2024年1月蘇州高三期末第21題導(dǎo)數(shù)題的命制思路及解析

2024年1月蘇州高三期末第21題導(dǎo)數(shù)題的命制思路及解析文/劉蔣巍【試題呈現(xiàn)】（蘇州市2023~2024學(xué)年第一學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量陽光指標(biāo)調(diào)研卷第21題）已知函數(shù).（1）求的極值；（2）證明：.2024年1月蘇州高三期末第21題導(dǎo)數(shù)題是怎么出的？又怎么解？【出題背景】說明：“出題背景部分”為教師閱讀部分?！境鲱}背景1】（凸函數(shù)的“切線不等式”）若是區(qū)間上的可微凸函數(shù)，則經(jīng)過點(diǎn)的切線一定在曲線的下方，即成立不等式又若為嚴(yán)格凸函數(shù)，則上述不等式成立等號的充分必要條件是.簡證：將上述不等式的右邊移項(xiàng)到左邊，應(yīng)用拉格朗日中值定理有：其中.又是區(qū)間上的可微凸函數(shù)，則在上為增函數(shù)；則，又，則即：若為嚴(yán)格凸函數(shù)，則在上嚴(yán)格單調(diào)增加。因此，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。【出題背景2】（上凸函數(shù)的“切線不等式”）若是區(qū)間上的可微上凸函數(shù)，則經(jīng)過點(diǎn)的切線一定在曲線的上方，即成立不等式又若為嚴(yán)格上凸函數(shù)，則上述不等式成立等號的充分必要條件是.簡證：將上述不等式的右邊移項(xiàng)到左邊，應(yīng)用拉格朗日中值定理有：其中.又是區(qū)間上的可微上凸函數(shù)，則在上為減函數(shù)；則，又，則即：若為嚴(yán)格上凸函數(shù)，則在上嚴(yán)格單調(diào)減少。因此，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。本題第（2）問就是以此為背景命制而成。【命制手法】注意到下凸函數(shù)在處的切線為：，即：；由“出題背景1”可知：；當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號.由“”（當(dāng)且僅當(dāng)取等號）放縮得：（注意等號不同時取得）因此，（*）也可理解為：直線為下凸函數(shù)與上凸函數(shù)的公切線，如下圖所示：演繹深化，讓出題背景更加隱蔽對（*）式兩邊同除以，得：，移項(xiàng)得：，令，則：，即為本題第2問。為了設(shè)置梯度問題，讓不同水平的學(xué)生都能拿到應(yīng)得的分?jǐn)?shù)，設(shè)置第1問——求的極值.至此，蘇州市2023~2024學(xué)年第一學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量陽光指標(biāo)調(diào)研卷第21題命制完畢！組織教師做題，并完善評分標(biāo)準(zhǔn)。本題方法多樣，下面提供一種評分標(biāo)準(zhǔn)，供師生參考：【評分標(biāo)準(zhǔn)】寫在后面通過深入剖析2024年1月蘇州高三期末第21題導(dǎo)數(shù)題的命制思路及解析，我們不難發(fā)現(xiàn)，這道題目融合了凸函數(shù)與上凸函數(shù)的切線不等式等命題背景，巧妙地將理論背景與實(shí)際命題相結(jié)合。本題可視為“隱零點(diǎn)問題”，也可視為“切線放縮法”的考察。命題研究專家劉蔣巍老師清楚地解讀命題者精湛的命制手法，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論轉(zhuǎn)化為具有層次感和思維深度的試題解讀。本題注重考察學(xué)生的導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識、函數(shù)性質(zhì)理解以及不等式處理能力。通過設(shè)置梯度問題，使得不同水平的學(xué)生都能在這道題目中找到自己的切入點(diǎn)，充分展現(xiàn)自己的數(shù)學(xué)才能。此外，這道題目還體現(xiàn)了數(shù)學(xué)命題的嚴(yán)謹(jǐn)性和科學(xué)性。在命題過程中，不僅注重題目的知識覆蓋面和難易程度，還充分考慮了學(xué)生的實(shí)際解題情況，力求讓每一個學(xué)生都能在解題過程中得到鍛煉和提升?？傊@道題目是一道充滿智慧和匠心的優(yōu)秀命題。它不僅考察了學(xué)生的數(shù)學(xué)知識掌握情況，更在無形中培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和問題解決能力。相信在未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和考試中，這樣的優(yōu)秀命題將繼續(xù)發(fā)揮著重要的引領(lǐng)和示范作用。作者簡介劉蔣巍，中國數(shù)學(xué)會會員，中學(xué)數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維聯(lián)盟公益大使，《江蘇高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》《中考數(shù)學(xué)解題策略》《學(xué)會編題:教師培訓(xùn)用書》《新時代人力資源管理教程》等20余本圖書作者。聯(lián)系作者2733725655@或15