理論力學(xué)課件：動(dòng)能定理

動(dòng)能定理12.1力的功12.2質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能12.3質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理12.4功率功率方程12.5勢力場勢能及機(jī)械能守恒定理12.6動(dòng)力學(xué)普遍定理及綜合應(yīng)用思考題

12.1力的功

工程實(shí)際中,一物體受力的作用所引起運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化,不僅取決于力的大小和方向,而且與物體在力的作用下經(jīng)過的路程有關(guān)。我們把力在一段路程上的累積效應(yīng),稱為力的功。

1.功的計(jì)算

1)常力的功

設(shè)一物體在常力F的作用下做直線運(yùn)動(dòng),如圖12-1所示。α表示力和運(yùn)動(dòng)方向間的夾角,S表示力作用點(diǎn)走過的路程。則力F在路程S上所作的功為

或圖12-1

2)變力的功

設(shè)質(zhì)點(diǎn)M在變力F作用下沿曲線運(yùn)動(dòng),如圖12-2所示。把位移S分割成許多微段dS,當(dāng)微段dS足夠小時(shí),可把dS近似地看成直線,而這一微段上的力可近似地看作常力,由式(12-1),得圖12-2

3)合力的功

即

上式表明:在任一路程中,合力的功等于各分力的功的代數(shù)和。圖12-3

2)彈性力的功圖12-4

由此可見:彈性力的功只與彈簧的起始、終了變形有關(guān),而與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無關(guān)。

3)作用在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上力的功圖12-5

由此可見,動(dòng)摩擦力的功恒為負(fù)值,它不僅取決于質(zhì)點(diǎn)的起止位置,且還與物體的運(yùn)動(dòng)路徑有關(guān)。

若N等于常量時(shí),則有

其中s為物體運(yùn)動(dòng)所經(jīng)路徑的曲線長度。

【例12-1】在圖12-6所示的系統(tǒng)中,斜面傾k角α=35°,物塊M的質(zhì)量為10kg,彈簧剛度系數(shù)=120N/m,動(dòng)摩擦系數(shù)f'=0.2。試計(jì)算物塊由彈簧的原長位置M0沿斜面運(yùn)動(dòng)到位置M1(S=0.5m)時(shí),作用于物塊的各力所做的功及合力的功。

解(1)取物塊M為研究對(duì)象。它受的力有重力P、斜面法向反力N、摩擦力F'及彈性力F。取原點(diǎn)為M0的坐標(biāo)軸x。圖12-6

3.質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功圖12-7

4.理想約束反力的功

約束反力元功為零或元功之和為零的約束稱為理想約束。常見理想約束有以下四種:

(1)光滑固定面約束。圖12-8所示的光滑固定面約束,因?yàn)楣饣潭娴募s束反力沿支承面的法線,與該力作用點(diǎn)的微小位移dr垂直,所以元功δWN=N·dr=0。

(2)軸承與可動(dòng)鉸支座。圖12-9所示的軸承與可動(dòng)鉸支座,由于約束反力的方向始終與微小位移方向垂直,故有圖12-8圖12-9

(3)連接兩個(gè)剛體的光滑鉸鏈。兩剛體在鉸接處相互作用的約束反力N和N'大小相等,方向相反,即N+N'=0,如圖12-10所示。因此,元功:δWN=N·dr+N'·dr=(N+N')·dr=0。例如常見的固定鉸支座、中間鉸的約束。圖12-10

(4)不可伸長的柔索約束。如圖12-11所示的不可伸長的繩索,兩端分別作用著拉力F1和F2(F1=F2),兩端的位移dr1和dr2沿繩索的投影相等,則F1和F2的元功和為圖12-11

物體由于運(yùn)動(dòng)而具有的能量稱為動(dòng)能,動(dòng)能是度量物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱的一個(gè)物理量。

1.質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能

設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn),任一瞬時(shí)的速度為v,則質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為

