中考數(shù)學(xué)練習(xí)題含答案

中考數(shù)學(xué)練習(xí)題含答案

2.如圖，矩形ABCD中，AB=2,40=3,點(diǎn)E、尸分別為A￡＞、DC邊上的點(diǎn)，且E尸=2,

點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，則匕1+PG的最小值為（）

A.3B.4C.2娓D.5

3.在△ABC中，AB=3,AC=V3.當(dāng)最大時(shí)，BC的長(zhǎng)是（）

A.旦B.A/6C.&D.2M

22

4.如圖，已知4B=4C=A。，ZCBD=2ZBDC,NBAC=44°,則NCA。的度數(shù)為（）

C.90°D.112°

5.如圖，四邊形A8CC中，DC//AB,8c=1,AB=AC=AD=2.則BD2的值為（）

A.14B.15C.18D.12

6.如圖，在△OAB中，OA=OB,ZA0B=\5°,在△OCO中，OC=OD,ZCOD=45°,

且點(diǎn)C在邊OA上，連接CB,將線段。8繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到線段OE,使

得DE=CB,則NBOE的度數(shù)為（）

A.15°B.15°或45°C.45°D.45°或60°

7.直線y=x+4分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)N,邊長(zhǎng)為2的正方形0A8C一個(gè)頂點(diǎn)。在

坐標(biāo)系的原點(diǎn)，直線AN與MC相交于點(diǎn)P,若正方形繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，則點(diǎn)P到點(diǎn)

（0,2）長(zhǎng)度的最小值是（)

c.等D.1

填空題（共5小題）

8.如圖，在矩形ABC。中，AB=4,4。=6,E是邊的中點(diǎn)，尸是線段BC邊上的動(dòng)點(diǎn),

將AEB尸沿E尸所在直線折疊得到△EB'F,連接"D,則8'。的最小值是

9.如圖，在△A8C中，ZACB=90°,AB=5,BC=3,P是A8邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8重

合），將ABCP沿CP所在的直線翻折，得到CP,連接"A,則8,A長(zhǎng)度的最小

值是.

10.已知四邊形ABC。中，AO+OB+BC=16,則四邊形ABCQ的面積的最大值為.

11.如圖，Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,。為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接8￡）,

過點(diǎn)C作C4,8。于從連接AH,則A"的最小值為.

12.如圖，正方形ABC/）中，AB=2,動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)/）

出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)￡、產(chǎn)運(yùn)動(dòng)的速度相同，當(dāng)它們到達(dá)各自終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過

程中線段AF、3E相交于點(diǎn)P,M是線段BC上任意一點(diǎn)，則MD+MP的最小值為.

三.解答題（共2小題）

13.問題背景如圖1,在△ABC中，BC=4,AB=2AC.

問題初探請(qǐng)寫出任意一對(duì)滿足條件的AB與AC的值：AB=,AC=,

問題再探如圖2,在AC右側(cè)作NCAO=NB,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡>,求CD的長(zhǎng).

問題解決求AABC的面積的最大值.

14.已知A(2,0),B(6,0),CBJ_x軸于點(diǎn)B,連接AC

畫圖操作：（1）在y正半軸上求作點(diǎn)P,使得NAPB=NACB（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）

理解應(yīng)用：（2）在（1）的條件下，

①若tan/AP8=L,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

2

②當(dāng)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為時(shí)，NAPB最大

拓展延伸：（3）若在直線y=?x+4上存在點(diǎn)P,使得NAPB最大，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

參考答案與試題解析

2.如圖，矩形A8C。中，AB=2,A￡>=3,點(diǎn)E、尸分別為A。、OC邊上的點(diǎn)，且所=2,

點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，則以+PG的最小值為（）

【分析】因?yàn)镋F=2,點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得出OG=

1,所以G是以。為圓心，以I為半徑的圓弧上的點(diǎn)，作4關(guān)于8c的對(duì)稱點(diǎn)A',連接

A'D,交BC于P,交以。為圓心，以1為半徑的圓于G,此時(shí)以+PG的值最小，最小

值為A'G的長(zhǎng)；根據(jù)勾股定理求得A'D=5,即可求得A'G=A'￡>-QG=5-l=4,

從而得出PA+PG的最小值.

【解答】解：；￡：尸=2,點(diǎn)G為E尸的中點(diǎn)，

：.DG=\,

；.G是以。為圓心，以1為半徑的圓弧上的點(diǎn)，

作A關(guān)于8c的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'D,交BC于P,交以。為圓心，以1為半徑的圓

于G,

此時(shí)出+PG的值最小，最小值為A'G的長(zhǎng)；

'：AB=2,AD=3,

：.AA'=4,

0=5,

.?.A'G=A'D-DG=5-1=4,

...B4+PG的最小值為4,

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，判斷出G點(diǎn)的軌跡是解題的關(guān)鍵.凡是涉

及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來解決，多數(shù)情況要

作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn).

