高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 練案（2）第一章 集合與常用邏輯用語 第二講 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

[練案2]第二講命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．(2020·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)第二次診斷)已知a，b，c∈R，命題“若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2≥3”的否命題是(A)A．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2≥3D．若a＋b＋c≥3，則a2＋b2＋c2＝3[解析]命題“若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2≥3”的否命題是“若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2<3”．故選A.2．(2020·河北邯鄲月考)下列命題是真命題的為(A)A．若eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)，則x＝y(tǒng) B．若x2＝1，則x＝1C．若x＝y(tǒng)，則eq\r(x)＝eq\r(y) D．若x<y，則x2<y2[解析]選項(xiàng)A，由eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)得eq\f(x－y,xy)＝0，則x＝y(tǒng)，為真命題；選項(xiàng)B，由x2＝1得x＝±1，x不一定為1，為假命題；選項(xiàng)C，若x＝y(tǒng)，eq\r(x)，eq\r(y)不一定有意義，為假命題；選項(xiàng)D，若x<y<0，則x2>y2，為假命題，故選A.3．(2020·安徽淮南二中、宿城一中聯(lián)考)命題p：“若a≥b，則a＋b>2020且a>－b”的逆否命題是(C)A．若a＋b≤2020且a≤－b，則a<bB．若a＋b≤2020且a≤－b，則a>bC．若a＋b≤2020或a≤－b，則a<bD．若a＋b≤2020或a≤－b，則a>b[解析]根據(jù)逆否命題的定義可得命題p：“若a≥b，則a＋b>2020且a>－b”的逆否命題是：若a＋b≤2020或a≤－b，則a<b.故選C.4．(2020·湖北襄陽調(diào)研)設(shè)a，b∈R，則“2a－b<1”是“l(fā)na<lnbA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]由2a－b<1得a<b，由lna<lnb得0<a<b，∴“2a－b<1”是“l(fā)na<ln5．已知命題p：x≠3且y≠2，q：x＋y≠5，則p是q的(D)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析](等價(jià)轉(zhuǎn)化法)原命題等價(jià)于判斷?q：x＋y＝5是?p：x＝3或y＝2的何種條件，顯然?q?p，?p?q，所以p是q的既不充分也不必要條件．6．(2020·青島模擬)已知直線m、n和平面α，在下列給定的四個(gè)結(jié)論中，m∥n的一個(gè)必要但不充分條件是(D)A．m∥α，n∥α B．m⊥α，n⊥αC．m∥α，n?α D．m、n與α所成的角相等[解析]m∥n?m，n與α所成的角相等，反之m，n與α所成的角相等不一定推出m∥n.故選D.7．(2020·3月份北京市高考適應(yīng)性測(cè)試)設(shè){an}是等差數(shù)列，且公差不為零，其前n項(xiàng)和為Sn.則“?n∈N*，Sn＋1>Sn”是“{an}為遞增數(shù)列”的(A)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]∵Sn＋1>Sn，∴an＋1>0，即dn＋a1>0，由于對(duì)?N*都成立，因此，d>0且a1＋d>0，所以{an}為遞增數(shù)列，若{an}為遞增數(shù)列，如－4，－3，－2，－1,0，……，顯然S2<S1，因此選A.二、多選題8．(2020·甘肅酒泉敦煌中學(xué)一診改編)下列四個(gè)命題中，是真命題的有(ABCD)A．