l3=，則l2019=.故答案為：π；673π.【點(diǎn)睛】本題考查的是弧長(zhǎng)的計(jì)算，先用公式計(jì)算，找出規(guī)律，則可求出ln的長(zhǎng)．16、或（等，答案不唯一）【分析】矩形是特殊的平行四邊形，矩形有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是：矩形的對(duì)角線相等，矩形的四個(gè)內(nèi)角是直角；可針對(duì)這些特點(diǎn)來添加條件．【詳解】解：若使?ABCD變?yōu)榫匦危商砑拥臈l件是：AC＝BD；（對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形）∠ABC＝90°等．（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）故答案為：AC＝BD或（∠ABC＝90°等）【點(diǎn)睛】此題主要考查的是矩形的判定方法，熟練掌握矩形和平行四邊形的聯(lián)系和區(qū)別是解答此題的關(guān)鍵．17、一【分析】由二次函數(shù)解析式表示出頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖形得到頂點(diǎn)在第四象限，求出m與n的正負(fù)，即可作出判斷．【詳解】根據(jù)題意得：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣m，n），且在第四象限，∴﹣m＞0，n＜0，即m＜0，n＜0，則一次函數(shù)y＝mx+n不經(jīng)過第一象限．故答案為：一．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)及一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．18、4a+2b+c＜1【分析】由函數(shù)的圖象當(dāng)x=2時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值小于1，把x=2代入函數(shù)的關(guān)系式得，y=4a+2b+c，因此4a+2b+c＜1．【詳解】把x＝2代入函數(shù)的關(guān)系式得，y＝4a+2b+c，由圖象可知當(dāng)x＝2時(shí)，相應(yīng)的y＜1，即：4a+2b+c＜1，故答案為：4a+2b+c＜1【點(diǎn)睛】考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，拋物線的性質(zhì)可以從開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，以及圖象過特殊點(diǎn)的性質(zhì)．三、解答題(共66分)19、3小時(shí)．【分析】本題的等量關(guān)系是路程=速度×?xí)r間．本題可根據(jù)乙從B到A然后再到B用的時(shí)間=甲從A到B用的時(shí)間-20分鐘-40分鐘來列方程．【詳解】解：設(shè)甲從A地到B地步行所用時(shí)間為x小時(shí)，由題意得：化簡(jiǎn)得：2x2-5x-3=0，解得：x1=3，x2=-，經(jīng)檢驗(yàn)知x=3符合題意，∴x=3，∴甲從A地到B地步行所用時(shí)間為3小時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，注意分式方程結(jié)果要檢驗(yàn)．20、（1）詳見解析；（2）3.【解析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，得△ADG≌△ABE，所以∠AGD＝∠AEB.延長(zhǎng)EB交DG于點(diǎn)H.由圖形及題意，得到∠DHE＝90°，所以，.（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)等，先證明△ADG≌△ABE(SAS)，得到DG＝BE.過點(diǎn)A作AM⊥DG交DG于點(diǎn)M.由題意，得AM＝BD＝1，再由勾股定理，得到GM＝2，所以DG＝DM＋GM＝1＋2＝3，最后得到BE＝DG＝3.【詳解】(1)四邊形ABCD與四邊形AEFG是正方形∴AD＝AB,∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE∴△ADG≌△ABE∴∠AGD＝∠AEB如圖1，延長(zhǎng)EB交DG于點(diǎn)H△ADG中∠AGD＋∠ADG＝90°∴∠AEB＋∠ADG＝90°△DEH中,∠AEB＋∠ADG＋∠DHE＝180°∴∠DHE＝90°∴(2)四邊形ABCD與四邊形AEFG是正方形∴AD＝AB,∠DAB＝∠GAE＝90°，AG＝AE∴∠DAB＋∠BAG＝∠GAE＋∠BAG∴∠DAG＝∠BAEAD＝AB,∠DAG＝∠BAE,AG＝AE∴△ADG≌△ABE(SAS)∴DG＝BE如圖2，過點(diǎn)A作AM⊥DG交DG于點(diǎn)M,∠AMD＝∠AMG＝90°BD是正方形ABCD的對(duì)角線∴∠MDA＝∠MDA＝∠MAB＝45°,BD＝2∴AM＝BD＝1在Rt△AMG中，∵∴GM＝2∵DG＝DM＋GM＝1＋2＝3∴BE＝DG＝3【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等判定定理及勾股定理在圖形證明中的綜合運(yùn)用，熟練掌握三角形全等判定定理及勾股定理在圖形證明中的綜合運(yùn)用.21、（1）當(dāng)﹣4＜x＜﹣1時(shí)，一次函數(shù)大于反比例函數(shù)的值；（2）一次函數(shù)的解析式為y=x+；m=﹣2；（3）P點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，）．【解析】試題分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方的部分是不等式的解，觀察圖象，可得答案；（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式以及m的值；（3）設(shè)P的坐標(biāo)為（x，x+）如圖，由A、B的坐標(biāo)可知AC=，OC=4，BD=1，OD=2，易知△PCA的高為x+4，△PDB的高（2﹣x﹣），由△PCA和△PDB面積相等得,可得答案．