2015-2016學(xué)年北師大版選修2-2數(shù)學(xué)歸納法課件

2015-2016學(xué)年北師大版選修2-2數(shù)學(xué)歸納法課件目錄CONTENCT引言數(shù)學(xué)歸納法的基本原理數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用實(shí)例數(shù)學(xué)歸納法的擴(kuò)展與深化總結(jié)與回顧習(xí)題與解答01引言課程目標(biāo)課程安排課程簡(jiǎn)介本課程旨在幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的概念、原理和應(yīng)用，培養(yǎng)邏輯推理和解決問題的能力。本課程將通過講解、實(shí)例演示和練習(xí)等多種方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，使學(xué)生全面掌握數(shù)學(xué)歸納法的知識(shí)。數(shù)學(xué)歸納法是一種證明無窮序列或無限集合中的命題的方法，通過有限步驟來證明無限情況。數(shù)學(xué)歸納法包括兩個(gè)步驟：基礎(chǔ)步驟和歸納步驟，其中基礎(chǔ)步驟證明命題在某個(gè)初始值成立，而歸納步驟證明對(duì)于任意自然數(shù)n，命題都成立。數(shù)學(xué)歸納法的定義010203證明等式或不等式的恒等性或不等式性質(zhì)。證明組合數(shù)學(xué)中的一些問題，如排列、組合、概率等。解決一些數(shù)列求和問題，如求前n項(xiàng)和的公式。數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用場(chǎng)景02數(shù)學(xué)歸納法的基本原理初始步驟初始步驟：驗(yàn)證$n=1$時(shí)，等式是否成立。初始步驟是數(shù)學(xué)歸納法的第一步，它驗(yàn)證了等式在$n=1$時(shí)的成立情況。這是整個(gè)歸納過程的基礎(chǔ)，確保了遞推關(guān)系的起始點(diǎn)是正確的。歸納步驟：假設(shè)當(dāng)$n=k$時(shí)等式成立，證明當(dāng)$n=k+1$時(shí)等式也成立。歸納步驟是數(shù)學(xué)歸納法的核心，它基于歸納假設(shè)，通過一系列推理，證明當(dāng)$n=k+1$時(shí)等式也成立。這一步確保了等式的正確性可以由前一步推導(dǎo)出來，從而實(shí)現(xiàn)了遞推關(guān)系的建立。歸納步驟歸納假設(shè)：假設(shè)當(dāng)$n=k$時(shí)等式成立。歸納假設(shè)是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵，它設(shè)定了一個(gè)假設(shè)條件，即當(dāng)$n=k$時(shí)等式成立。這個(gè)假設(shè)是遞推關(guān)系建立的基礎(chǔ)，使得我們可以利用它來證明當(dāng)$n=k+1$時(shí)等式也成立。通過歸納假設(shè)，我們能夠?qū)栴}簡(jiǎn)化，并逐步推導(dǎo)出更一般性的結(jié)論。歸納假設(shè)03數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用實(shí)例總結(jié)詞通過數(shù)學(xué)歸納法證明等差數(shù)列求和公式，可以得出等差數(shù)列的求和公式為$S_n=frac{n}{2}(a_1+a_n)$。要點(diǎn)一要點(diǎn)二詳細(xì)描述首先，我們假設(shè)等差數(shù)列的前$k$項(xiàng)和為$S_k=frac{k}{2}(a_1+a_k)$。然后，我們使用數(shù)學(xué)歸納法證明該公式對(duì)所有正整數(shù)$n$都成立。當(dāng)$n=1$時(shí)，公式顯然成立。假設(shè)當(dāng)$n=k$時(shí)公式成立，即$S_k=frac{k}{2}(a_1+a_k)$。那么，當(dāng)$n=k+1$時(shí)，$S_{k+1}=S_k+a_{k+1}=frac{k}{2}(a_1+a_k)+a_{k+1}=frac{k+1}{2}(a_1+a_{k+1})$。因此，等差數(shù)列求和公式得證。等差數(shù)列求和公式的證明總結(jié)詞通過數(shù)學(xué)歸納法證明二項(xiàng)式定理，可以得出$(a+b)^n$的展開式為$sum_{k=0}^{n}C_n^ka^{n-k}b^k$。詳細(xì)描述首先，我們假設(shè)二項(xiàng)式定理對(duì)某個(gè)正整數(shù)$k$成立，即$(a+b)^k=sum_{i=0}^{k}C_k^ia^{k-i}b^i$。然后，我們使用數(shù)學(xué)歸納法證明該公式對(duì)所有正整數(shù)$n$都成立。當(dāng)$n=1$時(shí)，公式顯然成立。假設(shè)當(dāng)$n=k$時(shí)公式成立，即$(a+b)^k=sum_{i=0}^{k}C_k^ia^{k-i}b^i$。那么，當(dāng)$n=k+1$時(shí)，$(a+b)^{k+1}=(a+b)(a+b)^k=sum_{i=0}^{k}C_k^ia^{k-i}b^i+a(a+b)^k=sum_{i=0}^{k+1}C_{k+1}^ia^{k+1-i}b^i$。因此，二項(xiàng)式定理得證。