新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 課時作業(yè)41 空間幾何體的表面積與體積（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

課時作業(yè)41空間幾何體的表面積與體積一、選擇題1．一個球的表面積是16π，那么這個球的體積為(B)A.eq\f(16,3)π B.eq\f(32,3)πC．16π D．24π解析：設(shè)球的半徑為R，則S＝4πR2＝16π，解得R＝2，則球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π.2．已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為(B)A．1cm B．2cmC．3cm D.eq\f(3,2)cm解析：由題意，得S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r2＝4，所以r＝2(cm)．3．現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個．若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為(B)A.eq\r(6) B.eq\r(7)C．2eq\r(2) D．3解析：設(shè)新的底面半徑為r，由題意得eq\f(1,3)πr2·4＋πr2·8＝eq\f(1,3)π×52×4＋π×22×8，解得r＝eq\r(7).4．已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有頂點都在球O的球面上，該三棱柱的五個面所在的平面截球面所得的圓大小相同，若球OA．6eq\r(3) B．12C．12eq\r(3) D．18解析：設(shè)球O的半徑為R，則由4πR2＝20π得R2＝5，由題意知，此三棱柱為正三棱柱，且底面三角形的外接圓與側(cè)面的外接圓大小相同，故設(shè)三棱柱的底面邊長為a，高為h，如圖，取三角形ABC的中心O1，四邊形BCC1B1的中心O2，連接OO1，OA，O2B，O1A，由題意可知，在Rt△AOO1中，OOeq\o\al(2,1)＋AOeq\o\al(2,1)＝AO2＝R2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)a,3)))2＝R2＝5①，又AO1＝BO2，所以AOeq\o\al(2,1)＝BOeq\o\al(2,2)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)a,3)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2②，由①②可得a2＝12，h＝2，所以三棱柱的體積V＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)a2))h＝6eq\r(3).故選A.5．已知正三棱錐的高為6，內(nèi)切球(與四個面都相切)的表面積為16π，則其底面邊長為(B)A．18 B．12C．6eq\r(3) D．4eq\r(3)解析：如圖，由題意知，球心在三棱錐的高PE上，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，則S球＝4πR2＝16π，所以R＝2，所以O(shè)E＝OF＝2，OP＝4.在Rt△OPF中，PF＝eq\r(OP2－OF2)＝2eq\r(3).因為△OPF∽△DPE，所以eq\f(OF,DE)＝eq\f(PF,PE)，得DE＝2eq\r(3)，AD＝3DE＝6eq\r(3)，AB＝eq\f(2,\r(3))AD＝12.故選B.6．(多選題)已知A，B，C三點均在球O的表面上，AB＝BC＝CA＝2，且球心O到平面ABC的距離等于球半徑的eq\f(1,3)，則下列結(jié)論正確的是(AD)A．球O的表面積為6πB．球O的內(nèi)接正方體的棱長為1C．球O的外切正方體的棱長為eq\f(4,3)D．球O的內(nèi)接正四面體的棱長為2解析：設(shè)球O的半徑為r，△ABC的外接圓圓心為O′，半徑為R.易得R＝eq\f(2\r(3),3).因為球心O到平面ABC的距離等于球O半徑的eq\f(1,3)，所以r2－eq\f(1,9)r2＝eq\f(4,3)，得r2＝eq\f(3,2).所以球O的表面積S＝4πr2＝4π×eq\f(3,2)＝6π，選項A正確；球O的內(nèi)接正方體的棱長a滿足eq\r(3)a＝2r，顯然選項B不正確；球O的外切正方體的棱長b滿足b＝2r，顯然選項C不正確；球O的內(nèi)接正四面體的棱長c滿足c＝eq\f(2\r(6),3)r＝eq\f(2\r(6),3)×eq\f(\r(6),2)＝2，選項D正確．二、填空題7．(2019·江蘇卷)如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的體積是120，E為CC1的中點，則三棱錐E-BCD的體積是10解析：因為長方體ABCD-A1B1C1D1所以CC1·S四邊形ABCD＝120，又E是CC1的中點，所以三棱錐E-BCD的體積VE-BCD＝eq\f(1,3)EC·S△BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)CC1×eq\f(1,2)S四邊形ABCD＝eq\f(1,12)×120＝10.8．如圖所示，一個底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水．若放入一個半徑為r的實心鐵球，水面高度恰好升高r，則eq\f(R,r)＝eq\f(2\r(3),3).解析：由水面高度升高r，得圓柱體積增加了πR2r，恰好是半徑為r的實心鐵球的體積，因此有eq\f(4,3)πr3＝πR2r.故eq\f(R,r)＝eq\f(2\r(3),3).9．一個六棱錐的體積為2eq\r(3)，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為12.解析：設(shè)六棱錐的高為h，則V＝eq\f(1,3)Sh，所以eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×4×6h＝2eq\r(3)，解得h＝1.