12.2質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能

動(dòng)能是一個(gè)與速度方向無關(guān)的正標(biāo)量,其量綱是[質(zhì)量][速度]2=[M][L2][T]-2=[F][L]=[力][路程],即動(dòng)能量綱與功的量綱相同。因而,動(dòng)能和功的單位相同。

由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系,其動(dòng)能等于每個(gè)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能之和,即x

式中,mi、vi分別表示質(zhì)點(diǎn)系中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量、速度大小。

2.剛體的動(dòng)能

剛體是工程中常見的質(zhì)點(diǎn)系,由于運(yùn)動(dòng)形式的不同,其動(dòng)能的表達(dá)形式各異。

(1)平動(dòng)剛體的動(dòng)能。剛體做平動(dòng)時(shí),剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度相同,其動(dòng)能為

式中,∑mi

=M是剛體的質(zhì)量,vC為剛體質(zhì)心的速度。即平動(dòng)剛體的動(dòng)能等于其質(zhì)心的速度的平方與總質(zhì)量乘積的一半。

(2)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能。設(shè)剛體以角速度ω做定軸轉(zhuǎn)動(dòng),其上任意一個(gè)到轉(zhuǎn)軸距離為ri、質(zhì)量為mi的質(zhì)點(diǎn)的速度為vi=riω。于是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能為

式中,Jz=∑miri2為剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。這表明,轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度平方乘積的一半。

(3)平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能。由于剛體的平面運(yùn)動(dòng)可看成是剛體隨質(zhì)心的平動(dòng)與繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成,因此平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能為剛體的平動(dòng)動(dòng)能加上繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能。

設(shè)質(zhì)量為M的剛體過質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JC

,質(zhì)心的速度為vC,于是

若剛體瞬心C'到質(zhì)心C的距離為d,如圖12-12所示。由

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行移軸公式有

這樣剛體的動(dòng)能:

即平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于繞瞬心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能。圖12-12

【例12-2】在圖12-13所示的機(jī)構(gòu)中,桿OA繞水平軸

O轉(zhuǎn)動(dòng),質(zhì)量為2kg的套筒M按規(guī)律s=2t2(m)沿桿滑動(dòng)。當(dāng)

轉(zhuǎn)角φ=2t(rad)時(shí),試求t=2s時(shí)套筒M的動(dòng)能。圖12-1

解取套筒M為動(dòng)點(diǎn),動(dòng)系固連于桿OA上,靜系為地面。由點(diǎn)的速度合成定理,有

當(dāng)t=2s時(shí),

【例12-3】在圖12-14所示的系統(tǒng)中,均質(zhì)圓盤A、B的半徑為R,重量各為P。盤A做定軸轉(zhuǎn)動(dòng),盤B沿水平面做純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng),且兩盤中心在同一水平線上。重物D重Q,圖示瞬時(shí)的速度為v。不計(jì)繩重,求此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能。圖12-14

12.3質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理

1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理建立了質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能與其所受力的功的關(guān)系。如圖12-15所示,質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在力F的作用下沿曲線運(yùn)動(dòng),在點(diǎn)M1、M2處的瞬時(shí)速度分別為v1、v2。由動(dòng)力學(xué)基本方程,有或

兩邊分別點(diǎn)乘以dr=vdt,得

式(12-8a)稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的微分形式。它表明,質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的微分等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力的元功。將上式沿曲線從M1到M2積分:

得

式(12-8b)為積分形式的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理。即在任一段路程中,質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能的變化,等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力在該路程上所做的功。圖12-15

【例12-4】在圖12-16中,為測定摩擦系數(shù)f,把礦車置于斜坡上的A點(diǎn)處,讓其無初速下滑。當(dāng)它達(dá)到B點(diǎn)時(shí),靠慣性又往前滑行一段路程,在C點(diǎn)處停止。求摩擦系數(shù)f0,已知S1、S2和h。圖12-16