二項(xiàng)式定理的證明總結(jié)詞通過數(shù)學(xué)歸納法證明完全平方數(shù)的性質(zhì)，可以得出如果一個(gè)數(shù)是完全平方數(shù)，則它的平方根也是完全平方數(shù)。詳細(xì)描述首先，我們假設(shè)一個(gè)正整數(shù)$n$是完全平方數(shù)，即存在一個(gè)正整數(shù)$m$使得$n=m^2$。然后，我們使用數(shù)學(xué)歸納法證明該性質(zhì)對(duì)所有正整數(shù)都成立。當(dāng)$n=1$時(shí)，性質(zhì)顯然成立。假設(shè)當(dāng)某個(gè)正整數(shù)$k$時(shí)性質(zhì)成立，即存在一個(gè)正整數(shù)$m'$使得$k=m'^2$。那么，當(dāng)$n=k+1$時(shí)，$(m'+1)^2=m'^2+2m'+1=k+2m'+1=k+(2m'+1)$。由于$(2m'+1)$是奇數(shù)，所以$(m'+1)^2-m'^2=(2m'+1)$是奇數(shù)。因此，存在一個(gè)正整數(shù)$m''=m'+1$使得$(m''+1)^2-m''^2=(2m''+1)$是奇數(shù)。因此，完全平方數(shù)的性質(zhì)得證。完全平方數(shù)的性質(zhì)證明04數(shù)學(xué)歸納法的擴(kuò)展與深化倒數(shù)學(xué)歸納法雙數(shù)學(xué)歸納法歸納與演繹結(jié)合法在基礎(chǔ)步驟之后，使用反向推理來證明結(jié)論，適用于某些特定問題。對(duì)兩個(gè)獨(dú)立的自然數(shù)變量同時(shí)進(jìn)行歸納，適用于具有雙重性質(zhì)的問題。將歸納法和演繹法結(jié)合使用，以獲得更廣泛和深入的數(shù)學(xué)結(jié)論。數(shù)學(xué)歸納法的變種010203組合數(shù)學(xué)圖論離散概率論數(shù)學(xué)歸納法的其他應(yīng)用領(lǐng)域用于證明關(guān)于組合數(shù)的性質(zhì)和公式。用于證明關(guān)于圖的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)的結(jié)論。用于證明關(guān)于離散隨機(jī)事件的概率性質(zhì)。80%80%100%數(shù)學(xué)歸納法的局限性與挑戰(zhàn)不是所有數(shù)學(xué)問題都可以使用數(shù)學(xué)歸納法解決，需要具體問題具體分析。數(shù)學(xué)歸納法的有效性依賴于基礎(chǔ)步驟的正確性，需要仔細(xì)驗(yàn)證。在歸納步驟中，需要巧妙地使用歸納假設(shè)，有時(shí)需要?jiǎng)?chuàng)造性思維。問題適用性基礎(chǔ)步驟的建立歸納假設(shè)的使用05總結(jié)與回顧數(shù)學(xué)歸納法的定義與原理數(shù)學(xué)歸納法在等差數(shù)列和等比數(shù)列中的應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法在幾何證明中的應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用范圍和限制本章重點(diǎn)回顧01020304深入理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，掌握其應(yīng)用方法學(xué)習(xí)建議與展望深入理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，掌握其應(yīng)用方法深入理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，掌握其應(yīng)用方法深入理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，掌握其應(yīng)用方法06習(xí)題與解答在此添加您的文本17字在此添加您的文本16字在此添加您的文本16字在此添加您的文本16字在此添加您的文本16字在此添加您的文本16字習(xí)題1：請(qǐng)寫出下列數(shù)列的通項(xiàng)公式1,3,7,13,21,...1,1/3,1/7,1/13,1/21,...2,3,5,8,13,...習(xí)題2：利用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于任意自然數(shù)$n$，都有$frac{1}{n+1}+frac{1}{n+2}+...+frac{1}{2n}>frac{47}{90}$。習(xí)題3：利用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于任意自然數(shù)$n$，都有$1^2+2^2+...+n^2=frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。習(xí)題部分答案與解析部分答案1解析通過觀察數(shù)列的規(guī)律，我們可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式分別為$a_n=n^2-2n+2$，$b_n=frac{1}{n^2}$和$c_n=F_{n+1}$，其中$F_n$是第$n$個(gè)斐波那契數(shù)。答案2解析首先，我們利用數(shù)學(xué)歸納法的基礎(chǔ)步驟證明當(dāng)$n=1$時(shí)，不等式成立。然后，我們假設(shè)當(dāng)$n=k$時(shí)不等式成立，再證明當(dāng)$n=k+1$