高等數(shù)學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

匯報(bào)人:AA2024-01-19高等數(shù)學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)目錄CONTENCT概率論基本概念隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念與方法假設(shè)檢驗(yàn)與方差分析回歸分析初步了解01概率論基本概念0102030405樣本空間事件基本事件必然事件不可能事件所有可能結(jié)果的集合，常用大寫字母S表示。樣本空間的子集，即某些可能結(jié)果的組合。只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件。包含樣本空間中所有樣本點(diǎn)的事件。不包含任何樣本點(diǎn)的事件。樣本空間與事件概率定義概率性質(zhì)概率定義及性質(zhì)描述某一事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，常用P(A)表示事件A發(fā)生的概率。非負(fù)性、規(guī)范性（必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0）、可列可加性（互不相容事件的并的概率等于各事件概率之和）。80%80%100%條件概率與獨(dú)立性在某一事件B發(fā)生的條件下，另一事件A發(fā)生的概率，記作P(A|B)。如果事件A的發(fā)生與否對(duì)事件B發(fā)生的概率沒有影響，則稱事件A與B相互獨(dú)立。P(AB)=P(A)P(B|A)，用于計(jì)算兩個(gè)事件的交的概率。條件概率事件的獨(dú)立性乘法公式全概率公式與貝葉斯公式全概率公式如果事件B1,B2,...,Bn構(gòu)成一個(gè)完備事件組，且都具有正概率，則對(duì)任一事件A，有P(A)=∑P(Bi)P(A|Bi)。貝葉斯公式在全概率公式的條件下，可以計(jì)算某一原因（Bi）導(dǎo)致結(jié)果（A）發(fā)生的概率，即P(Bi|A)=P(ABi)/P(A)=P(Bi)P(A|Bi)/∑P(Bj)P(A|Bj)。02隨機(jī)變量及其分布VS隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)，它將樣本空間中的每一個(gè)樣本點(diǎn)映射到一個(gè)實(shí)數(shù)。隨機(jī)變量分類根據(jù)隨機(jī)變量取值的特點(diǎn)，可以將其分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量?jī)深?。隨機(jī)變量定義隨機(jī)變量定義及分類分布律定義離散型隨機(jī)變量的分布律是指它在各個(gè)可能取到的值上的概率分布情況。常見離散型隨機(jī)變量分布二項(xiàng)分布、泊松分布、幾何分布等。分布律性質(zhì)非負(fù)性、規(guī)范性、可列可加性。離散型隨機(jī)變量分布律030201常見連續(xù)型隨機(jī)變量分布正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布等。概率密度函數(shù)性質(zhì)非負(fù)性、規(guī)范性、連續(xù)性。概率密度函數(shù)定義連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)是一個(gè)描述隨機(jī)變量在某個(gè)確定取值點(diǎn)附近的可能性的函數(shù)。連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度函數(shù)離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布通過概率加法公式和概率乘法公式求解。連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布通過概率密度函數(shù)的變換和積分求解。隨機(jī)變量函數(shù)的定義隨機(jī)變量函數(shù)是指通過一定的函數(shù)關(guān)系將一個(gè)隨機(jī)變量轉(zhuǎn)化為另一個(gè)隨機(jī)變量的過程。隨機(jī)變量函數(shù)分布03多維隨機(jī)變量及其分布聯(lián)合分布函數(shù)描述二維隨機(jī)變量$(X,Y)$取值落在某個(gè)區(qū)域$D$內(nèi)的概率，記作$F(x,y)$。聯(lián)合概率密度函數(shù)若二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)$F(x,y)$可微，則稱$f(x,y)$為$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度函數(shù)，滿足$F(x,y)=int_{-infty}^{x}int_{-infty}^{y}f(u,v)dudv$。