3.在△ABC中，AB=3,AC=V3.當(dāng)N8最大時(shí)，BC的長(zhǎng)是（）

A.B.V6C.退D.2M

22

【分析】根據(jù)同一個(gè)三角形中大邊對(duì)大角當(dāng)NB最大時(shí)，AC最長(zhǎng)，再根據(jù)垂線段最短可

得AC1BC時(shí)AC最長(zhǎng)，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得解.

【解答】解：根據(jù)題意得ACLBC時(shí)NB最大，

22=22=,

止匕時(shí)BC=7AB-AC73-（V3）^

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，利用大邊對(duì)大角判斷出4c最長(zhǎng)時(shí)的情況是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，已知AB=AC=AO,ZCBD=2ZBDC,ZBAC=44°,則NCAO的度數(shù)為（）

C.90°D.112°

【分析】如圖，作輔助圓；首先運(yùn)用圓周角定理證明NCAO=2/CB￡）,ZBAC=2ZBDC,

結(jié)合已知條件NCB￡>=2NBCC,得到NC4O=2NBAC,即可解決問題.

【解答】解：如圖，,：AB=AC=AD,

...點(diǎn)B、C、。在以點(diǎn)4為圓心，

以AB的長(zhǎng)為半徑的圓上；

：ZCBD=2ZBDC,

ZCAD=2ZCBD,NBAC=2NBDC,

：.ZCAD=2ZBAC,而NA4c=44°,

.*.ZCAD=88°,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查了圓周角定理及其推論等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問題；解題的方法

是作輔助圓，將分散的條件集中；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用圓周角定理及其推論等幾何知

識(shí)點(diǎn)來分析、判斷、推理或解答.

5.如圖，四邊形ABC。中，DC//AB,BC=\,AB=AC=AD=2.則8O2的值為（）

A.14B.15C.18D.12

【分析】作AMLBC于點(diǎn)M,ANLBD于點(diǎn)、N,根據(jù)題給條件及等腰三角形的性質(zhì)證明

△A2N四繼而求出AN的值，在RtAABN中，利用勾股定理求解即可.

【解答】解：作AM_LBC于點(diǎn)M,AN1BD于點(diǎn)、N,

"：AC=AB,

...△ABC為等腰三角形，

也是△A2C的中線和角平分線（三線合一）,

/CW=ZBAM,

,JAB//CD,AC=AD,

：.ZADC=ZACD=ACAB,

ZADB=/ABD=NCDB,

ZADB^LZADC=ZMAB,

2

：.ZMAB=ZDBA,

又：AB=AB,

.'△ABN絲△BAM(AAS),

.?.AN=LC=L

22

'：AB=2,

.".BN1—AB2-AW2=—,

4

.".BD2=4B7V2=15.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了梯形的知識(shí)，同時(shí)涉及了等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理的知識(shí)，難

度適中，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線.

6.如圖，在△OAB中，OA=OB,ZAOB=\5°,在△0C￡)中，OC=OD,ZCOD=45Q,

且點(diǎn)C在邊0A上，連接C8,將線段OB繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到線段OE,使

得DE=CB,則/BOE的度數(shù)為()

A.15°B.15°或45°C.45°D.45°或60°

【分析】分兩種情況進(jìn)行討論：OE在內(nèi)部，OE在NB。。外部，分別根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可得到/8OE的度數(shù).

【解答】解：如圖，當(dāng)OE在/BO。內(nèi)部時(shí)，若NDOE=NCOB=15°,則

由OD=OC,/DOE=NCOB,OB=OE可得，/\ODE^/\OCB,

故QE=CB,

此時(shí)/BOE=45°-15°-15°=15°；

當(dāng)OE在/80。外部時(shí)，則

由OO=OC,NDOE=NCOB,OB=OE可得，△OOE絲△OCB,

故OE=CB,

此時(shí)NBOE=45°-15°+15°=45°；

故選:B.

E'

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題時(shí)注意：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，旋

轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.

7.直線y=x+4分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)M,N,邊長(zhǎng)為2的正方形OABC一個(gè)頂點(diǎn)。在

坐標(biāo)系的原點(diǎn)，直線AN與相交于點(diǎn)P,若正方形繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，則點(diǎn)P到點(diǎn)

D.1

c?嚕

【分析】首先證明△MOC絲△NOA,推出/MPN=90°,推出P在以MN為直徑的圓上,

所以當(dāng)圓心G,點(diǎn)尸，C(0,2)三點(diǎn)共線時(shí)，尸到C(0,2)的最小值.求出此時(shí)的PC

即可.

