數(shù)學山東實驗中學2022屆高三3月份診斷性訓練

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山東省實驗中學三月診斷訓練試題

數(shù)學試題2022.3

一、單項選擇題：本大題共8小題,每小題5分，共40分

X—4

1.已知集合么={》|二二<0},集合6={x[3Kx<5},則306=()

x-5

A.(3,5)B.[3,5)C.[4,5)D.(4,5)

[Io?

2z=--(aeR),若z為實數(shù)，則a的值為()

a+3i

A.|B.|C.|D.|

3..若非零向量兩萬滿足|而|=|萬I，則“|3而—2引=|2而+3萬|”是umlnn的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C,充要條件D,既不充分也不必要條件

4.2020年4月30日，我國的5G信號首次覆蓋了海拔超過8000米的珠穆朗瑪峰峰頂和北坡登山路線,

為了保證中國登山隊測量珠峰高程的順利直播，現(xiàn)從甲、乙、丙、丁這4名技術人員中隨機安排3

人分別去往北坡登山路線中標記為I、II、III的3個崎嶇路段進行信號檢測，若甲沒有安排去往標

記為】的崎嶇路段，則不同的安排方法共有（）

A.12種B.18種C.24種D.6種

2、-2T

5.函數(shù)y=c----------的圖象大致為（）

|x-COSX

6.2020年11月24日4時30分，長征五號途五運載火箭在我國文昌航天發(fā)射場成功發(fā)射，飛行約2200

秒后，順利將探月工程常娥五號探測器送人預定軌道，開啟我國首次地外天體采樣返回之旅.已知火箭的

最大速度v（單位:km/s）與燃料質量〃（單位：kg）、火箭質量m（單位：kg）的函數(shù)關系為

v=21nfl+^-j,若已知火箭的質共為3100kg,火箭的最大速度為11km/s,則火箭需要加注的燃料為

(參考數(shù)值為ln2?0.69;ln244.69?5.50,結果精確到0.01)()

1

A.243.69/B244.69/C755.44tD890.23t

22

7.如圖，已知尸為雙曲線C：「—4=1（〃>01>0）的右焦點，平行于x軸的直線/分別交。的漸近線

a~b~

和右支于點48,且NOAF=90。,NOBF=NOFB,則。的漸近線

程為（）

A.y-±^-xB.y—+^-xC.y=±xD.y=+y/2x

22

"x—7'>°,則函數(shù)y=/[/（x）+l]的零點個數(shù)是（）

8.已知函數(shù)/（x）=<

x2+2x,x<0

A.2B.3C.4D.5

二、多項選擇題：（本大題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分）

9.新冠肺炎疫情的發(fā)生，我國的三大產(chǎn)業(yè)均受到不同程度的影響，其中第三產(chǎn)業(yè)中的各個行業(yè)都面臨著

很大的營收壓力.2020年7月國家統(tǒng)計局發(fā)布了我國上半年國內經(jīng)濟數(shù)據(jù)，如圖所示：圖1為國內三大產(chǎn)

業(yè)比重，圖2為第三產(chǎn)業(yè)中各行業(yè)比重.以下關于我國上半年經(jīng)濟數(shù)據(jù)的說法正確的是（）

A.在第三產(chǎn)業(yè)不三戶生57%

中，“批發(fā)和田?

零售業(yè)”與“金融業(yè)”的生產(chǎn)總值之和同“其他服務業(yè)”的生產(chǎn)總值基本持平

B.若“租賃和商務服務業(yè)”生產(chǎn)總值為15000億元，則“房地產(chǎn)業(yè)”生產(chǎn)總值為40000億元

C.若“金融業(yè)”生產(chǎn)總值為42000億元，則第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值為262500億元

D.若“金融業(yè)”生產(chǎn)總值為42000億元，則第一產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值為45000億元

10.數(shù)列｛《,｝的前”項和為5"，若數(shù)列｛。,｝的各項按如下規(guī)律排列:

J_J_2j_23_l_234_1_2/7—1

二‘二'二'='-7'-7'二'二'二'二''''1'-——,???，以下說法正確的是（）

2334445555nnn

2

3

A-%4=石B.數(shù)列a{,a2+%,%+a5+<z6,a7+as+%+%0是等比數(shù)列;

o

+H

C.數(shù)列q,a,+%,%+%+%，%+4+。9+。10,…的前〃項和為T=-----；

4

D.若存在正整數(shù)左，使S*＜10,渠+金10,則4=：.