二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布二維隨機(jī)變量$(X,Y)$中，$X$或$Y$的分布函數(shù)稱為邊緣分布函數(shù)，分別記作$F_X(x)$和$F_Y(y)$。在給定$X=x$的條件下，$Y$的條件分布函數(shù)記作$F_{Y|X}(y|x)$，同理可得$F_{X|Y}(x|y)$。邊緣分布函數(shù)條件分布函數(shù)邊緣分布與條件分布相互獨(dú)立隨機(jī)變量若二維隨機(jī)變量$(X,Y)$滿足對(duì)任意$x,y$有$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，則稱$X$與$Y$相互獨(dú)立。相互獨(dú)立的定義若$(X,Y)$相互獨(dú)立，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)$a,b$，事件${Xleqa}$與事件${Yleqb}$相互獨(dú)立。相互獨(dú)立的性質(zhì)多維隨機(jī)變量函數(shù)分布$Z=max{X,Y}$和$Z=min{X,Y}$的分布：設(shè)$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度函數(shù)為$f(x,y)$，則$Z=max{X,Y}$和$Z=min{X,Y}$的概率密度函數(shù)分別為$int_{-infty}^{z}f(z,y)dy+int_{-infty}^{z}f(x,z)dx-int_{-infty}^{z}int_{-infty}^{z}f(x,y)dxdy$和$int_{z}^{infty}int_{z}^{infty}f(x,y)dxdy$。$Z=X+Y$的分布：設(shè)$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度函數(shù)為$f(x,y)$，則$Z=X+Y$的概率密度函數(shù)為卷積形式$int_{-infty}^{infty}f(z-y,y)dy$。其他多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布：對(duì)于其他多維隨機(jī)變量的函數(shù)，如線性變換、非線性變換等，可以通過變換公式和雅可比行列式等方法求解其分布。04數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念與方法研究對(duì)象的全體個(gè)體組成的集合，具有共同的性質(zhì)。總體組成總體的每一個(gè)基本單位。個(gè)體從總體中隨機(jī)抽取的一部分個(gè)體組成的集合，用于推斷總體性質(zhì)。樣本樣本中包含的個(gè)體數(shù)目。樣本容量總體與樣本010203統(tǒng)計(jì)量常用統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)統(tǒng)計(jì)量及其性質(zhì)樣本的函數(shù)，用于描述樣本特征。樣本均值、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、樣本矩等。無偏性、有效性、一致性等。大數(shù)定律中心極限定理抽樣分布抽樣分布定理當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)，樣本均值的分布近似于正態(tài)分布。統(tǒng)計(jì)量的概率分布，如t分布、F分布、卡方分布等。當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)，樣本均值趨近于總體均值。用樣本統(tǒng)計(jì)量的某個(gè)值來估計(jì)總體參數(shù)。點(diǎn)估計(jì)根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的分布性質(zhì)，構(gòu)造出總體參數(shù)的一個(gè)置信區(qū)間，并給出置信水平。區(qū)間估計(jì)無偏性、有效性、一致性、充分性等。估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)010203參數(shù)估計(jì)方法05假設(shè)檢驗(yàn)與方差分析原假設(shè)與備擇假設(shè)在假設(shè)檢驗(yàn)中，原假設(shè)通常是研究者想要推翻的假設(shè)，而備擇假設(shè)則是研究者希望證實(shí)的假設(shè)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與拒絕域檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出的用于檢驗(yàn)原假設(shè)的統(tǒng)計(jì)量，而拒絕域則是根據(jù)顯著性水平和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布確定的，當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落入拒絕域時(shí)，我們拒絕原假設(shè)。