理論力學(xué)課件：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程9.1動(dòng)力學(xué)的基本定律9.2質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程及應(yīng)用思考題

9.1動(dòng)力學(xué)的基本定律

1.牛頓第一定律質(zhì)點(diǎn)如果不受力的作用,將保持原來靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。該定律也稱為慣性定律,質(zhì)點(diǎn)具有的保持原有狀態(tài)不變的屬性稱為慣性。該定律還表明若要改變物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),必須有力的作用,即力是改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因。

2.牛頓第二定律

質(zhì)點(diǎn)在力的作用下所獲得的加速度的大小與力的大小成正比,與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量成反比,方向與力的方向相同。用方程表示為

或

式(9-1)表明在作用力相同的情況下,質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量愈大,獲得的加速度愈小,慣性就愈大,反之亦然。質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣性的度量。

質(zhì)量是物體的固有屬性,質(zhì)量和重量是兩個(gè)不同的概念。質(zhì)量是物體慣性的度量,而重量只有在地球的引力場(chǎng)內(nèi)才有意義,它是指地球?qū)ξ矬w引力的大小。如果我們說一個(gè)物體的重量為P,它的重力加速度為g,由公式(9-1)有

在古典力學(xué)中,質(zhì)量被認(rèn)為是常量,與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)無關(guān),即使脫離了地球的引力場(chǎng),在重量不存在的情況下,質(zhì)量還是存在的。而且物體重量在不同的地域有不同的值,因?yàn)樵诓煌牡赜蛑亓铀俣仁遣煌?但一般取重力加速度g值為9.8m/s2。

在國(guó)際單位制(SI)中,長(zhǎng)度、質(zhì)量和時(shí)間是基本單位,分別取為m(米)、kg(千克)和s(秒);力的單位是導(dǎo)出單位。當(dāng)質(zhì)量為1kg的質(zhì)點(diǎn)獲得1m/s2的加速度時(shí),作用于該質(zhì)點(diǎn)上的力為

3.牛頓第三定律

兩個(gè)物體之間的作用力和反作用力總是大小相等,方向相反,沿同一條直線并且分別作用在兩個(gè)物體上。此定律也稱為作用與反作用定律,適用于靜止的物體,同樣也適用于運(yùn)動(dòng)的物體。

牛頓定理適用的參考系稱為慣性坐標(biāo)系。在一般工程問題中,將固定于地球表面的坐標(biāo)系或相對(duì)于地面做勻速直線運(yùn)動(dòng)(平移運(yùn)動(dòng))的坐標(biāo)系作為慣性坐標(biāo)系,可以得到符合實(shí)際的精確結(jié)果。在本書中,如無特別說明,均采用固定在地球表面坐標(biāo)系。

動(dòng)力學(xué)也稱古典力學(xué),只有當(dāng)所研究的宏觀物體的運(yùn)動(dòng)速度小于光速時(shí),古典力學(xué)才適用。一般工程問題中所研究的是宏觀物體的運(yùn)動(dòng),且要求物體的運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于光速。因此,應(yīng)用古典力學(xué)所得到的結(jié)果都是精確的。

9.2質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程及應(yīng)用

設(shè)質(zhì)點(diǎn)M的質(zhì)量為m,受n個(gè)力F1,F2,…,Fn作用。由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程式(9-1),有該式是矢量形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。

1.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的直角坐標(biāo)形式

取坐標(biāo)系Oxyz,如圖9-1所示。將式(9-3)分別向x,y,z軸投影,得圖9-1

2.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的自然坐標(biāo)形式

由運(yùn)動(dòng)學(xué)可知,點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡已知時(shí),用弧坐標(biāo)來描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)較為方便。設(shè)質(zhì)點(diǎn)做平面曲線運(yùn)動(dòng),相應(yīng)地把動(dòng)力學(xué)基本方程向質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的切線與法線方向投影,即可得到質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的自然坐標(biāo)形式:

3.質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問題

應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程,可以求解質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問題。

(1)已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),求作用于質(zhì)點(diǎn)的力。對(duì)于這類基本問題,只需對(duì)質(zhì)點(diǎn)已知的運(yùn)動(dòng)方程求兩次導(dǎo)數(shù),得到質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)加速度,代入質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程,即可求得作用力。

