同濟大學第五版高等數(shù)學課件D9習題

同濟大學第五版高等數(shù)學(下)課件D9習題函數(shù)與極限導數(shù)與微分微分中值定理與導數(shù)的應用不定積分定積分及其應用contents目錄01函數(shù)與極限理解函數(shù)的基本定義和性質(zhì)總結(jié)詞函數(shù)是數(shù)學中描述兩個數(shù)集之間關(guān)系的一種工具。它定義了從一個數(shù)集到另一個數(shù)集的映射關(guān)系。函數(shù)的基本定義包括自變量、因變量和對應法則。此外，還需要理解函數(shù)的定義域和值域，以及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性等性質(zhì)。詳細描述函數(shù)的概念函數(shù)的極限掌握函數(shù)極限的定義和性質(zhì)總結(jié)詞函數(shù)的極限描述了函數(shù)在某一點附近的性質(zhì)。具體來說，如果當自變量趨近于某個值時，函數(shù)的值趨近于一個確定的數(shù)，則稱函數(shù)在該點有極限。極限有幾種不同的類型，包括數(shù)列的極限、函數(shù)的極限、無窮小量和無窮大量等。此外，還需要理解極限的基本性質(zhì)，如極限的四則運算法則和復合函數(shù)的極限等。詳細描述總結(jié)詞理解無窮小量和無窮大量的概念和性質(zhì)要點一要點二詳細描述無窮小量和無窮大量是數(shù)學中描述變量在一定條件下無限接近于零或無窮大的概念。它們在微積分中有著重要的應用，如求極限、求導數(shù)和積分等。無窮小量是指在一定條件下趨于零的變量，而無窮大量則是指在一定條件下趨于無窮大的變量。此外，還需要理解無窮小量和無窮大量的性質(zhì)，如等價無窮小替換和比較法則等。無窮小量與無窮大量02導數(shù)與微分導數(shù)描述了函數(shù)在某一點的切線斜率，是函數(shù)局部變化率的重要概念?？偨Y(jié)詞導數(shù)定義為函數(shù)在某一點附近的小范圍內(nèi)變化率與自變量變化率的比值，當自變量變化量趨于0時，這個比值就等于該點的導數(shù)值。導數(shù)描述了函數(shù)在某一點的切線斜率，反映了函數(shù)在該點的變化趨勢。詳細描述導數(shù)的概念總結(jié)詞導數(shù)的計算方法包括求導公式、鏈式法則、乘積法則、商的導數(shù)法則等。詳細描述求導公式包括基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和復合函數(shù)的導數(shù)公式。鏈式法則用于計算復合函數(shù)的導數(shù)，乘積法則用于計算兩個函數(shù)的乘積的導數(shù)，商的導數(shù)法則用于計算商的導數(shù)。這些法則可以組合使用，以便于計算復雜函數(shù)的導數(shù)。導數(shù)的計算VS微分是函數(shù)在某一點附近的小范圍內(nèi)變化量的近似值，是導數(shù)的幾何意義。詳細描述微分定義為函數(shù)在某一點附近的小范圍內(nèi)變化量與自變量變化量的比值，當自變量變化量趨于0時，這個比值就等于該點的微分值。微分是函數(shù)在某一點附近的小范圍內(nèi)變化量的近似值，反映了函數(shù)在該點附近的變化趨勢。微分值越大，表示函數(shù)在該點附近的變化越劇烈?？偨Y(jié)詞微分的概念03微分中值定理與導數(shù)的應用羅爾定理如果函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$上可導，且$f(a)=f(b)$，則存在$ξ∈(a,b)$，使得$f'(ξ)=0$。如果函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$上可導，則存在$ξ∈(a,b)$，使得$f'(ξ)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。如果函數(shù)$f(x)$和$g(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$上可導，且$g'(x)neq0$，則存在$ξ∈(a,b)$，使得$frac{f'(ξ)}{g'(ξ)}=frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$。拉格朗日中值定理柯西中值定理微分中值定理利用導數(shù)求切線方程對于函數(shù)$f(x)$在點$x_0$處的導數(shù)$f'(x_0)$，切線斜率為$f'(x_0)$，切點為$(x_0,f(x_0))$，切線方程為$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$。利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性如果$f'(x)>0$，則函數(shù)$f(x)$在對應區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果$f'(x)<0$，則函數(shù)$f(x)$在對應區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。利用導數(shù)求函數(shù)的極值如果函數(shù)$f(x)$在點$x_0$處的導數(shù)$f'(x_0)=0$，且在點$x_0$的左右兩側(cè)導數(shù)變號，則函數(shù)$f(x)$在點$x_0$處取得極值。010203導數(shù)的應用利用導數(shù)判斷曲線的凹凸性如果函數(shù)$f(x)$在某區(qū)間內(nèi)的導數(shù)大于0，則函數(shù)曲線在該區(qū)間內(nèi)為凹；如果函數(shù)$f(x)$在某區(qū)間內(nèi)的導數(shù)小于0，則函數(shù)曲線在該區(qū)間內(nèi)為凸。利用導數(shù)求曲線的拐點如果函數(shù)$f(x)$在點$x_0$處的導數(shù)等于0，且在點$x_0$的左右兩側(cè)二階導數(shù)變號，則函數(shù)$f(x)$在點$x_0$處取得拐點。曲線的凹凸性與拐點04不定積分不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念不定積分是微積分中的一個重要概念，它是求一個函數(shù)的原函數(shù)或反導數(shù)的運算。不定積分的性質(zhì)不定積分具有線性性質(zhì)、積分常數(shù)性質(zhì)和積分區(qū)間可加性等基本性質(zhì)。直接積分法通過簡單的代數(shù)運算和基本初等函數(shù)的積分公式，直接求出不定積分。換元積分法通過引入新的變量替換原函數(shù)中的部分變量，將復雜函數(shù)的不定積分轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù)的不定積分。分部積分法通過將一個函數(shù)與導數(shù)相乘，將不定積分轉(zhuǎn)化為更容易求解的形式。不定積分的計算方法簡化計算過程對于一些復雜函數(shù)的不定積分，可以通過查詢積分表找到相應的公式，簡化計算過程。驗證不定積分的正確性對于一些不易計算的不定積分，可以通過查詢積分表驗證計算結(jié)果的正確性。查詢基本初等函數(shù)的積分公式積分表包含了各種基本初等函數(shù)的積分公式，方便查詢和記憶。積分表的使用05定積分及其應用定積分的定義定積分是積分和的極限，表示函數(shù)在某個區(qū)間上的整體效果。定積分的幾何意義定積分在幾何上表示曲線與x軸所夾的面積。定積分的性質(zhì)包括線性性質(zhì)、區(qū)間可加性、常數(shù)性質(zhì)、比較性質(zhì)等。定積分的概念與性質(zhì)ABCD定積分的計算方法微積分基本定理微積分基本定理是定積分計算的核心，它將定積分轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)在區(qū)間端點值的差。換元積分法通過適當?shù)淖兞刻鎿Q，將復雜的積分轉(zhuǎn)化為容易計算的積分。分項積分法當被積函數(shù)在積分區(qū)間上具有不同的單調(diào)性時，可以采用分項積分法。分部積分法分部積分法是將兩個函數(shù)的乘積的導數(shù)轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)的導數(shù)與另一個函數(shù)的積的方法。計算面積定積分