線性代數自測題2及答案1

PAGEPAGE8線性代數第4-5章自測題(參考答案)一、填空題(本大題6小題,每小題3分,共18分)1、設三階矩陣有一個特征值為，且及的主對角線元素的和為，則的其余兩個特征值分別為__0,-1____。2、二次型的矩陣形式為；3、設為正交矩陣，為陣的特征根，則=0___；4、已知4階方陣A相似于B，且A的特征值為2，3，4，5，I為4階單位陣，則___24_____________；5、設四元非齊次線性方程組的系數矩陣的秩為3，已知是它的三個解向量，且，則該方程組的通解為；6、已知向量組，，，，則該向量組的秩是___4___。二、單項選擇題(本題分6小題,每小題3分,共18分)1、設三階方陣的特征值為、、,，則是(D)滿秩陣;秩;秩;。2、階方陣能與對角矩陣相似的充分必要條件是(C)是實對稱矩陣.;的個特征值互不相等;具有個線性無關的特征向量;的特征向量兩兩正交。3、若二次型是正定的，則正確的是（C）A的每一個元素皆正;A的奇數階前主子式為負;A的特征值皆正;（D）以上都不對。4、為正交陣，為對角陣，矩陣為（A）（A）對稱陣.;（B）正交陣；（C）不一定為對稱陣；（D）以上均不對。5、“再添加一個向量后，向量組線性無關”是“向量組線性無關”的（A）（A）充分條件.;（B）必要條件；（C）充分必要條件；（D）既不充分條件也不必要條件。6、設A為n階對稱陣，P為n階可逆，x是A的對應特征值λ的特征向量，則對應λ的特征向量是（C）（A）.;（B）；（C）；（D）。三、解答下列各題（本大題共8小題，每小題6分，總計48分）1、對矩陣,求正交矩陣,使得：解(1)，特征值可求得對應于特征值的特征向量,,構造正交矩陣和對角矩陣：，則有．2、設,,,求向量組的秩。解：因為,故線性無關，該向量組的秩為。3、設,,,,求向量組的一個最大無關組。解：或為最大無關組。4、求的基礎解系。解：，，,, 5、確定實數的取值范圍，使二次型為正定的。解：，,,故當,正定。6、設是的矩陣，且的秩若已知方程組（不全為零）其兩個解向量為試求方程組的通解。解：記則，又，故方程的通解為： 的通解為：的實數）。7、設,,,，問向量能不能由向量組線性表出？為什么？設令,對作初等變換，可見，由于方程組無解，故不能由向量組線性表出。8、試確定方程在平面直角坐標系中所代表的曲線的名稱。解：設二次型，，得。當時，可求得；當時，可求得；所以經正交變換可化成的標準形為，所繪曲線化成，它代表橢圓。四、證明下列各題（本大題共3題，每題5-6分，共16分）1、設向量組線性無關，而,線性相關，證明：如果都不能由線性表出，則向量組與向量組,等價。證明：由于,線性相關,有不全為的數，使由于線性無關，故不全為。若則可由線性表出，與已知矛盾，故此情形不存在。同樣不會有。因此 由此據式知可由線性表出，中的其它向量顯然可由線性表出，故可由線性表出。同理可由線性表出，因而與等價。 2、設λ是方陣A的特征值，X是A的屬于λ的特征向量，證明：（P120例8）3、設向量組線性無關，而向量組線性相關，證明向量V必可依線性表出，且表出式是唯一確定的。證：向量組線性相關，故有不全為零的數，使…………….…（*）由反證法可以證明。若，則就不全為零，而，即有