天津市南開區(qū)2021-2022學年高考仿真模擬數(shù)學試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.某三棱錐的三視圖如圖所示，那么該三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù)為（）

2.《易?系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在

后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如圖，白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù)，若從陰數(shù)和陽數(shù)中各取

一數(shù)，則其差的絕對值為5的概率為

CHXXXXX）

3.設。為坐標原點，P是以尸為焦點的拋物線V=4x上任意一點，M是線段Pb上的點，且PM=MF,則直線

OM的斜率的最大值為（）

D.更

4.若2"+3a=3〃+26則下列關系式正確的個數(shù)是（)

①bvavO②a=b③()v〃<Z?vl?\<b<a

A.1B.2C.3D.4

5.已知集合?=｛1|1—2＜0｝,。='幻亍一＜01,貝！]（?尸）口。為（）

A.[0,2）B.（2,3]C.[2,3]D.（0,2]

6.已知數(shù)列｛4｝是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，｛"｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，設，“=%,,

1=。+，2+…+q,（"wN*）,則當《＜2020時，〃的最大值是（）

A.8B.9C.10D.11

7.如圖是一個算法流程圖，則輸出的結(jié)果是（）

A.3B.4C.5D.6

8.根據(jù)如圖所示的程序框圖，當輸入的工值為3時，輸出的）'值等于（）

編入X/

A.1B.eD.r

z.

9.已知復數(shù)4=6-81,Z2=-i,則一=()

A.8—6iB?8+6iC.—8+6iD.—8—6i

10.如圖，長方體ABCO-AgCQ中，2AB=3AA1=6,乖=2對，點7在棱A4上，若7P_L平面PBC.則

UUUUU

TPB]B=()

A.1B.-1C.2D.-2

11.若集合A={x|mwo},5={x[-l<x<2},則AD6=()

A.[-2,2)B.(-1,11C.(-L1)D.(一1,2)

12.已知函數(shù)/(x)=幽(xeH),若關于x的方程/(x)-機+1=0恰好有3個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)〃，的取值范

ex

圍為()

A.(學，1)B.(0,華)C.(1,(+1)D.(1*+D

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.某市高三理科學生有15000名，在一次調(diào)研測試中，數(shù)學成績J服從正態(tài)分布N(100,(T2),已知

P(80<(^<100)=0.40,若按成績分層抽樣的方式取100份試卷進行分析，則應從120分以上的試卷中抽取的份數(shù)為

14.已知三棱錐尸―ABC的四個頂點都在球。的球面上，PA=PB=PC,/W=2,BC=45,AC=3,E,F

3

分別為AC,總的中點，EF=~,則球。的體積為_____.

2

15.12五-六)的二項展開式中，含?項的系數(shù)為

16.如圖是一個幾何體的三視圖，若它的體積是一，則磔,=,該幾何體的表面積為

10K

什aN*21

±

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)設數(shù)列｛q｝的前列項和為S,,,已知4=1,二(〃22).

幺+an-\

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式;

(2)求證:)9S"噂

18.(12分)如圖1,在等腰RrAABC中，ZC=90°.D,E分別為AC,AB的中點，尸為8的中點，G在線

段上，且3G=3CG。將A3沿。E折起，使點A到4的位置(如圖2所示)，且

(2)求平面4FG與平面所成銳二面角的余弦值

19.(12分)傳染病的流行必須具備的三個基本環(huán)節(jié)是：傳染源、傳播途徑和人群易感性.三個環(huán)節(jié)必須同時存在，方

能構(gòu)成傳染病流行.呼吸道飛沫和密切接觸傳播是新冠狀病毒的主要傳播途徑，為了有效防控新冠狀病毒的流行，人們

出行都應該佩戴口罩.某地區(qū)已經(jīng)出現(xiàn)了新冠狀病毒的感染病人，為了掌握該地區(qū)居民的防控意識和防控情況，用分層

抽樣的方法從全體居民中抽出一個容量為100的樣本，統(tǒng)計樣本中每個人出行是否會佩戴口罩的情況，得到下面列聯(lián)

表:

戴口罩不戴口罩

青年人5010

中老年人2020

(1)能否有99.9%的把握認為是否會佩戴口罩出行的行為與年齡有關？

(2)用樣本估計總體，若從該地區(qū)出行不戴口罩的居民中隨機抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