試題解析：（1）由圖象得一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時(shí)，﹣4＜x＜﹣1，所以當(dāng)﹣4＜x＜﹣1時(shí)，一次函數(shù)大于反比例函數(shù)的值；（2）設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+b，y=kx+b的圖象過點(diǎn)（﹣4，），（﹣1，2），則，解得一次函數(shù)的解析式為y=x+，反比例函數(shù)y=圖象過點(diǎn)（﹣1，2），m=﹣1×2=﹣2；（3）連接PC、PD，如圖，設(shè)P的坐標(biāo)為（x，x+）如圖，由A、B的坐標(biāo)可知AC=，OC=4，BD=1，OD=2，易知△PCA的高為x+4，△PDB的高（2﹣x﹣），由△PCA和△PDB面積相等得××（x+4）=×|﹣1|×（2﹣x﹣），x=﹣，y=x+=，∴P點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，）．考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題22、（1）；（2）（兩位同學(xué)參加籃球隊(duì)）【分析】(1)根據(jù)概率公式(n次試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)m次)計(jì)算即可(2)用列表法求得全部情況的總數(shù)與符合條件的情況數(shù)目，二者的比值就是其發(fā)生的概率.【詳解】解：(1)恰好選中B參加?；@球隊(duì)的概率是.(2)列表格如下：∴（兩位同學(xué)參加籃球隊(duì)）【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或樹狀圖法求事件的概率問題，通過題目找出全部情況的總數(shù)與符合條件的情況數(shù)目與熟記概率公式是解題的關(guān)鍵.23、（1）15°，；（2）1．【解析】試題分析：（1）連接AE，如圖1，根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得AE⊥BC，解Rt△AEB可求出∠ABE，進(jìn)而得到∠DAB，然后運(yùn)用圓弧長(zhǎng)公式就可求出的長(zhǎng)度；（2）如圖2，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)A、P、G三點(diǎn)共線時(shí)PG最短，此時(shí)AG=AP+PG==AB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BE=EG，只需運(yùn)用勾股定理求出BE，就可求出BG的長(zhǎng)．試題解析：（1）連接AE，如圖1，∵AD為半徑的圓與BC相切于點(diǎn)E，∴AE⊥BC，AE=AD=2．在Rt△AEB中，sin∠ABE===，∴∠ABE=15°．∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABE=180°，∴∠DAB=135°，∴的長(zhǎng)度為=；（2）如圖2，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)A、P、G三點(diǎn)共線時(shí)PG最短，此時(shí)AG=AP+PG==，∴AG=AB．∵AE⊥BG，∴BE=EG．∵BE===2，∴EG=2，∴BG=1．考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；弧長(zhǎng)的計(jì)算；動(dòng)點(diǎn)型；最值問題．24、（1）10，6；（2）見解析；（3）.【分析】（1）根據(jù)“十字弦”定義可得弦的“十字弦”為直徑時(shí)最大，當(dāng)CD過A點(diǎn)或B點(diǎn)時(shí)最?。唬?）根據(jù)線段長(zhǎng)度得出對(duì)應(yīng)邊成比例且有夾角相等，證明△ACH∽△DCA,由其性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)角相等，結(jié)合90°的圓周角證出AH⊥CD，根據(jù)“十字弦”定義可得；（3）過O作OE⊥AB于點(diǎn)E，作OF⊥CD于點(diǎn)F,利用垂徑定理得出OE=3，由正切函數(shù)得出AH=DH,設(shè)DH=x，在Rt△ODF中，利用線段和差將邊長(zhǎng)用x表示，根據(jù)勾股定理列方程求解.【詳解】解：（1）當(dāng)CD為直徑時(shí)，CD最大，此時(shí)CD=10，∴弦的“十字弦”的最大值為10；當(dāng)CD過A點(diǎn)時(shí)，CD長(zhǎng)最小，即AM的長(zhǎng)度,過O點(diǎn)作ON⊥AM,垂足為N,作OG⊥AB，垂足為G,則四邊形AGON為矩形，∴AN=OG,∵OG⊥AB,AB=8，∴AG=4，∵OA=5，∴由勾股定理得OG=3，∴AN=3，∵ON⊥AM,∴AM=6，即弦的“十字弦”的最小值是6.（2）證明：如圖，連接AD，∵，，，∴,∵∠C=∠C,∴△ACH∽△DCA,∴∠CAH=∠D,∵CD是直徑，∴∠CAD=90°,∴∠C+∠D=90°,∴∠C+∠CAH=90°,∴∠AHC=90°,∴AH⊥CD,∴、互為“十字弦”.（3）如圖，過O作OE⊥AB于點(diǎn)E，作OF⊥CD于點(diǎn)F，連接OA，OD，則四邊形OEHF是矩形，∴OE=FH,OF=EH,∴AE=4，∴由勾股定理得OE=3，∴FH=3，∵tan∠ADH=,∴tan60°=,設(shè)DH=,則AH=x,∴FD=3+x,OF=HE=4-x,在Rt△ODF中，由勾股定理得，OD2=OF2+FD2，∴(3+x)2+(4-x)2=52,解得，x=,∴FD=,∵OF⊥CD,∴CD=2DF=即CD=【點(diǎn)睛】本題考查圓的相關(guān)性質(zhì)，利用垂徑定理，相似三角形等知識(shí)是解決圓問題的常用手段,對(duì)結(jié)合學(xué)過的知識(shí)和方法的基礎(chǔ)上，用新的方法和思路來解決新題型或新定義的能力是解答此題的關(guān)鍵.25、（1）4；（2）2【分析】（1）設(shè)AD=x，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到AF=AD,BE=BD,CE