設(shè)六棱錐的斜高為h′，則h2＋(eq\r(3))2＝h′2，故h′＝2.所以該六棱錐的側(cè)面積為eq\f(1,2)×2×2×6＝12.10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PB⊥底面ABCD，O為對角線AC與BD的交點，若PB＝1，∠APB＝∠BAD＝eq\f(π,3)，則三棱錐P-AOB的外接球的體積是eq\f(4π,3).解析：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即OA⊥OB.∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥AO，又OB∩PB＝B，∴AO⊥平面PBO，∴AO⊥PO，即△PAO是以PA為斜邊的直角三角形．∵PB⊥AB，∴△PAB是以PA為斜邊的直角三角形，∴三棱錐P-AOB的外接球的直徑為PA.∵PB＝1，∠APB＝eq\f(π,3)，∴PA＝2，∴三棱錐P-AOB的外接球的半徑為1，∴三棱錐P-AOB的外接球的體積為eq\f(4π,3).三、解答題11．現(xiàn)需要設(shè)計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍，若AB＝6m，PO1＝解：由PO1＝2m知，O1O＝4PO1＝8m．因為A1B1＝AB＝6m，所以正四棱錐P-A1B1C1D1V錐＝eq\f(1,3)·A1Beq\o\al(2,1)·PO1＝eq\f(1,3)×62×2＝24(m3)；正四棱柱ABCD-A1B1C1D1V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)，所以倉庫的容積V＝V錐＋V柱＝24＋288＝312(m3)．故倉庫的容積是312m312．如圖①，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，CD＝2AB＝2EF＝4，M為DF的中點．現(xiàn)將四邊形BEFC沿EF折起，使平面BEFC⊥平面AEFD，得到如圖②所示的多面體．在圖②中，(1)證明：EF⊥MC；(2)求三棱錐M-ABD的體積．解：(1)證明：由題意，可知在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∵E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，∴EF⊥CD.折疊后，EF⊥DF，EF⊥CF.∵DF∩CF＝F，∴EF⊥平面DCF.又MC?平面DCF，∴EF⊥MC.(2)易知AE＝BE＝1，DF＝CF＝2，DM＝1，∴MF＝1＝AE.又AE∥MF，∴四邊形AEFM為平行四邊形．∴AM∥EF，故AM⊥DF.∵平面BEFC⊥平面AEFD，平面BEFC∩平面AEFD＝EF，且BE⊥EF，∴BE⊥平面AEFD.∴VM-ABD＝VB-AMD＝eq\f(1,3)×S△AMD×BE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×1＝eq\f(1,3).即三棱錐M-ABD的體積為eq\f(1,3).13．已知在四面體ABCD中，AD＝DB＝AC＝CB＝1，則該四面體的體積的最大值為eq\f(2\r(3),27).解析：如圖，設(shè)AB的中點為P，連接PC，PD，因為AD＝DB，AC＝CB，所以AB⊥PD，AB⊥PC，又PC∩PD＝P，所以AB⊥平面PCD.設(shè)AB＝2x(0<x<1)，則PC＝PD＝eq\r(1－x2).于是，V三棱錐A-BCD＝V三棱錐A-PCD＋V三棱錐B-PCD＝eq\f(1,3)·S△PCD·AP＋eq\f(1,3)·S△PCD·BP＝eq\f(1,3)·S△PCD·AB＝eq\f(1,3)·2x·eq\f(1,2)(eq\r(1－x2))2sin∠CPD≤eq\f(1,3)x·(eq\r(1－x2))2.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x·(eq\r(1－x2))2＝eq\f(1,3)(x－x3)，0<x<1，則f′(x)＝eq\f(1,3)－x2，所以當(dāng)0<x<eq\f(\r(3),3)時，f′(x)>0；當(dāng)eq\f(\r(3),3)<x<1時，f′(x)<0.所以函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))上單調(diào)遞減，所以f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))＝eq\f(2\r(3),27).從而V三棱錐A-BCD≤eq\f(2\r(3),27)，當(dāng)且僅當(dāng)sin∠CPD＝1且x＝eq\f(\r(3),3)，即平面ABD⊥平面ABC且AB＝eq\f(2\r(3),3)時，不等式取等號．故所求四面體的體積的最大值為eq\f(2\r(3),27).14．如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E為CD的中點，將△ADE沿AE折到△APE的位置．(1)證明：AE⊥PB；(2)當(dāng)四棱錐P-ABCE的體積最大時，求點C到平面PAB的距離．解：(1)證明：在等腰梯形ABCD中，連接BD，交AE于點O.∵AB∥CE，AB＝CE，∴四邊形ABCE為平行四邊形，∴AE＝BC＝AD＝DE，∴△ADE為等邊三角形，∴在等腰梯形ABCD中，∠C＝∠ADE＝eq\f(π,3)，BD⊥BC，∴BD⊥AE.如圖，翻折后可得，OP⊥AE，OB⊥AE，又OP?平面POB，OB?平面POB，OP∩OB＝O，∴AE⊥平面POB，∵PB?平面POB，∴AE⊥PB.(2)當(dāng)四棱錐P-ABCE的體積最大時，平面PAE⊥平面ABCE.又平面PAE∩平面ABCE＝AE，PO?平面PAE，PO⊥AE，∴OP⊥平面ABCE.∵OP＝OB＝eq\f(\r(3),2)，∴PB＝eq\f(\r(6),2)，∵AP＝AB＝1，∴S△PAB＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(6),2)×eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(