同濟(jì)高數(shù)第6章課件第3節(jié)

同濟(jì)高數(shù)第6章課件第3節(jié)引言知識(shí)點(diǎn)一：極限的定義與性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)二：函數(shù)的連續(xù)性知識(shí)點(diǎn)三：導(dǎo)數(shù)的概念與性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)四：微積分基本定理習(xí)題與解答contents目錄CHAPTER引言01背景本節(jié)內(nèi)容主要介紹了微積分中的極限概念，它是微積分學(xué)的基礎(chǔ)，對(duì)于理解后續(xù)章節(jié)的內(nèi)容至關(guān)重要。重要性極限概念是微積分學(xué)的核心，掌握好極限的概念和性質(zhì)是學(xué)好微積分的關(guān)鍵。極限理論在數(shù)學(xué)分析、物理、工程等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有重要意義。本節(jié)內(nèi)容的背景和重要性本節(jié)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)和組織第一部分介紹極限的定義，包括數(shù)列的極限和函數(shù)的極限。第三部分介紹極限的運(yùn)算，包括四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算。本節(jié)內(nèi)容分為三個(gè)部分：極限的定義、極限的性質(zhì)和極限的運(yùn)算。第二部分介紹極限的性質(zhì)，包括唯一性、有界性、局部保號(hào)性等。CHAPTER知識(shí)點(diǎn)一：極限的定義與性質(zhì)02極限的定義極限是描述函數(shù)在某一點(diǎn)附近的變化趨勢(shì)的數(shù)學(xué)概念。對(duì)于函數(shù)$f(x)$，如果當(dāng)$x$趨近于某個(gè)值$a$時(shí)，$f(x)$的值趨近于某個(gè)確定的數(shù)$L$，則稱(chēng)$L$為$f(x)$在點(diǎn)$a$處的極限。定義中的關(guān)鍵詞趨近、確定、變化趨勢(shì)。極限的定義唯一性一個(gè)函數(shù)的極限是唯一的，即對(duì)于同一個(gè)函數(shù)和同一個(gè)點(diǎn)，極限值是唯一的。有界性函數(shù)的極限值是有界的，即極限值不會(huì)無(wú)限大或無(wú)限小。局部有界性函數(shù)在某點(diǎn)附近的極限值存在，則該函數(shù)在該點(diǎn)附近是有界的。極限的性質(zhì)03洛必達(dá)法則當(dāng)分子和分母的極限都存在時(shí)，可以使用洛必達(dá)法則求取極限值。01代數(shù)法利用極限的四則運(yùn)算法則和冪次運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算。02夾逼法通過(guò)比較函數(shù)與夾逼函數(shù)在某點(diǎn)的極限值，從而得到原函數(shù)的極限值。極限的計(jì)算方法CHAPTER知識(shí)點(diǎn)二：函數(shù)的連續(xù)性03描述函數(shù)在某一點(diǎn)的連續(xù)性總結(jié)詞如果函數(shù)在某一點(diǎn)的極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值，則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。即，如果lim(x→x0)f(x)=f(x0)，則函數(shù)f在點(diǎn)x0處連續(xù)。詳細(xì)描述連續(xù)性的定義詳細(xì)描述1.連續(xù)函數(shù)在其定義域內(nèi)是可導(dǎo)的。3.連續(xù)函數(shù)具有局部性質(zhì)，即如果f在x0處連續(xù)，且lim(x→x0)g(x)=A，則g在x0處連續(xù)。2.如果一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在，則該函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)?？偨Y(jié)詞：描述連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)總結(jié)詞描述函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類(lèi)1.第一類(lèi)間斷點(diǎn)函數(shù)在該點(diǎn)的左右極限都存在，但不相等。包括跳躍間斷點(diǎn)和可去間斷點(diǎn)。2.第二類(lèi)間斷點(diǎn)函數(shù)在該點(diǎn)的左右極限至少有一個(gè)不存在。包括無(wú)窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類(lèi)CHAPTER知識(shí)點(diǎn)三：導(dǎo)數(shù)的概念與性質(zhì)04導(dǎo)數(shù)的定義總結(jié)詞導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)的變化率，是函數(shù)在某一點(diǎn)切線的斜率。