大一高數課件第八章8-1-1多元函數的基本概念

大一高數課件第八章8-1-1多元函數的基本概念Contents目錄多元函數的定義與表示多元函數的極限多元函數的連續(xù)性多元函數的可微性多元函數的定義與表示01多元函數設D是一個非空實數集合，P是實數集合中的一個非空子集，若對于每一個x∈D，P中有一個確定的數值y與之對應，則稱y是x的函數，記作y=f(x)，其中x是自變量，y是因變量，P稱為定義域，D稱為值域。多元函數若定義域D中存在兩個或兩個以上的自變量，則稱該函數為多元函數。全純函數如果一個多元函數在其定義域內的每一點都可微，則稱該函數為全純函數。定義用代數符號表示多元函數的各個分量。代數表示法將多元函數的各個分量表示為向量或矩陣的形式。向量表示法將多元函數表示為一個方程組，通過解方程組得到各個分量。隱函數表示法表示方法對于二元函數z=f(x,y)，其幾何意義為平面上的曲線。平面曲線對于三元函數z=f(x,y,z)，其幾何意義為三維空間中的曲面。三維曲面對于n元函數z=f(x1,x2,...,xn)，其幾何意義為n+1維空間中的超曲面。超曲面對于多元函數的各個分量，可以構成一個流形，流形是幾何學中一個重要的概念。流形多元函數的幾何意義多元函數的極限02一元函數極限的定義與性質定義對于函數$f(x)$，若在點$x_0$的某一去心鄰域內，當$x$無限趨近于$x_0$時，函數值$f(x)$無限趨近于某一常數$A$，則稱$A$為函數$f(x)$在點$x_0$處的極限。性質極限具有唯一性、有界性、局部有界性、局部保號性、四則運算法則等。對于多元函數$f(x,y,z,...)$，若在點$(x_0,y_0,z_0,...)$的某一去心鄰域內，當各變量分別無限趨近于相應的值時，函數值$f(x,y,z,...)$無限趨近于某一常數$A$，則稱$A$為函數$f(x,y,z,...)$在點$(x_0,y_0,z_0,...)$處的極限。定義與一元函數極限的性質類似，但需要考慮多個變量的變化情況。性質多元函數極限的定義多元函數極限的性質性質1極限的唯一性：對于任意點$(x_0,y_0,z_0,...)$處的極限，其值是唯一的。性質2局部有界性：在點$(x_0,y_0,z_0,...)$的某一鄰域內，多元函數是有限的。性質3局部保號性：在點$(x_0,y_0,z_0,...)$的某一鄰域內，若函數值無限趨近于正數或負數，則該函數在此鄰域內與該常數同號。性質4四則運算法則：與一元函數類似，極限的四則運算法則也適用于多元函數。多元函數的連續(xù)性03定義如果函數在某點的極限值等于函數值，則函數在該點連續(xù)。性質連續(xù)函數具有局部有界性、局部保號性、可積性等性質。一元函數連續(xù)性的定義與性質如果對于任何接近于某點的x值，函數在該點的極限值都等于函數值，則函數在該點連續(xù)。連續(xù)函數具有局部有界性、局部保號性、可積性等性質。多元函數連續(xù)性的定義性質定義局部保號性如果函數在某點的極限值大于0，則存在一個正數δ，使得當所有自變量滿足|x-x0|<δ時，f(x)>0?？煞e性如果函數在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則該函數在[a,b]上可積。局部有界性對于任意給定的正數ε，存在正數δ，使得當所有自變量滿足|x-x0|<δ時，|f(x)-f(x0)|<ε。多元函數連續(xù)性的性質多元函數的可微性04一元函數可微性的定義如果函數在某點的導數存在，則該函數在該點可微。要點一要點二一元函數可微性的性質可微函數在其定義域內的任意點都存在導數，且導數具有連續(xù)性。一元函數可微性的定義與性質多元函數可微性的定義如果函數在某點的偏導數都存在，則該函數在該點可微。多元函數可微性的定義對于多元函數，在某點的某個自變量變化時，其他自變量保持不變，得到的導數稱為偏導數。偏導數的定義可微函數的偏導數連續(xù)