“若xy＝1，則lgx＋lgy＝0”的逆命題B．“若a·b＝a·c，則a⊥(b－c)”的否命題C．“若b≤0，則方程x2－2bx＋b2＋b＝0有實(shí)根”的逆否命題D．“等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角均為60°”的逆命題[解析]A．“若xy＝1，則lgx＋lgy＝0”的逆命題為“若lgx＋lgy＝0，則xy＝1”，該命題為真命題．B．“若a·b＝a·c，則a⊥(b－c)”的否命題為“若a·b≠a·c，則a不垂直于(b－c)”．由a·b≠a·c可得a·(b－c)≠0，據(jù)此可知a不垂直于(b－c)，該命題為真命題．C．若b≤0，則方程x2－2bx＋b2＋b＝0的判別式Δ＝(－2b)2－4(b2＋b)＝－4b≥0，方程有實(shí)根，原命題為真命題，則其逆否命題為真命題．D．“等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角均為60°”的逆命題為“三個(gè)內(nèi)角均為60°的三角形為等邊三角形”，該命題為真命題．綜上，是真命題的有A、B、C、D.9．(2020·安徽定遠(yuǎn)中學(xué)月考改編)下列說法不正確的是(ABD)A．命題“若x2＝1，則x＝1”的否命題是“若x2＝1，則x≠1”B．“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的必要不充分條件C．命題“若x＝y(tǒng)，則sinx＝siny”的逆否命題是真命題D．“tanx＝1”是“x＝eq\f(π,4)”的充分不必要條件[解析]由原命題與否命題的關(guān)系知，原命題的否命題是“若x2≠1，則x≠1”，即A不正確；因?yàn)閤2－x－2＝0?x＝－1或x＝2，所以“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的充分不必要條件，即B不正確；因?yàn)橛蓌＝y(tǒng)能推得sinx＝siny，即原命題是真命題，所以它的逆否命題是真命題，故C正確；由x＝eq\f(π,4)能推得tanx＝1，但由tanx＝1推不出x＝eq\f(π,4)，所以“x＝eq\f(π,4)”是“tanx＝1”的充分不必要條件，即D不正確．故選A、B、D.10．(2020·湖南湘潭一中模擬改編)已知命題p：若復(fù)數(shù)z滿足(z－i)(－i)＝5，則z＝6i；命題q：復(fù)數(shù)eq\f(1＋i,1＋2i)的虛部為－eq\f(1,5)i，則下列為假命題的是(ABD)A．(?p)∧(?q) B．(?p)∧qC．p∧(?q) D．p∧q[解析]由已知可得，復(fù)數(shù)z滿足(z－i)(－i)＝5，所以z＝eq\f(5,－i)＋i＝6i，所以命題p為真命題；復(fù)數(shù)eq\f(1＋i,1＋2i)＝eq\f(1＋i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(3－i,5)，其虛部為－eq\f(1,5)，故命題q為假命題，所以?q為真命題，所以p∧(?q)為真命題，故選A、B、D.三、填空題11．(2020·黑龍江佳木斯月考)在“△ABC中，若∠C＝90°，則∠A，∠B都是銳角”的逆否命題為__“在△ABC中，若∠A，∠B不都是銳角”，則∠C≠90°__.[解析]逆否命題是否定條件和結(jié)論，交換條件和結(jié)論．即“在△ABC中，若∠A，∠B不都是銳角，則∠C≠90°”．12．(2020·湖南六校聯(lián)考)設(shè)甲、乙、丙、丁是四個(gè)命題，甲是乙的充分不必要條件，丙是乙的充要條件，丁是丙的必要不充分條件，那么丁是甲的__必要不充分__條件．[解析]因?yàn)榧资且业某浞植槐匾獥l件，即甲?乙，乙甲；又因?yàn)楸且业某湟獥l件，即乙?丙；又因?yàn)槎∈潜谋匾怀浞謼l件，即丙?丁，丁丙；故甲?丁，丁甲，即丁是甲的必要不充分條件．13．有下列四個(gè)命題：①“若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題；②“相似三角形的周長相等”的否命題；③“若b≤－1，則方程x2－2bx＋b2＋b＝0有實(shí)根”的逆否命題；④“若A∪B＝B，則A?B”的逆否命題．其中所有真命題的序號(hào)有__①③__.[解析]①中命題的逆命題為“若x，y互為倒數(shù)，則xy＝1”，是真命題．