20.(12分)某公司為了鼓勵運動提高所有用戶的身體素質(zhì)，特推出一款運動計步數(shù)的軟件，所有用戶都可以通過每

天累計的步數(shù)瓜分紅包，大大增加了用戶走步的積極性，所以該軟件深受廣大用戶的歡迎.該公司為了研究“日平均走

步數(shù)和性別是否有關”，統(tǒng)計了2019年1月份所有用戶的日平均步數(shù)，規(guī)定日平均步數(shù)不少于8000的為“運動達人”,

步數(shù)在8000以下的為“非運動達人”，采用按性別分層抽樣的方式抽取了100個用戶，得到如下列聯(lián)表：

運動達人非運動達人總計

男3560

女26

總計100

(1)(0將2x2列聯(lián)表補充完整；

(?)據(jù)此列聯(lián)表判斷，能否有99%的把握認為“日平均走步數(shù)和性別是否有關”？

(2)將頻率視作概率，從該公司的所有人“運動達人”中任意抽取3個用戶，求抽取的用戶中女用戶人數(shù)的分布列及期

望.

附：

網(wǎng)片“0)0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

〃(ad-be)"

(a+Z?)(c+d)(a+c)(/?+d)

21.(12分)AA3C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知A45C的面積為

4sinA

(1)求sinBsinC；

(2)若10cosBcosC=—l,Q=0,求AABC的周長.

22.(10分)設函數(shù)/(x)=sin(竽—J)—2cos24+1(。＞0),直線y=百與函數(shù)〃x)圖象相鄰兩交點的距離為

366

2〃.

(I)求①的值；

(II)在AABC中，角A,8,C所對的邊分別是“，"c,若點(弓,。］是函數(shù)y=/(x)圖象的一個對稱中心，且力=5,

求AABC面積的最大值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

由三視圖還原原幾何體，借助于正方體可得三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù).

【詳解】

由三視圖還原原幾何體如圖，

其中AA8C,ABCD,AADC為直角三角形.

該三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù)為3.

故選：C.

【點睛】

本小題主要考查由三視圖還原為原圖，屬于基礎題.

2.A

【解析】

陽數(shù)：1,3,5,7,9,陰數(shù)：2,4,6,8,10,然后分析陰數(shù)和陽數(shù)差的絕對值為5的情況數(shù)，最后計算相應概率.

【詳解】

因為陽數(shù)：1,3,5,7,9,陰數(shù)：2,4,6,8,10,所以從陰數(shù)和陽數(shù)中各取一數(shù)差的絕對值有：5x5=25個，滿足差的絕

對值為5的有：（1,6）,（3,8）,（5,10）,（7,2）,（9,4）共5個，則2=言=（.

故選：A.

【點睛】

目標事件的個數(shù)

本題考查實際背景下古典概型的計算，難度一般.古典概型的概率計算公式：尸=百丁士與郊奏照.

基本本事件的2總個數(shù)

3.A

【解析】

設尸（里，%），M（x,y）,因為得到x=4+W，y=萼，利用直線的斜率公式，得到

2p44P2

A

,T2

k°M=,2=不一I，結(jié)合基本不等式，即可求解.

44。%。

【詳解】

由題意，拋物線V=4x的焦點坐標為尸（^,0）,

設,y0),M(x,y),

因為PA/=A7F,即A/線段PR的中點，所以x=+fy=斐，

222P4^p2

所以直線QM的斜率-----~———=-------------

p+yL上+%一2叵五

44p%PV%P

當且僅當上?=&,即%=p時等號成立，

%P

所以直線OM的斜率的最大值為1.

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了拋物線的方程及其應用，直線的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的應用，著重考查了推理與運

算能力，屬于中檔試題.

4.D

【解析】

a,5可看成是^=，與/(x)=2'+3x和g(x)=3*+2x交點的橫坐標，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合處理.

【詳解】

令f(x)=2'+3x,g(x)=3'+lx,

/(O)=g(O)=l,〃l)=g(l)=5,②正確；

xe(-oo,0),有/?<a<0,①正確;

X€(O,1),/(x)>g(x),有Ocacbcl,③正確；

XG(1,+8),有l(wèi)<Z?<a,④正確.

故選：D.

【點睛】

本題考查利用函數(shù)圖象比較大小，考查學生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.