解(1)取礦車為研究對(duì)象,其受力有重力P、摩擦力F和法向反力N。

(2)分析運(yùn)動(dòng)。礦車在A、C兩位置處的速度為零,故動(dòng)能也為零。

(3)由動(dòng)能定理求摩擦系數(shù)f0。先計(jì)算各力所做的功:

在AB段,重力P的功為Ph,法向反力為

則

所以,摩擦阻力的功為

在BC段,重力P不做功。法向反力為

則

所以,摩擦阻力的功為-Pf·S2。

2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理

由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理很容易推得質(zhì)點(diǎn)系(包括剛體)的動(dòng)能定理,推理如下:

對(duì)于n個(gè)質(zhì)點(diǎn)所組成的質(zhì)點(diǎn)系,取其中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)來研究。假設(shè)該質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為mi,速度為vi,作用于該質(zhì)點(diǎn)內(nèi)力的合力為Fi(i),外力的合力為Fi(e),由式(12-8a)有

式中δWi(e)、δWi(i)分別為作用在該質(zhì)點(diǎn)上的所有外力與內(nèi)力的元功。

將這些方程等式兩邊相加,有

或

式(12-9a)稱為微分形式的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理。即:質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的微分等于作用于該質(zhì)點(diǎn)系的全部外力與內(nèi)力元功的和。

由式(12-9a)有積分形式的動(dòng)能定理:

式中T1、T2分別為運(yùn)動(dòng)開始、終了時(shí)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能。上式表明:在某一運(yùn)動(dòng)過程中,質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的變化等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上所有的外力和內(nèi)力在這個(gè)過程中所做功的總和。

由前面質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力功的討論可知,一般情況下,內(nèi)力功之和∑W(i)并不一定為零,且不易計(jì)算。通常將作用于質(zhì)點(diǎn)系的力按主動(dòng)力和約束反力來分,則有

在理想約束的情況下,約束反力的功之和∑WN等于零。由式(12-9c)有

即,具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系,在運(yùn)動(dòng)過程中動(dòng)能的改變等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上所有的主動(dòng)力在該路程中所做的功之和。圖12-17

【例12-6】圖12-18所示的一均質(zhì)圓柱體重為P,半徑為r,從靜止開始沿傾角為α的斜面純滾動(dòng)而下。不計(jì)滾動(dòng)摩擦,求質(zhì)心的加速度aC、斜面的法向反力N和摩擦力F。圖12-18

12.4功率功率方程

1.功率在單位時(shí)間內(nèi)力所做的功稱為功率。它是衡量機(jī)器工作能力的一個(gè)重要指標(biāo)。

δW是dt時(shí)間內(nèi)力的元功,則功率為

由于元功為δW=Ft·ds,因此

即,力的功率等于切向力與力作用點(diǎn)速度的乘積

力矩的元功為δW=M·dφ,則

即,力矩的功率等于力矩與物體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的乘積。

功率的單位是瓦特(焦耳/秒(J/s))。1秒鐘內(nèi)力做功1焦耳,稱為1瓦特(W),即

若轉(zhuǎn)速n為轉(zhuǎn)/分(r/min),轉(zhuǎn)矩M為牛頓·米(N·m),則功率單位為千瓦(kW),即

式(12-12)表示功率、轉(zhuǎn)速和力矩間的關(guān)系,應(yīng)用時(shí)要注意各量的單位。

【例12-7】設(shè)質(zhì)量為2000kg的鋼錠,若要以勻速v=0.166m/s提升。問提升此鋼錠所消耗的功率。

解因勻速提升鋼錠,故提升鋼錠所需的力為

將速度v=0.166m/s代入功率方程,得提升鋼錠所需的功率為

2.功率方程

動(dòng)能定理的微分形式兩端除以dt,得

上式稱為功率方程,即質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有力的功率的代數(shù)和。

3.機(jī)械效率

由于機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)總要消耗一部分功率,故穩(wěn)定階段有用功率小于輸入功率。工程上把有用功率與輸入功率之比,稱為機(jī)械效率,用η表示,即