②中命題的否命題為“若兩個(gè)三角形不相似，這兩個(gè)三角形的周長不相等”，是假命題．③中命題的逆否命題為“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0沒有實(shí)根，則b>－1”．若方程x2－2bx＋b2＋b＝0沒有實(shí)數(shù)根，則Δ＝(－2b)2－4(b2＋b)＝－4b<0，解得b>0，所以b>－1，是真命題．④若A∪B＝B，則A?B，原命題為假命題．又因?yàn)槟娣衩}與原命題同真同假，所以其逆否命題也是假命題．①③是真命題，②④是假命題．14．(2020·山西大同一中期中)已知集合A＝{x|eq\f(1,2)<2x<8，x∈R}，B＝{x|－1<x<m＋1，x∈R}．若x∈B成立的一個(gè)充分不必要條件是x∈A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__(2，＋∞)__.[解析]由題意A＝{x|eq\f(1,2)<2x<8，x∈R}＝{x|－1<x<3}．∵x∈B成立的一個(gè)充分不必要條件是x∈A，∴AB，∴m＋1>3，即m>2.B組能力提升1．(多選題)(2020·成都市一診改編)下列判斷不正確的是(ABD)A．“x<－2”是“l(fā)n(x＋3)<0”的充分不必要條件B．函數(shù)f(x)＝eq\r(x2＋9)＋eq\f(1,\r(x2＋9))的最小值為2C．當(dāng)α，β∈R時(shí)，命題“若α＝β，則sinα＝sinβ”的逆否命題為真命題D．命題“?x>0,2020x＋2020>0”的否定是“?x0≤0，2020x0＋2020≤0”[解析]選項(xiàng)A中，由ln(x＋3)<0，得0<x＋3<1，解得－3<x<－2，所以“x<－2”是“l(fā)n(x＋3)<0”的必要不充分條件，故選項(xiàng)A不正確；選項(xiàng)B中，令t＝eq\r(x2＋9)，因?yàn)閑q\r(x2＋9)≥3，y＝t＋eq\f(1,t)在[3，＋∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t≥3時(shí)，y＝t＋eq\f(1,t)≥eq\f(10,3)，所以f(x)＝eq\r(x2＋9)＋eq\f(1,\r(x2＋9))的最小值為eq\f(10,3)，故選項(xiàng)B不正確；選項(xiàng)C中，因?yàn)槊}“若α＝β，則sinα＝sinβ”為真命題，所以該命題的逆否命題也為真命題，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D中，由全稱命題的否定為特稱命題知，該命題的否定為“?x0>0,2020x0＋2020≤0”，故選項(xiàng)D不正確．故選A、B、D.2．(2020·江西撫州七校聯(lián)考)A，B，C三個(gè)學(xué)生參加了一次考試，A，B的得分均為70分，C的得分為65分．已知命題p：若及格分低于70分，則A，B，C都沒有及格．則下列四個(gè)命題中為p的逆否命題的是(C)A．若及格分不低于70分，則A，B，C都及格B．若A，B，C都及格，則及格分不低于70分C．若A，B，C至少有一人及格，則及格分不低于70分D．若A，B，C至少有一人及格，則及格分高于70分[解析]根據(jù)原命題與它的逆否命題之間的關(guān)系知，命題p的逆否命題是若A，B，C至少有一人及格，則及格分不低于70分．故選C.3．(2020·安徽合肥模擬)(數(shù)學(xué)文化題)祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”．它是中國古代一個(gè)涉及幾何體體積的問題，意思是兩個(gè)同高的幾何體，如果在等高上的截面積恒相等，那么體積相等．設(shè)A，B為兩個(gè)同高的幾何體，p：A，B的體積不相等，q：A，B在等高處的截面積不恒相等，根據(jù)祖暅原理可知，p是q的(A)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]根據(jù)祖暅原理，“A，B在等高處的截面積恒相等”是“A，B的體積相等”的充分不必要條件，即?q是?p的充分不必要條件，故p是q的充分不必要條件，選A.4．(2020·山西45校聯(lián)考)下列選項(xiàng)中，eq\r(a)>eq\r(b)的一個(gè)充分不必要條件的是(D)A．eq\f(1,a)>eq\f(1,b) B．e