【解答】解：在△MOC和△NO4中,

r0A=0C

<NMOC=/AON，

0I=0N

:AMOC空ANOA,

：.NCMO=4ANO,

VZCMO+ZMCO=90°,NMCO=NNCP,

：.ZNCP+ZCNP=90°,

NMPN=90°

:.MPLNP,

在正方形旋轉(zhuǎn)的過程中，同理可證，...NCMOn/ANO,可得/MPN=90°,MP1NP,

在以MN為直徑的圓上，

'：M(-4,0),N(0,4),

二圓心G為(-2,2),半徑為2、歷，

:PG-GCWPC,

當(dāng)圓心G,點(diǎn)P,C(0,2)三點(diǎn)共線時(shí)，PC最小,

,:GN=GM,CN=CO=2,

.**GC=~^~OM=2,

2

這個(gè)最小值為GP-GC=2亞-2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)與幾何變換、正方形的性質(zhì)、圓的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

發(fā)現(xiàn)點(diǎn)尸在以MN為直徑的圓上，確定點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型.

二.填空題（共5小題）

8.如圖，在矩形ABCO中，AB=4,AD=6,E是A8邊的中點(diǎn)，尸是線段BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，

將△EBF沿E尸所在直線折疊得到△E8'F,連接B'D,則8'。的最小值是，近二

2.

A.--------------

C

BF

【分析】如圖所示點(diǎn)B'在以E為圓心E4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)。、B'、E共線時(shí)時(shí)，

止匕時(shí)夕。的值最小，根據(jù)勾股定理求出OE,根據(jù)折疊的性質(zhì)可知夕E=BE=2,即可

求出8'D.

【解答】解：如圖所示點(diǎn)B'在以E為圓心EA為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)。、夕、E共線

時(shí)時(shí)，此時(shí)B'。的值最小，

根據(jù)折疊的性質(zhì)，4EBF出/\EB'F,

：.EB'IB'F,

：.EB'=EB,

是48邊的中點(diǎn)，48=4,

：.AE=EB'=2,

'：AD=6,

?'?DE=yJ22=2<yY5,

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短的

綜合運(yùn)用；確定點(diǎn)8'在何位置時(shí)，B'。的值最小是解決問題的關(guān)鍵.

9.如圖，在△4BC中，NACB=90°,AB=5,BC=3,P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8重

合），將△BCP沿CP所在的直線翻折，得到^夕CP,連接8'A,則夕A長(zhǎng)度的最小

值是1.

【分析】首先由勾股定理求得4c的長(zhǎng)度，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知BC=C8'=3,當(dāng)8,A

有最小值時(shí)，即AB'+CB'有最小值，由兩點(diǎn)之間線段最短可知當(dāng)A、B'、C三點(diǎn)在一

條直線上時(shí)，AB'有最小值.

【解答】解：在Rtz^ABC中，由勾股定理可知：^=^^2_5（：2=^52_32=4,

由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知：BC=CB'=3,

當(dāng)A、夕、C三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，B'A有最小值,

：.B'Amin^AC-B'C=4-3=l.

故答案為：L

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理和線段的性質(zhì)，將求"A的最小值

轉(zhuǎn)化為求+C8'的最小值是解題的關(guān)鍵.

10.己知四邊形A8CD中，AD+DB+BC=\6,則四邊形48CD的面積的最大值為32.

【分析】先畫圖，由于S四邊彩ABCD=SAABO+SABCO,那么當(dāng)NAOB=NBCD=90°時(shí)，S

z^BD、SMC。有最大值，也就是四邊形A3CZ)有最大值，再結(jié)合4Z)+O8+BC=16,可求

SnaiKABCD^BD-LBD1,再利用二次函數(shù)的求最值問題，即可求四邊形4BCD的面積.

2

【解答】解：如右圖所示，連接8。，

""S四邊心ABCO=SAABO+S/\BCO，

S^ABD=—AD*BDsinZADB,

2

S&BCD——BD,BCsinZBCD，

2

...當(dāng)NACB=NQBC=90°時(shí)，SAABO、SABCD有最大值,

S四邊形ABCD=S^ABD+S^BCD-D,BD+—BD*BC>

22

5L'：AD+BC=\6-BD,

二S四邊彩ABCD=LB￡>(16-BD)=8BD-J-8D2,

22

-L<0,

2

2

...當(dāng)3。=-且=8時(shí)，四邊形A8C￡>的面積有最大值=%￡心_=32.

2a4a

故四邊形A8CO的最大面積是32.

D

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了四邊形面積的計(jì)算、二次函數(shù)的性質(zhì).已知兩邊和夾角，可利用夾

角的正弦來求面積.要使三角形面積最大，則夾角應(yīng)等于90°.