(2)已知作用于質(zhì)點(diǎn)的力,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。此類問題中,已知的作用力可能表現(xiàn)為多種形式,如常量、變量、時(shí)間、位置、速度的函數(shù)等。這類問題歸結(jié)為解運(yùn)動(dòng)微分方程問題,可用積分法求解。

【例9-1】如圖9-2所示,橋式起重機(jī)上跑車懸吊一重為W的重物,以速度v0做勻速直線運(yùn)動(dòng)。剎車后,重物的重心因慣性繞懸掛點(diǎn)O向前擺動(dòng),求鋼繩的最大拉力。

解由題意可知,該問題屬于動(dòng)力學(xué)第一類基本問題。

(1)選研究對(duì)象。取重物W為研究對(duì)象,畫受力圖如圖9-2所示。

(2)分析運(yùn)動(dòng)。剎車后,小車不動(dòng),但重物由于慣性,繼續(xù)繞點(diǎn)O擺動(dòng),即在以O(shè)為圓心,l為半徑的一段弧上運(yùn)動(dòng)。圖9-2

(3)列運(yùn)動(dòng)微分方程,求未知量。列出自然坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)微分方程:

因此可得到

事實(shí)上擺角φ愈大,重物的速度就愈小,拉力FT也愈小。因此當(dāng)φ=0時(shí),即剛開始剎車的瞬時(shí),鋼繩的拉力最大,這時(shí)重物的速度為v0。由此求得鋼繩最大的拉力為

(4)分析討論。剎車前,小車做勻速平動(dòng),重物處于平衡狀態(tài),故FT=W=mg。于是

即

【例9-2】曲柄連桿機(jī)構(gòu)如圖9-3所示。曲柄OA以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng),OA=r,AB=l,當(dāng)λ=r/l比較小時(shí),以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),滑塊B的運(yùn)動(dòng)方程可近似寫為

如滑塊的質(zhì)量為m,忽略摩擦及連桿AB的質(zhì)量,求當(dāng)φ=ωt的值分別為0和π/2時(shí),連桿AB所受的力。圖9-3

解該問題屬于動(dòng)力學(xué)第一類基本問題。以滑塊B為研究對(duì)象,當(dāng)φ=ωt時(shí),受力如圖9-3(b)所示?；瑝KB沿x軸的運(yùn)動(dòng)微分方程為

對(duì)滑塊B的運(yùn)動(dòng)方程求微分可得

【例9-3】如圖9-4所示,一物體重P,拋射角度為α,拋射初速度為v0,若不計(jì)空氣阻力,求物體的運(yùn)動(dòng)軌跡。圖9-4

解由題意可知,該問題屬于動(dòng)力學(xué)第二類基本問題。以拋射體為研究對(duì)象,它在被拋出后的全部運(yùn)動(dòng)過程中,僅受重力P的作用,如圖9-4所示。

由于運(yùn)動(dòng)軌跡未知,可列出圖9-4所示直角坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)微分方程:

對(duì)式(3)再積分,得

【例9-4】圖9-5所示為一圓錐擺。已知質(zhì)量m=0.1k的小球系于長(zhǎng)l=0.3m的繩上,繩的另一端系在固定點(diǎn)O,并g與鉛直線成β=60°角。如小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),求小球的速度v與繩的張力F的大小。

解這是一個(gè)既求作用力、也求運(yùn)動(dòng)的綜合問題。以小球?yàn)檠芯繉?duì)象,作用在其上的力有重力mg、繩的拉力F。圖9-5

思考題

91什么是質(zhì)量?質(zhì)量與重量在意義上有無區(qū)別?

92什么是慣性?是否任何物體都有慣性?怎樣比較兩質(zhì)點(diǎn)慣性的大小?

93質(zhì)點(diǎn)在空間運(yùn)動(dòng),已知作用力。為求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程需要幾個(gè)運(yùn)動(dòng)初始條件?若質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),需要幾個(gè)運(yùn)動(dòng)初始條件呢?若質(zhì)點(diǎn)沿給定的軌道運(yùn)動(dòng),又需要幾個(gè)呢?

94質(zhì)點(diǎn)受力已