TTTT

n.已知點（二,0）是函數(shù)/（x）=2s山（0X-；）圖象的一個對稱中心，其中3為常數(shù)且。e（0,3）,則以下

63

結論正確的是（）

A.函數(shù)/（x）的最小正周期為27r

B,將/（x）的圖象向右平移卷個單位所得的圖象關于y軸對稱

C.函數(shù)/（x）在［0,m上的最小值為一百D.若、＜玉＜X2〈萬，則/?）＞/（》2）

C7MY+1

12.已知函數(shù)/（x）=——,則下列結論正確的是（）

e

A.函數(shù)/（x）在（0,兀）上單調遞減B.函數(shù)/（工）在（一兀,0）上有極小值

C.方程/（幻=；在（一肛0）上只有一個實根

D.方程/（x）=工+也竺在（-.°）u（。彳）上有兩個實根

exzz

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13.曲線^二2x三—1」在點（-1,一3）處的切線方程為________.

x+2

14.若拋物線/=2Px（p＞0）上的點/（%,—3）到其焦點的距離是A到v軸距離的2倍，則p等于

15.若（x2-一六）”的展開式中第5項為常數(shù)項，則該常數(shù)項為..（用數(shù)字表示）.

16.矩形46。。中，AB=6，BC=1,現(xiàn)將A4C。沿對角線AC向上翻折，得到四面體0—Z6C,

則該四面體外接球的表面積為；若翻折過程中8。的長度在［2,以勺范圍內變化，則點。的運

動軌跡的長度是.

四.解答題（本大題共6小題，共70.0分）

17.（本小題10分）在△Z8C中，內角48,。的對邊分別為c,已知asin8=6sin1/-g

（1）求N；

（2）。是線段上的點，若AD=BD=2,CD=3,求A4DC的面積.

3

18.(本小題12分)已知數(shù)列｛4｝中，q=l,〉0,前〃項和為S,，若為=后+琳='，(neN：

且心2).

(I)求數(shù)列｛g｝的通項公式；(II)記c“=%-2%,求數(shù)列｛%｝的前〃項和7；.

19.(本小題12分)如圖，在四棱錐尸一Z8CD中，底面Z8CQ為正方形，R41.底面Z8CD,尸4=/8,

￡為線段P8的中點，尸為線段上的動點.

(1)求證：平面/￡戶，平面P8C.

(2)試確定點尸的位置，使平面ZEE與平面PC。所成的銳二面角為

30°.

20.(本小題12分)某學校的自主招生考試中有一種多項選擇題，每題設置了四個選項ABCD,其中至

少兩項、至多三項是符合題目要求的.在每題中，如果考生全部選對得5分，有選錯的得0分，部

分選對的得2分.小明同學參加考試時遇到一道這樣的多選題，他沒有能力判斷每個選項正確與否,

只能瞎猜.假設對于每個選項，正確或者錯誤的概率均為』.

2

(1)寫出正確選項的所有可能情況；如果小明隨便選2個或3個選項，求出小明這道題能得5分的

概率；

(2)從這道題得分的數(shù)學期望來看，小明應該只選一個選項？還是兩個選項？還是三個選項？

21.(本小題12分)已知離心率為"的橢圓E:：+==1(a>b〉0)過點M(2,l).

2ab~

(1)求橢圓￡的標準方程；

(2)已知橢圓￡的內接四邊形力5c。的對角線5。交于點尸(1,1),且"=2定，BP=2PD,

求直線力夕的斜率.

22.(本小題12分)已知函數(shù)/(x)=lnx-x+2sinx.

(1)證明：/(x)在區(qū)間(0,^)存在唯一的極值點;

(2)試討論/(x)的零點個數(shù).

