大一高數(shù)課件ch2-7函數(shù)的連續(xù)性

大一高數(shù)課件ch2-7函數(shù)的連續(xù)性CATALOGUE目錄函數(shù)連續(xù)性的定義連續(xù)函數(shù)的判定連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的運算常見函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)連續(xù)性的定義01如果一個函數(shù)在某一點的極限值等于該點的函數(shù)值，則稱該函數(shù)在該點連續(xù)。如果一個函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的每一點都連續(xù)，則稱該函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)。函數(shù)連續(xù)性的基本概念函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)函數(shù)在某一點連續(xù)函數(shù)在某一點連續(xù)的數(shù)學(xué)表達$f(x_0)=f(x_0+Deltax)-Deltaxcdotf'(x_0)$函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的數(shù)學(xué)表達$forallxin[a,b],f(x)=f(a)+int_a^xf'(t)dt$函數(shù)連續(xù)性的數(shù)學(xué)表達連續(xù)函數(shù)的和、差、積運算性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)如果兩個函數(shù)在某點連續(xù)，則它們的和、差、積也在該點連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的復(fù)合運算性質(zhì)如果一個函數(shù)在某點連續(xù)，另一個函數(shù)在該點的值存在，則它們的復(fù)合函數(shù)在該點也連續(xù)。如果一個函數(shù)在某點連續(xù)，則該函數(shù)的極限在該點也連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的極限運算性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的判定02函數(shù)在某點連續(xù)的判定函數(shù)在某點連續(xù)的定義如果函數(shù)在某點的左右極限相等且等于該點的函數(shù)值，則函數(shù)在該點連續(xù)。判斷方法通過計算函數(shù)在某點的左右極限，并比較它們是否相等，以及是否等于該點的函數(shù)值來判斷函數(shù)在該點是否連續(xù)。如果函數(shù)在區(qū)間的每一點都連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)。函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的定義通過檢查區(qū)間內(nèi)每一點的連續(xù)性來判斷函數(shù)在該區(qū)間上是否連續(xù)。判斷方法函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的判定函數(shù)在某點連續(xù)的等價條件如果函數(shù)在某點的極限值等于該點的函數(shù)值，則函數(shù)在該點連續(xù)。函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的等價條件如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的每一點的極限值都等于該點的函數(shù)值，則函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的等價條件連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)03局部保號性在連續(xù)函數(shù)的變化趨勢中，如果函數(shù)值從正變?yōu)樨摶驈呢撟優(yōu)檎?，那么在變化點附近，函數(shù)值必然為零。局部單調(diào)性連續(xù)函數(shù)在其定義域的任意子區(qū)間上都是單調(diào)的。局部有界性對于連續(xù)函數(shù)，在其定義域的任意點附近，函數(shù)值都是有界的。連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)整體保號性如果連續(xù)函數(shù)在某區(qū)間上的函數(shù)值始終大于或小于零，那么在整個區(qū)間上，函數(shù)值也必然大于或小于零。整體單調(diào)性連續(xù)函數(shù)在其定義域內(nèi)可以單調(diào)增加或單調(diào)減少。整體有界性連續(xù)函數(shù)在整個定義域上都是有界的，即存在一個正數(shù)M，使得對于定義域內(nèi)的任意x，都有|f(x)|≤M。連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的極限值等于函數(shù)值對于連續(xù)函數(shù)，如果在某點的極限存在，那么這個極限值就等于該點的函數(shù)值。極限的連續(xù)性如果一個函數(shù)在某點的極限存在，那么這個極限值在該點也是連續(xù)的。