11.如圖，Rt/SABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,。為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接8。，

過點(diǎn)C作于H,連接AH,則A”的最小值為2亞-2.

【分析】取BC中點(diǎn)G,連接”G,AG,由直角三角形的性質(zhì)可得“G=CG=8G=LBC

2

=2,由勾股定理可求AG=2泥，由三角形的三邊關(guān)系可得A/72AG-//G,當(dāng)點(diǎn)“在線

段AG上時(shí)，可求AH的最小值.

【解答】解：如圖，取BC中點(diǎn)G,連接HG,AG,

在RtAACG中，AG=Q/、CG2=2娓

在△AHG中，AH2AG-HG,

即當(dāng)點(diǎn)H在線段AG上時(shí)，AH最小值為2泥-2,

故答案為：-2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理，確定使AH

值最小時(shí)點(diǎn)H的位置是本題的關(guān)鍵.

12.如圖，正方形ABCQ中，AB=2,動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)。

出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E、尸運(yùn)動(dòng)的速度相同，當(dāng)它們到達(dá)各自終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過

程中線段AF、BE相交于點(diǎn)是線段BC上任意一點(diǎn)，則MD+MP的最小值為—近一.

【分析】首先作出點(diǎn)。關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)。'從而可知當(dāng)點(diǎn)在一條直線上時(shí),

路徑最短，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，點(diǎn)產(chǎn)與點(diǎn)C重合時(shí)，PG和GD'均最短，即最短,

然后由正方形的性質(zhì)和軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可知：PG=\,GD'=3,最后由勾股定理即

可求得P?！拈L(zhǎng)，從而可求得MD+MP的最小值.

【解答】解：如圖作點(diǎn)。關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)。'，連接P。'，

由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知：MD=D'M,CD=CD'=2

：.PM+DM=PM+MD'=PD'

過點(diǎn)P作PE垂直。C,垂足為G,

易證故可知P的軌跡為以A8為直徑的四分之一圓弧上，當(dāng)點(diǎn)￡與點(diǎn)。重合,

點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，PG和GO'均最短，

...止匕時(shí)，PD'最短.

?.,四邊形48C。為正方形，

???PG=/AD=I，GC=1DC=1.

：.GD'=3.

在Rtz^PG。'中，由勾股定理得：PD'=7PG2+GDy2=V12+32=V1O,

故答案為：VlO.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是最短路徑問題，由軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)確定出

點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共2小題）

13.問題背景如圖1,在△ABC中，BC=4,AB=2AC.

問題初探請(qǐng)寫出任意一對(duì)滿足條件的AB與AC的值：A8=6,AC=3.

問題再探如圖2,在AC右側(cè)作交8C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡>,求C￡>的長(zhǎng).

問題解決求△ABC的面積的最大值.

【分析】問題初探：設(shè)AC=x,則AB=2r,根據(jù)三角形三動(dòng)間的關(guān)系知2x-x<4且2x+x

>4,解之得出x的范圍，在此范圍內(nèi)確定AC的值即可得出答案；

問題再探：設(shè)CD=a、AD=b,證得上，據(jù)此知<,?

ADBDABb=1

4+a~2

解之可得；

問題解決：設(shè)AC=，”、則A8=2，〃，根據(jù)面積公式可得SAABC=2,"4]_CO由余弦

定理可得cosC,代入化簡(jiǎn)SAABC=J_L（2+空3結(jié)合機(jī)的取值范圍，利用

V16kX9,9

二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得.

【解答】解：?jiǎn)栴}初探，設(shè)AC=x,則AB=2x,

,:BC=4,

：.2x-x<4R2x+x>4,

解得：A<X<4,

3

取尸3,則AC=3、A8=6,

故答案為：6、3；

問題再探，'：ZCAD^ZB,ND=ND,

：.^\DAC^/\DBA,

則型=延=星_,

ADBDAB

設(shè)CD=a、AD=hf

.b-2

b__1_

4+a~2

f4

a至

解得：。，

14

即CD=A；

3

問題解決，設(shè)AC=〃?、則A8=2/〃，

根據(jù)面積公式可得SAA8C==-AC?3CsinC

=2/M,sinC=2/nAyi_coS2C，

由余弦定理可得cosC=16f,

8m

???SAABC=2聞-cos2c

=2小號(hào)￡)2

V8m

=J-16-^-m4+10ro2

V16

=9(■/280、24096i

NW(x9)-81]

=M(X2JO2+256

V16'X979

由三角形三邊關(guān)系知&<w<4,

3

所以當(dāng)〃?時(shí)，SAABC取得最大值」

33-,

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形三邊關(guān)系、相似三角形的判定與性質(zhì)及二次函數(shù)的應(yīng)用,

解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式、余弦定理及二次

函數(shù)的性質(zhì).

14.已知A（2,0）,B（6,0）