5.B

【解析】

先求出P={x|xW2},Q={x|0<xW3},得到6RP={X|X>2},再結(jié)合集合交集的運算，即可求解.

【詳解】

由題意，集合P={x|x_2W0},Q={x|—W()),

所以P={x|x?2},Q={x|()<x?3},則6j={x|x>2},

所以?P)nQ={x|2<xW3}=(2,3].

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了集合的混合運算，其中解答中熟記集合的交集、補集的定義及運算是解答的關鍵，著重考查了計算能

力，屬于基礎題.

6.B

【解析】

根據(jù)題意計算4=2〃-1,bn=2"-',7；=2田一〃-2,解不等式得到答案.

【詳解】

???{”“}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，4=2〃-1.

???也}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，???bn=2"T.

:.Tn=c,+c2+???+%=%+%+,?,+%=?,+a2+a4

=(2xl-l)+(2x2-l)+(2x4-l)+---+(2x2n-1-l)=2(1+2+4+---+2,,-1)-H=2xl^--n=2"+,-n-2.

V7；,<2020,.\2n+,-n-2<2020,解得〃49.則當2020時，〃的最大值是9.

故選：B.

【點睛】

本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列，f分組求和，意在考查學生對于數(shù)列公式方法的靈活運用.

7.A

【解析】

執(zhí)行程序框圖，逐次計算，根據(jù)判斷條件終止循環(huán)，即可求解，得到答案.

【詳解】

由題意，執(zhí)行上述的程序框圖：

第1次循環(huán)：滿足判斷條件，x=2,y=l；

第2次循環(huán)：滿足判斷條件，x=4,y=2.

第3次循環(huán)：滿足判斷條件，x=8,y=3：

不滿足判斷條件，輸出計算結(jié)果.v=3,

故選A.

【點睛】

本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的結(jié)果的計算與輸出，其中解答中執(zhí)行程序框圖，逐次計算，根據(jù)判斷條件終止

循環(huán)是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.

8.C

【解析】

根據(jù)程序圖，當x<0時結(jié)束對x的計算，可得y值.

【詳解】

由題x=3,x=x-2=3-l,此時x>0繼續(xù)運行，x=l-2=-l<0,程序運行結(jié)束，得'=/,故選C.

【點睛】

本題考查程序框圖，是基礎題.

9.B

【解析】

分析：利用『=_1的恒等式，將分子、分母同時乘以i,化簡整理得五=8+6i

z2

詳解：—==8+6/,故選B

Z2—I~1~

點睛：復數(shù)問題是高考數(shù)學中的?？紗栴}，屬于得分題，主要考查的方面有：復數(shù)的分類、復數(shù)的幾何意義、復數(shù)的

模、共朝復數(shù)以及復數(shù)的乘除運算，在運算時注意產(chǎn)=7符號的正、負問題.

10.D

【解析】

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可知7Plp3;結(jié)合率=2函即可證明=ASPB],進而求得力i.由線段關系及平

IU1IILU1

面向量數(shù)量積定義即可求得77工4分

【詳解】

長方體ABC。—A4G〃中，2AB=3AA=6,

點7在棱A%上，若7P_L平面PBC.

則7PLP6，書=2而；

則ZPTAX=NBPB],所以"力41=\BPBX,

則必=PB]=1,

uuruuir

所以TPB、B=TP.B{B-cosZPL4

=722+12X2X-=-2,

故選：D,

【點睛】

本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)應用，平面向量數(shù)量積的運算，屬于基礎題.

【解析】

求出集合A,然后與集合B取交集即可.

【詳解】

由題意，A=1x|再<()]={x[—2<x<l},8={x[-l<x<2},則人口臺=3—1<x<1},故答案為C.

【點睛】

本題考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了計算能力，屬于基礎題.

【解析】

討論x>0,x=0,x<0三種情況，求導得到單調(diào)區(qū)間，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像得到答案.

【詳解】

當x>()時，/(x)=g，故/'3=￡卷，函數(shù)在(0，；)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且

當x=0時，/(O)=Os

當x＜0時，/。)=中I，/'(回=一l—￡2后x＜°，函數(shù)單調(diào)遞減;

4X.八>j2e[、

如圖所示畫出函數(shù)圖像，則0＜加—1〈/9故ftl€(1,-----F1)?