4

山東省實驗中學三月診斷訓練試題答案

一、二選擇題

123456789101112

DDCBACCDACACDBCABD

三、填空題:

13>5x-y+2=014、315、_J516、4n；空:

12

四、解答題:

,..,f1..[

bsinA=b12—sinA---2-cosAJ

17解析：（1）由正弦定理得asmB=8sinR.則

-sinA=-^-cosA

化簡得：222分

.27r

J—A—__

即tan工=-73,：工6（0,開），則3

4分

（天、

（2）設

27r7T

ZBAD=0,ZADC=20,ADAC=—-d,ZACD=--0

由題意得:335分

32

CDADsin（逐一e]sin

I3）130

在△工DC中，smZDACsinZACD,則6分

,32

^3~~-1.q八1八

—cos8+—sin8忑cosd一—sindsin6=—cos&

2222,得57分

誣”叵,c。包包

結合sin?d+cos?6=1,可得

14148分

sin20=2sin6cos&=，第,

則149分

S4皿J/DCDsin乙4DC」x2x3x型=&1

AQC221414

10分

18.解析：（1）在數(shù)列｛怎＞中，％=$久-凡-15＞2）,

①

%=+瓦T②且怎＞°,.?.①式+②式得：S一返二=1（?2）

1分

5

所以數(shù)列｛￡｝是以J豆=J[=l為首項，公差為1的等差數(shù)列，……2分

=[+(閥-1)=4：W+1=閥？........3分

當萬>2時，4=S*_g_i=%?—(％—I)?=2萬一1,..........4分

當？i=l時，生=1,也滿足上式，........5分

所以數(shù)列的通項公式為4=2%-1...........6分

(2)由(1)知，%=2忽-1,:.C*=(2"1).2*1,

則北=1?2+323+5-25+…+(2%—3)-22I+(2%-I).22*T①…7分

47；=1-23+3-23+5-27+--+(2?-3).22"-1+(2?-1)-22K+1②…&分

①—②俎-37；=2+2(23+25+??-+22*-1)-(2?-1)22s+1。八

，1寸?***yyj

-2+2-1-4、'3U).……]]分

.(6?-5)-22,!+1+10

:.=--------------------------

9..........12分

19.【解析】解法一：(1)因為P4_L底面力58,BCu平面，5s,

所以24_LEC.1分

因為3C7?為正方形，所以3_L3C,

又因為R4n工8=所以3C_L平面為8.2分

因為至u平面H48,所以/S_LBC.3分

因為取=43,與為線段產(chǎn)8的中點，所以絲_L%,4分

又因為產(chǎn)8nHe=3,所以原JL平面產(chǎn)8c.5分

又因為平面力EF,所以平面至F_L平面產(chǎn)3c.6分

,..

(2)因為FN_L底面MS,ABLAD,以上為坐標原點，分別以.，皿，上產(chǎn)的方向為x軸，沙軸,

z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系工一物,

設正方形工BCD的邊長為2,則用0,0,0)乃(2,0,0),C(2,2,0),少(0,2,0),嚴(0,0,2),￡(1,0,1),

7分

,?,，，?

所以花=Q0,1),比=(2,2,-2),如=(0,2,-2)

設點F的坐標為(2，％°)(°＜以＜2),所以4尸=(2,40).設友=為平面頂1的法向量，

6

m-PC=0,JXj+y2-z2=0,

則［%尸￡）=0,所以［乃-22=0,

取力=1,則活=（0/」）.................io分

因為平面3?與平面尸⑵所成的銳二面角為30°,

18s30標三N-口+勾一下

..J.而—互以2+4,、

所以"I,11分

解得兄=1,故當點尸為aC中點時，平面形尸與平面尸⑵所成的銳二面角為30。......12分

20【解析】（1）依題意，對于這道多選題，可能的正確答案AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD共有