機(jī)械效率η的值總是小于1。機(jī)械效率愈接近1,有用功率愈接近于輸入功率,摩擦所消耗的功率也就越小,機(jī)器的工作性能越好。機(jī)械效率的大小是評(píng)價(jià)一臺(tái)機(jī)器工作性能的重要

指標(biāo)之一,一般機(jī)械效率η可由機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)查得。

【例12-8】C618車床的主軸轉(zhuǎn)速n=42r/min時(shí),其切削力P=14.3kN,若工件直徑d=115mm,電動(dòng)機(jī)到主軸的機(jī)械效率η=0.76。求此時(shí)電動(dòng)機(jī)的功率為多少?

解由式(12-12)得切削力P的功率:

12.5勢力場勢能及機(jī)械能守恒定理

1.勢力場若質(zhì)點(diǎn)在某空間的任一位置都受到一個(gè)大小和方向完全由所在位置確定的力的作用,則此空間稱為力場。例如,在地面附近,質(zhì)點(diǎn)受到重力作用,而重力的大小和方向完全決定于質(zhì)點(diǎn)的位置,所以地面附近的空間稱為重力場。星球在太陽周圍的任何位置都要受到太陽引力的作用,引力大小和方向完全決定于星球相對(duì)于太陽的位置,我們稱太陽周圍的空間為太陽引力場。用彈簧系住一質(zhì)點(diǎn),當(dāng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),就受到彈性力的作用,而彈性力的大小和方向也完全決定于質(zhì)點(diǎn)的位置,所以在彈性極限內(nèi)彈簧所能達(dá)到的這部分空間稱為彈性力場。

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在某力場運(yùn)動(dòng)時(shí),如果作用于質(zhì)點(diǎn)的力所做的功只與質(zhì)點(diǎn)的起始、終了位置有關(guān),而與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無關(guān),則該力場稱為勢力場或保守力場。質(zhì)點(diǎn)在勢力場中所受的力

稱為有勢力或保守力。由于重力、萬有引力及彈性力的功都與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑無關(guān),所以這些力都是有勢力,對(duì)應(yīng)的力場都是勢力場。

2.勢能

在勢力場中,當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從勢力場中任一給定位置M處運(yùn)動(dòng)到任選位置M0處時(shí),有勢力所做的功稱為質(zhì)點(diǎn)在給定位置M處相對(duì)于位置M0處的勢能,即

由上式,若任選位置M0為零勢能位置,稱其為零勢能點(diǎn)。

圖12-1

圖12-20

(2)彈性力場中的勢能。以彈簧自然長度的末端為零位置,質(zhì)點(diǎn)在指定位置處彈簧的伸長(或縮短)量為δ,則質(zhì)點(diǎn)在指定位置的勢能

順便指出,這里雖然只以彈簧為例。事實(shí)上,任何彈性體變形時(shí)都具有勢能。

由上式可知,在地球周圍的引力場中,距地面h處質(zhì)點(diǎn)的勢能:

因此,質(zhì)點(diǎn)系從M1點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M2點(diǎn),有勢力的功等于

質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)始末位置的勢能之差。圖12-21

3.機(jī)械能守恒定理

設(shè)質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在勢力場中運(yùn)動(dòng),僅受到有勢力的作用(或同時(shí)受到不做功的約束力的作用)。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系從第一位置運(yùn)動(dòng)到第二位置時(shí),根據(jù)動(dòng)能定理有

即質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在勢力場中運(yùn)動(dòng)時(shí),在任意兩位置的動(dòng)能與勢能之和相等。因此關(guān)系式對(duì)任意兩位置都成立,所以可寫成

上式中系統(tǒng)的動(dòng)能T與勢能V的代數(shù)和稱為系統(tǒng)的機(jī)械能。

于是有,質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系僅在有勢力作用下運(yùn)動(dòng)時(shí),其機(jī)械能保持不變。該結(jié)論稱為機(jī)械能守恒定理。這樣的系統(tǒng)稱為保守系統(tǒng)。