顯著性水平與兩類錯(cuò)誤顯著性水平是事先設(shè)定的用于判斷原假設(shè)是否成立的概率閾值，而兩類錯(cuò)誤分別指原假設(shè)為真時(shí)錯(cuò)誤地拒絕原假設(shè)（第一類錯(cuò)誤）和原假設(shè)為假時(shí)錯(cuò)誤地接受原假設(shè)（第二類錯(cuò)誤）。假設(shè)檢驗(yàn)基本原理當(dāng)樣本量較小且總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時(shí)，可以使用單樣本t檢驗(yàn)對(duì)單個(gè)正態(tài)總體均值進(jìn)行檢驗(yàn)。該檢驗(yàn)通過比較樣本均值與已知總體均值之間的差異是否顯著來判斷原假設(shè)是否成立。單樣本t檢驗(yàn)卡方檢驗(yàn)主要用于檢驗(yàn)單個(gè)正態(tài)總體的方差是否與給定的值相等。通過計(jì)算樣本方差與給定值之間的卡方統(tǒng)計(jì)量，并根據(jù)卡方分布確定顯著性水平，從而判斷原假設(shè)是否成立。卡方檢驗(yàn)單個(gè)正態(tài)總體均值和方差檢驗(yàn)兩獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)當(dāng)兩個(gè)樣本相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布時(shí)，可以使用兩獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)對(duì)兩個(gè)正態(tài)總體均值進(jìn)行比較。該檢驗(yàn)通過比較兩個(gè)樣本均值之間的差異是否顯著來判斷原假設(shè)是否成立。F檢驗(yàn)F檢驗(yàn)主要用于比較兩個(gè)正態(tài)總體的方差是否相等。通過計(jì)算兩個(gè)樣本方差的比值，并根據(jù)F分布確定顯著性水平，從而判斷原假設(shè)是否成立。兩個(gè)正態(tài)總體均值和方差比較要點(diǎn)三方差分析基本原理方差分析是一種通過比較不同組別間均值差異來推斷總體均值是否存在顯著差異的統(tǒng)計(jì)方法。它將總變異分解為組內(nèi)變異和組間變異兩部分，并通過比較組間變異與組內(nèi)變異的相對(duì)大小來判斷各組均值是否存在顯著差異。要點(diǎn)一要點(diǎn)二單因素方差分析單因素方差分析主要用于研究一個(gè)控制變量對(duì)觀察變量的影響。通過比較不同水平下觀察變量的均值是否存在顯著差異來判斷控制變量是否對(duì)觀察變量有顯著影響。多因素方差分析多因素方差分析可以同時(shí)研究多個(gè)控制變量對(duì)觀察變量的影響以及這些控制變量之間的交互作用。通過構(gòu)建包含多個(gè)因素和交互項(xiàng)的模型，可以更加全面地了解各因素對(duì)觀察變量的影響程度及其相互作用關(guān)系。要點(diǎn)三方差分析原理及應(yīng)用06回歸分析初步了解01020304變量選擇數(shù)據(jù)收集散點(diǎn)圖分析模型建立一元線性回歸模型建立通過繪制散點(diǎn)圖，初步判斷自變量和因變量之間是否存在線性關(guān)系。收集足夠多的樣本數(shù)據(jù)，用于建立回歸模型。確定自變量和因變量，明確預(yù)測(cè)目標(biāo)。根據(jù)散點(diǎn)圖分析結(jié)果，建立一元線性回歸模型，即$y=beta_0+beta_1x+epsilon$，其中$beta_0$和$beta_1$是待估計(jì)參數(shù)，$epsilon$是隨機(jī)誤差項(xiàng)。通過最小化殘差平方和來估計(jì)回歸模型的參數(shù)，即使$sum_{i=1}^{n}(y_i-(beta_0+beta_1x_i))^2$最小。最小二乘法原理利用最小二乘法原理，可以得到參數(shù)$beta_0$和$beta_1$的估計(jì)值，分別為$hat{beta}_0=bar{y}-hat{beta}_1bar{x}$和$hat{beta}_1=frac{sum_{i=1}^{n}(x_i-bar{x})(y_i-bar{y})}{sum_{i=1}^{n}(x_i-bar{x})^2}$，其中$bar{x}$和$bar{y}$分別為自變量和因變量的均值。參數(shù)估計(jì)公式最小二乘法估計(jì)參數(shù)回歸方程顯著性檢驗(yàn)將總平方和分解為回歸平方和與殘差平方和兩部分，即$SST=SSR+SSE$，其中$SST$表示總平方和，$SSR$表示回歸平方和，$SSE$表示殘差平方和。F檢驗(yàn)通過構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量$F=frac{SSR/1}{SSE/(n-2)}$，在給定顯著性水平下進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，判斷回歸方程是否顯著。t檢驗(yàn)分別構(gòu)造$bet