種,…........2分

且這10種正確答案是等可能的.記事件A為“小明這道題隨便選2個或3個選項能得5分”，根據(jù)古典

產(chǎn)⑷=—

概型的概率計算公式，有104分

（2）如果小明只選一個選項，那么他這道題的得分X的所有可能取值為0和2,且

nJ+C239

F(X=2)==-P(X=6=1一產(chǎn)(星=2)=|

故X的分布列為

￡（^）=0x-+2x-=-

X的數(shù)學期望為555........................................6分

如果小明只選兩個選項，那么他這道題的得分y的所有可能取值為0,2,5,且

1cli7

尸（y=5）=Rp（y=2）=-^=-p（r=o）=i-p（y=2）-p（r=5）=-

，，

故y的分布列為

7

y的數(shù)學期望為io510io.................................................9分

如果小明只選三個選項，那么他這道題的得分z的所有可能取值為o和5,且

19

尸（Z=5）=已P（Z=0）=l-P（Z=5）=^

故z的分布列為E

06)

911

￡(Z)=0x—+5X-!-=1

Z的數(shù)學期望為10102...........................................................11分因為

下（幻＞“（y）＞￡（z）,所以從這道題得分的數(shù)學期望來看，小明應該只選一個選

項..........................................................................12分

/22

------2-----=—a=Ab

21【解析】（1）依題意，a2.............................................1分

22I21

____|_____]

又"（2,1）在橢圓￡上，有L1,所以02=8,/=2............................3分

因此，橢圓E的標準方程為§2?.......................................................4分

一d3r,3-必]

⑵設點上（々，珀，如”2）,則由Q=2記可得〔2'2J.........5分

f2

--~r—-=1,

,82

’（3-再）

'Did

由力、。因此兩點在橢圓上，有

E1826分

3—,3（2h-3）一

兩式相減得82,即2々+8萬-7=°........................&分

同理可得芥供

22+82-7=0...............................................................................10分

_2

因此，直線45的方程為2*+81y-7=°,進而可得直線力8的斜率為4.……12分

8

...=--l+2cosx

22【解析】（1）函數(shù)J的定義域為B，+8）,導函數(shù)為x.……1分

0<x<—/"(x)=--y-2sinx<0、0,^|

當2時，x，所以在I2/單調遞減......2分

又因為

-嗚X。嗚蜀

根據(jù)函數(shù)零點存在定理，J在區(qū)間I2/有且只有一個零點U2.）.......3分

（三

當°<x</時，/⑶>0.當x>/時，/'（X）<0.因此，“X）在（0,x（））單調遞增，在1°,2

單調遞減，故/（X）在區(qū)間I2J存在唯一的極值點”一%........4分

f、1g,W=--i

(2)令g(x)=lnx—x,則x當0<彳<1時，g'（x）>°；當了>1時，g3<0因

此，g0）在（0，1）單調遞增，在（1，池單調遞減...................5分

型>4

由于/(x)=g(x)+2sinx?g(x)+2，且當x>4時，S(^)<g⑵=岳4一4<一2,故當?

時，〃x）<0,從而"x）在區(qū)間

冗3冗

—<x<—

當22時，cosx<0,

.冗冗八八，，3冗1

/

冗3冗

點9分

△兀71

U<x<一//\/Q\

當2時，由（1）知」（x）在（U,而）單調遞增，在2單調遞減,又

-+l<g(l)+l=O,/(x)>/

/6MSo即。

9

丁(月在區(qū)間(，5)有且只有一個零點電1石，°

根據(jù)函數(shù)零點存在定理,11分

綜上所述，/(X)有且只有2個零點........................................12分

/M、(M\M

6.因為v=21n1+—，所以ll=21n1+——，所以1+——=e$5,所以

Im)I3100J3100

M=3100(戶一1卜3100x243.69=755439(kg厚755.44(t).故選C.