連續(xù)函數(shù)與極限的關(guān)系連續(xù)函數(shù)的運算04函數(shù)的加減運算對于兩個連續(xù)函數(shù)$f(x)$和$g(x)$，其和函數(shù)$F(x)=f(x)+g(x)$以及差函數(shù)$G(x)=f(x)-g(x)$也都是連續(xù)函數(shù)。證明根據(jù)連續(xù)函數(shù)的定義，我們知道$f(x)$和$g(x)$在某點$x_0$處連續(xù)，即$lim_{xtox_0}f(x)=f(x_0)$和$lim_{xtox_0}g(x)=g(x_0)$。因此，$lim_{xtox_0}F(x)=lim_{xtox_0}[f(x)+g(x)]=f(x_0)+g(x_0)=F(x_0)$，同理$lim_{xtox_0}G(x)=G(x_0)$，所以$F(x)$和$G(x)$在點$x_0$處也是連續(xù)的。函數(shù)的加減運算對于兩個連續(xù)函數(shù)$f(x)$和$g(x)$，其積函數(shù)$P(x)=f(x)timesg(x)$以及商函數(shù)$Q(x)=frac{f(x)}{g(x)}$也都是連續(xù)函數(shù)。函數(shù)的乘除運算根據(jù)連續(xù)函數(shù)的定義，我們知道$f(x)$和$g(x)$在某點$x_0$處連續(xù)，即$lim_{xtox_0}f(x)=f(x_0)$和$lim_{xtox_0}g(x)=g(x_0)$。因此，$lim_{xtox_0}P(x)=lim_{xtox_0}[f(x)timesg(x)]=f(x_0)timesg(x_0)=P(x_0)$，同理$lim_{xtox_0}Q(x)=Q(x_0)$，所以$P(x)$和$Q(x)$在點$x_0$處也是連續(xù)的。證明函數(shù)的乘除運算復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性如果函數(shù)$u=h(t)$和$y=f(u)$都在點$t_0$處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)$y=f[h(t)]$在點$t_0$處也連續(xù)。復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性假設(shè)$u=h(t)$在點$t_0$處連續(xù)，即$lim_{ttot_0}h(t)=h(t_0)$。由于$y=f(u)$在點$u_0=h(t_0)$處連續(xù)，我們有$lim_{utou_0}f(u)=f(u_0)$。因此，$lim_{ttot_0}f[h(t)]=lim_{utou_0}f(u)=f(u_0)=f[h(t_0)]$，所以復(fù)合函數(shù)$y=f[h(t)]$在點$t_0$處也是連續(xù)的。證明常見函數(shù)的連續(xù)性05VS一次函數(shù)$f(x)=ax+b$在定義域內(nèi)是連續(xù)的。二次函數(shù)二次函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$在定義域內(nèi)是連續(xù)的。一次函數(shù)一次函數(shù)、二次函數(shù)的連續(xù)性分段函數(shù)在各段定義域內(nèi)分別連續(xù)，但在分段點可能不連續(xù)。$f(x)=begin{cases}x^2,&xleq0x,&x>0end{cases}$分段函數(shù)舉例分段函數(shù)的連續(xù)性無窮大無窮大不是連續(xù)的，因為其導(dǎo)數(shù)不存在。要點一要點二無窮小無窮小是連續(xù)的，但其導(dǎo)數(shù)可能不存在。無窮大與無窮小的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的應(yīng)用06利用連續(xù)函數(shù)求極限在數(shù)學(xué)分析中，連續(xù)函數(shù)在求極限的過程中扮演著重要的角色。通過利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，可以簡化極限的求解過程。單調(diào)有界原理單調(diào)有界原理是利用連續(xù)函數(shù)求極限的一個重要工具。如果一個連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)單調(diào)有界，那么該函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的極限存在。零點定理與介值定理零點定理和介值定理也是利用連續(xù)函數(shù)求極限的常用方法。通過這些定理，可以在函數(shù)的連續(xù)性和函數(shù)的取值之間建立聯(lián)系，從而解決一些極限問題。連續(xù)函數(shù)在求極限中的應(yīng)用連續(xù)函數(shù)形態(tài)的分類根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，可以將連續(xù)函數(shù)分為不同的類型，如單調(diào)遞增、單調(diào)遞減、凸函數(shù)、凹函數(shù)等。這些分類有助于更好地理解函數(shù)的形態(tài)和性質(zhì)。連續(xù)函數(shù)的圖像通過繪制連續(xù)函數(shù)的圖像，可以直觀地了解函數(shù)的形態(tài)和變化趨勢。此外，通過分析圖像的拐點、極值點和漸近線等特征，可以進一步研究函數(shù)的性質(zhì)和形態(tài)。利用連續(xù)函數(shù)研究函數(shù)的形態(tài)利用連續(xù)函數(shù)解決實際問