詳細(xì)描述導(dǎo)數(shù)定義為函數(shù)在某一點(diǎn)附近無(wú)窮小增量與自變量增量的比值在自變量增量趨于0時(shí)的極限，它反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的變化趨勢(shì)，即切線的斜率?？偨Y(jié)詞導(dǎo)數(shù)在幾何上表示函數(shù)曲線在某一點(diǎn)的切線斜率。詳細(xì)描述函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)即為該點(diǎn)處切線的斜率。導(dǎo)數(shù)越大，切線斜率越大，表示函數(shù)在該點(diǎn)附近增加得快；導(dǎo)數(shù)越小，切線斜率越小，表示函數(shù)在該點(diǎn)附近增加得慢。導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法包括基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則和隱函數(shù)求導(dǎo)法則等?？偨Y(jié)詞基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式是計(jì)算導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)，包括常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則包括鏈?zhǔn)椒▌t和乘積法則，用于計(jì)算由多個(gè)基本初等函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。隱函數(shù)求導(dǎo)法則用于計(jì)算由一個(gè)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。詳細(xì)描述CHAPTER知識(shí)點(diǎn)四：微積分基本定理05微積分基本定理的表述微積分基本定理：對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)$f(x)$，其定積分$int_{a}^f(x)dx$等于$f(x)$的原函數(shù)$F(x)$在$[a,b]$區(qū)間的值差，即$int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)$。微積分基本定理是微積分學(xué)中的核心定理，它建立了定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系，為解決定積分問(wèn)題提供了重要的方法和思路。微積分基本定理的應(yīng)用通過(guò)微積分基本定理，可以直接求出某些函數(shù)的定積分值，特別是對(duì)于一些不易直接積分的函數(shù)，可以利用該定理轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)值差的形式。計(jì)算面積微積分基本定理可以用于計(jì)算平面圖形的面積，通過(guò)求出函數(shù)與坐標(biāo)軸圍成的面積的定積分，得到該平面圖形的面積。解決物理問(wèn)題在物理問(wèn)題中，微積分基本定理常常用于計(jì)算變力的做功、質(zhì)點(diǎn)的位移等問(wèn)題，通過(guò)將變力或位移分解為微小部分，再利用定積分進(jìn)行求解。求定積分VS微積分基本定理的證明主要基于極限和連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，通過(guò)構(gòu)造原函數(shù)的差分形式，利用極限定理推導(dǎo)出定積分的計(jì)算公式。證明過(guò)程首先定義原函數(shù)$F(x)$為$f(x)$的不定積分，然后利用極限定理將定積分$int_{a}^f(x)dx$轉(zhuǎn)化為$F(b)-F(a)$的形式，證明過(guò)程中需要驗(yàn)證極限的合法性以及等式的成立。證明思路微積分基本定理的證明CHAPTER習(xí)題與解答06求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4$的單調(diào)區(qū)間。題目1求函數(shù)$f(x)=ln(x^2+1)$的極值點(diǎn)。題目2求函數(shù)$f(x)=x^2-2x$在區(qū)間$(0,3)$的積分。題目3本節(jié)內(nèi)容的習(xí)題題目1解析首先求導(dǎo)數(shù)$f'(x)=3x^2-6x$，令$f'(x)>0$，解得$x<0$或$x>2$；令$f'(x)<0$，解得$0<x<2$，因此單調(diào)增區(qū)間為$(-infty,0)$和$(2,+infty)$，單調(diào)減區(qū)間為$(0,2)$。題目2解析首先求導(dǎo)數(shù)$f'(x)=frac{2x}{x^2+1}$，令$f'(x)=0$，解得$x=0$。在區(qū)間$(-infty,0)$，$f'(x)<0$，函數(shù)遞減；在區(qū)間$(0,+infty)$，$f'(x)>0$，函數(shù)遞增。因此，極小值點(diǎn)為$x=0$。題目3解析首先求原函數(shù)在區(qū)間$(0,3)$的積分值，由微積分基本定理可得$int_{0}^{3}(x^{2}-2x)dx=[frac{1}{3}x^{3