2e

【點睛】

本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的零點問題，意在考查學生的計算能力和應用能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.10

【解析】

由題意結(jié)合正態(tài)分布曲線可得120分以上的概率，乘以1()()可得.

【詳解】

解：P("120)=—2P(80<^<100)]=0.10,

所以應從120分以上的試卷中抽取100x0.10=1()份.

故答案為：1().

【點睛】

本題考查正態(tài)分布曲線，屬于基礎題.

14.4岳

【解析】

可證NABC=90°,則E為AABC的外心，又B4=PB=PC則PE_L平面43C

即可求出尸B,PE的值，再由勾股定理求出外接球的半徑，最后根據(jù)體積公式計算可得.

【詳解】

解：?.?AB=2,BC=V5，AC=3

AB2+BC2=AC2

：.ZABC=90°,因為E為AC的中點，所以E為AA3C的外心,

13

22

B

因為PA=PB=PC,所以點P在八ABC內(nèi)的投影為AABC的外心E，

所以PEL平面ABC,

?.?BEu平面ABC

：.PE±BE,

所以PB=2EF=3,

所以PE=yPB2—BE2=一百,

2

又球心。在尸E上，設尸。=「，貝(乎一廠+(|)=產(chǎn)，所以所以球。體積，V=g乃，=4岳.

故答案為：464

【點睛】

本題考查多面體外接球體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計算能力，屬于中檔題.

15.-160

【解析】

寫出二項展開式的通項，然后取x的指數(shù)為:求得廣的值，則五項的系數(shù)可求得.

【詳解】

酊=禺.（26『'卜?）=（-iy-26---C；-x

由3—.=,，可得’?=3.

62

，含4項的系數(shù)為(―1戶26-3.或=一160.

故答案為：一160

【點睛】

本題考查了二項式定理展開式、需熟記二項式展開式的通項公式，屬于基礎題.

16.胃玨感

【解析】

試題分析:如圖：此幾何體是四棱錐,底面是邊長為謝的正方形,平面藪鱗_L平面雕圖，并且至獺感=顫,,懶=嚼，

所以體積是浮=)湍s?嵐級=多，解得寓=第四個側(cè)面都是直角三角形，所以計算出邊長，表面積是

鼻挈

掾=家普工禺4熱工年，典鼓圓帶旗甥斗」網(wǎng)加毒=售八房

受雪^

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)&=王匕(2)證明見解析

【解析】

12,

(1)由已知可得一=—+1,構(gòu)造等比數(shù)列即可求出通項公式;

anJ

(2)當“22時，由a”〉—，可求------<S,3時，由a“<—=—r>可證S“<—(nwN),驗證〃=1,2

〃2〃22〃r〃2〃2'i〃6、

時，不等式也成立，即可得證.

【詳解】

a,12

(1)由4=丁”一("22)可得，一=---+1,

2+4Tana,-

1(1)

即---F1=2------F1,(〃22)

an)

所以'+1=2",

a.

解得an~亍—7?

(2)當”=1時，Si=at=l,

.?"I,

當"N2時，an>—,

?.111,42"+

S?>1+—r+—r+---+—=1+^~J

"22232".1

1-----

2

綜上S.《-!(/eN*),

由%>0可得｛S,｝遞增，

,I…21

4=1，4=§，a3時4<牙=西

c,111144-r41111111

S<1d---1——H-+???H-------=1------；—=—I-----------=-----------<—

23

〃322311322”"62"一】6

1—

2

所以S]<邑<S3<—，

6

綜上：S?<—(neNf

6'

<5?<—(neN*).

22""6、>

【點睛】

本題主要考查了遞推數(shù)列求通項公式，利用放縮法證明不等式，涉及等比數(shù)列的求和公式，屬于難題.

18.(1)證明見解析

【解析】

(1)要證明線面平行，需證明線線平行，取8C的中點M，連接。M，根據(jù)條件證明DM//BE,OM//FG,即

BE//FG；

(2)以尸為原點，尸C所在直線為X軸，過產(chǎn)作平行于的直線為y軸，F(xiàn)3所在直線為Z軸，建立空間直角坐標

系尸一個Z,求兩個平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.

【詳解】

(1)證明：取3c的中點/，連接DM.

：BG=3CG,...G為CM的中點.

又F為CD的中劇，：.FG//DM.

依題意可知。則四邊形。M8E為平行四邊形，

ABEIIDM,從而BE//FG.