又點在雙曲線C上，所以

丁一［=1,將”=她代入，設反…),則由rL得.皆可

a-b-C

y-n

得m-=

c*

設直線OA,.4F的斜率分別為ko.A.k"

XZOBF=ZOFB,所以08=0尸

MF=90

所以=L因為〃。，

所以0F，兒”=一1,

nb

化簡得"

即ana,c2=aJ+6J

所以“fT~c

所以雙曲線C的漸近線方程為《/=士丁省ab

ifn=—

Inx+l,x>0

8.【答案】D令Z=〃x)+1=,x

(x+l)\x<0

①當Z>0時，/(z)=ln￡-l,則函數(shù)/?)在(0,+8)上單調遞增,

由于/(1)=一1<0,/(2)=ln2-1>0,由零點存在定理可知，存在4e(1,2),

使得了G)=o；

②當ZS0時，/(/)=?+2/,由/1)=/+2￡=0,解得與=-2,^=0.

作出函數(shù)￡=〃力+1，直線￡=小』-2、2=0的圖象如下圖所示：

由圖象可知，直線￡=4與函數(shù)￡=/(力+1的圖象有兩個交點；

線2=0與函數(shù)￡=〃力+1的圖象有兩個交點；線￡=—2與函數(shù)￡=/(力+1的圖象有且只有一個交點.

綜上所述，函數(shù)y=/［/(q+1］的零點個數(shù)為5.故選：D.

10

9【解析】解：對于選項4在第三產(chǎn)業(yè)中，”批發(fā)和零售業(yè)”與“金融業(yè)”的

生產(chǎn)總值之和所占比為16%+16%=32%,，，其他服務業(yè)，，的生產(chǎn)總值占比32%,

所以“批發(fā)和零售業(yè)”與“金融業(yè)”的生產(chǎn)總值之和同“其他服務業(yè)”的生產(chǎn)總

值基本持平，故選項4正確，

對于選項5：若“租賃和商務服務業(yè)”生產(chǎn)總值為15000億元，因為“租賃和商

-=250000

務服務業(yè)”生產(chǎn)總值占比6%,所以第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值為‘％億元,

又因為“房地產(chǎn)業(yè)”生產(chǎn)總值占比13%,所以“房地產(chǎn)業(yè)”生產(chǎn)總值為13%X250000=3250%乙元，故

選項5錯誤，

對于選項C：若“金融業(yè)”生產(chǎn)總值為42000億元，因為“金融業(yè)”生產(chǎn)總值占比16%,所以第三產(chǎn)業(yè)生

噌=26250。

產(chǎn)總值為億元，故選項C正確,

對于選項〃：若“金融業(yè)”生產(chǎn)總值為42000億元，因為“金融業(yè)”生產(chǎn)總值占比16%,所以第三產(chǎn)業(yè)生

空^=26250。

產(chǎn)總值為16%億元，又因為第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值占比57%,第一產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值占比6%,所以第

當著x6%冬27631

一產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值為S7族億元，所以選項。錯誤

(1,0)f(x)=2sln(a)x--)

11【解析】解：因為點6是函數(shù)3圖象的一個對稱中心，

/,(-)=02sm@x三一三)=0

所以6，即63,解得3=2+6心土€2,又因為3€(0,3),所以3=2.

T=-=-=./-(x)=2sin(2x--)-

n3

4最小正周期為32故錯誤.B向右平移修個單位得函數(shù)g(x)=2cos2x,

xe[0-y]2x-je[-py-]

以(勸y關于N軸對稱，故正確.C當2時，333,

sin(2x-^)e[-^-41「后一,、[°弓]6

所以32所以ra)e[-V5,2],所以函數(shù)/(X)在2上的最小值為一VI故正確.〃

_zirIlir、_nr2ff3tr-zllir2nr、汽it_r2rr-.

當%￡（彳2，71T2）時，2x--363,—2],〃幻單調遞減，當123時，--36[-z3->37r],/（幻單調遞增,

-<Xi<%2<

所以2，則〃/)>/(打)，故錯誤.故選：BC.

11

sinx+1、cax-sinr-l

f(x)=,所以小)二「^

12【解析】解：因為

sin(x+巧>]

當f(x)>0,upcosx-sinx-1>0,所以>2

2IOT+^-<X+^.<2kn+—,_2kn-^<x<2kir

所以44)kcZ,所以2,keZ,

,_-3<%<0^<x<2n

當"0時，2,當k=i時，2

sinfx4_3T

當f'(x)<0,即cosx—sinx