非保守力作用的系統(tǒng)稱為非保守系統(tǒng)。在非保守系統(tǒng)中,設(shè)非保守力的功為W'12,由動(dòng)能定理有c

上式表明,非保守系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒。例如,作用于質(zhì)點(diǎn)系的摩擦力做負(fù)功,即W'12為負(fù)值,表明質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能減小(又稱為機(jī)械能損耗),所損失的機(jī)械能轉(zhuǎn)換為其他形式的能量,如熱能。但總的能量(即機(jī)械能與其他形式的能量之和)仍然是守恒的,也就是說能量不會(huì)消失,也不能創(chuàng)造,只能從一種形式轉(zhuǎn)換為另一種形式,這是自然界的普遍規(guī)律———能量守恒定律。機(jī)械能守恒定理是能量守恒定律的一種特殊情況。

【例12-9】圖12-22所示的長為l,質(zhì)量為m的均質(zhì)直桿,初瞬時(shí)直立于光滑的桌面上。當(dāng)桿無初速度地傾倒后,求質(zhì)心的速度(用桿的傾角θ和質(zhì)心的位置表示)。

解以均質(zhì)桿為研究對(duì)象,作用于其上的力有重力mg,地面的支撐反力N。

因所有的力在水平方向的投影和等于零,即∑Fx=0,且初始瞬時(shí)質(zhì)心的速度vcx=0,故質(zhì)心的xc=常數(shù),即質(zhì)心C垂直下降。

由于光滑的接觸面是理想約束,僅有重力mg做功,故系統(tǒng)為保守系統(tǒng)。選地面為零勢能位置,初瞬時(shí)系統(tǒng)的機(jī)械能為

12.6動(dòng)力學(xué)普遍定理及綜合應(yīng)用

動(dòng)力學(xué)普遍定理包括動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理、動(dòng)能定理及由此推導(dǎo)出來的一些定理,這些定理建立了兩類量之間的關(guān)系,即建立了描述質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的特征量(動(dòng)量、動(dòng)量矩、動(dòng)能)與表示力的作用量(沖量、力矩、功)之間的關(guān)系。其中,動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理是矢量形式,而動(dòng)能定理是標(biāo)量形式。這些定理從不同側(cè)面對(duì)物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)進(jìn)行研究,而動(dòng)能定理還可研究其他形式的運(yùn)動(dòng)能量轉(zhuǎn)化問題。

動(dòng)力學(xué)普遍定理提供了解決動(dòng)力學(xué)問題的一般方法。掌握動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用,是建立在熟練掌握各個(gè)定理的含義及其應(yīng)用的基礎(chǔ)上的。普遍定理的綜合應(yīng)用,大體上包括兩方面的含義:一是能根據(jù)問題的已知條件和待求量(無論是已知運(yùn)動(dòng)求力,還是已知力求運(yùn)動(dòng)),選擇適當(dāng)?shù)亩ɡ?避開那些無關(guān)的未知量,直接求得所需的結(jié)果;二是對(duì)比較復(fù)雜的問題,如既求力也求運(yùn)動(dòng)量的問題,可根據(jù)需要選用兩、三個(gè)定理聯(lián)合求解。

【例12-10】在圖12-23所示的機(jī)構(gòu)中,重150N的均質(zhì)圓盤與重60N、長24cm的均質(zhì)桿AB在B處用鉸鏈連接。系統(tǒng)由圖示位置無初速度地釋放。求系統(tǒng)經(jīng)過最低位置B'點(diǎn)時(shí)的速度及支座A的約束反力。圖12-23

由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有

所以可知

【例12-11】長l=12m,質(zhì)量m=5kg的均質(zhì)桿OA可繞O軸自由轉(zhuǎn)動(dòng),連接A端的彈簧的剛度系數(shù)為k=70N/m,如圖12-24所示。當(dāng)OA