又FGu平面AFG,平面A/G,

二BE//平面4FG.

(2)?/DE±ADX,DE±DC,且4?？凇?。=。，

.,.上史，平面A￡>C,平面AOC,

：.DEL\F,

■.■A.FLDC,且DEcDC=D,

4尸_1_平面BCDE,

以尸為原點，尸C所在直線為X軸，過戶作平行于CB的直線為y軸，F(xiàn)A所在直線為z軸，建立空間直角坐標系

F—xyz,不妨設CD=2,

則尸(0,0,0),A(0,0,6)，5(1,4,0),￡(-1,2,0),G(l,l,0),

可=僅,0,百)，而=(1,1,0),“=(-1,2,-百)，E5=(2,2,0).

設平面的法向量為點=G，x，zJ,

萬竊=0即產(chǎn)二°

則《

n-FG=Q［玉+X=0

令占=1,得3=(1,TO).

設平面ABE的法向量為質(zhì)=(%,%，Z2)，

，不=0卜々+2%-昌=0

［沅?麗=012/+2%=0

令々=1,得機=(1,一1,一G).

從而cos<加3>=*^==叵,

5/2xV55

故平面4FG與平面4BE所成銳二面角的余弦值為叵.

5

【點睛】

本題考查線面平行的證明和空間坐標法解決二面角的問題，意在考查空間想象能力，推理證明和計算能力，屬于中檔

題型，證明線面平行，或證明面面平行時，關鍵是證明線線平行，所以做輔助線或證明時，需考慮構(gòu)造中位線或平行

四邊形，這些都是證明線線平行的常方法.

19.(1)有99.9%的把握認為是否戴口罩出行的行為與年齡有關.

,、80

(2)——

243

【解析】

(1)根據(jù)列聯(lián)表和獨立性檢驗的公式計算出觀測值K?，從而由參考數(shù)據(jù)作出判斷?

(2)因為樣本中出行不戴口罩的居民有30人,其中年輕人有10人，用樣本估計總體,則出行不戴口罩的年輕人的概率為

12

-,是老年人的概率為一.根據(jù)獨立重復事件的概率公式即可求得結(jié)果.

33

【詳解】

(1)由題意可知KJ幽竺注亞血=毆

?12.698>10.828?

60x40x70x3063

.?有99.9%的把握認為是否戴口罩出行的行為與年齡有關.

17

(2)由樣本估計總體，出行不戴口罩的年輕人的概率為q,是老年人的概率為一.

33

二5人未戴口罩，恰有2人是青年人的概率尸=《

U)243

【點睛】

本題主要考查獨立性檢驗及獨立重復事件的概率求法，難度一般.

20.(1)(I)填表見解析(n)沒有99%的把握認為“日平均走步數(shù)和性別是否有關”(2)詳見解析

【解析】

(1)⑴由已給數(shù)據(jù)可完成列聯(lián)表，(ii)計算出K?后可得;

2

(2)由列聯(lián)表知從運動達人中抽取1個用戶為女用戶的概率為［，4的取值為0」,2,3,3,,由二項分布

概率公式計算出各概率得分布列，由期望公式計算期望.

【詳解】

解⑴(0

非運動達

運動達人總計

人

男352560

女142640

總計4951100

5)由2x2列聯(lián)表得左=l0°x(35x26—14x25)一?5.229<6.635

60x40x49x51

所以沒有99%的把握認為“日平均走步數(shù)和性別是否有關”

2

(2)由列聯(lián)表知從運動達人中抽取1個用戶為女用戶的概率為方，.

(23-k

易知自~B3,-卜(i戶叫身I#=o,l,2,3

k7

所以自的分布列為

0123

125150408

p

343343343343

_6

iB+lx當+2X㈣+3」

343343343343-7,

【點睛】

2

本題考查列聯(lián)表,考查獨立性檢驗,考查隨機變量的概率分布列和期望.屬于中檔題.本題難點在于認識到匕~.

21.(1)；(2)V2+V7

【解析】

(1)根據(jù)三角形面積公式和正弦定理可得答案；(2)根據(jù)兩角余弦公式可得cosA,即可求出sinA,再根據(jù)正弦定

理可得兒，根據(jù)余弦定理即可求出b+c,問題得以解決.

【詳解】

(1)由三角形的面積公式可得SMBcntacsinBu—L

2