機(jī)器人技術(shù)第3講

§2-8桿件坐標(biāo)系的建立1手部姿態(tài)和位置的表示手部姿態(tài)可用3×3矩陣表示：圖中，定義為接近矢量，定義為姿態(tài)矢量，定義為法向矢量

手部的位置可以用從基準(zhǔn)參考系原點(diǎn)指向手部中心的矢量來表示

2024/1/311§2-8桿件坐標(biāo)系的建立手部的位姿可以用4X4矩陣表示

2確定桿系的D－H法

機(jī)器人運(yùn)動學(xué)的重點(diǎn)是研究手部的位姿和運(yùn)動，而手部位姿是與機(jī)器人各桿件的尺寸、運(yùn)動副類型及桿間的相互關(guān)系直接相關(guān)連的，因此要研究手部相對于機(jī)座的幾何關(guān)系，必須先分析兩相鄰桿件的相互關(guān)系，為此要先確定桿件坐標(biāo)系。2024/1/312§2-8桿件坐標(biāo)系的建立任何一個連桿，如圖中的連桿n，兩端有關(guān)節(jié)n和n＋l，該連桿可以用兩個量來描述，一個是兩個關(guān)節(jié)軸線沿公垂線的距離an，稱作連桿長度，另一個是在垂直于an的平面內(nèi)兩個軸線的夾角，稱之為連桿扭角。這兩個參數(shù)為連桿本身的參數(shù)。

2確定桿系的D－H法2024/1/313§2-8桿件坐標(biāo)系的建立考慮桿n與其相鄰連桿n－1的關(guān)系，它們通過關(guān)節(jié)n相連，其相對位置可用兩個參數(shù)dn和來確定，其中dn是沿關(guān)節(jié)n的軸線兩個公垂線的距離，是垂直于關(guān)節(jié)n軸線的平面內(nèi)兩個公垂線的夾角。這是表達(dá)相鄰桿件相互關(guān)系的兩個參數(shù)。2確定桿系的D－H法2024/1/314§2-8桿件坐標(biāo)系的建立建立桿件坐標(biāo)系按Denavit－Hartenberg的方法，n系的坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在關(guān)節(jié)n的軸線和關(guān)節(jié)n＋1的軸線的公垂線與關(guān)節(jié)n＋l的軸線相交之處，n系的Z軸與關(guān)節(jié)n＋1的軸線重合，X與上述公垂線重合，且方向從關(guān)節(jié)n指向關(guān)節(jié)n＋l。當(dāng)關(guān)節(jié)是轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)時，成為關(guān)節(jié)變量，若關(guān)節(jié)為移動關(guān)節(jié)，dn成為關(guān)節(jié)變量。當(dāng)n－1系的Xn－1軸與n系的X軸平行且方向相同時，定義。簡言之，按D－H法確定桿件坐標(biāo)系，可取坐標(biāo)系n的Z軸與關(guān)節(jié)n＋l的軸線重合，

X軸取為相鄰Z軸的公垂線，Y軸則按右手系確定。

2024/1/315§2-8桿件坐標(biāo)系的建立3．桿件坐標(biāo)系之間的變換矩陣在用D－H法建立了各桿件坐標(biāo)系后，n-1系與n系間的變換關(guān)系可以用坐標(biāo)系的平移、旋轉(zhuǎn)來實(shí)現(xiàn)?？紤]從n-1系到n系的變換，可先令n-1系繞Zn－1軸旋轉(zhuǎn)角，再沿Zn－1軸平移dn，然后沿Xn軸移動an，最后繞Xn軸旋轉(zhuǎn)角，使n-1系與n系重合。用變換矩陣表示，則有2024/1/316§2-8桿件坐標(biāo)系的建立

（2－40）在很多機(jī)器人設(shè)計時，或90度，dn＝0或an＝0，從而可以簡化矩陣計算和控制2024/1/317§2-9正向運(yùn)動學(xué)正向運(yùn)動學(xué)主要解決機(jī)器人運(yùn)動方程的建立及手部位姿的求解問題。

機(jī)器人機(jī)構(gòu)可以認(rèn)為是一系列桿件由關(guān)節(jié)連接起來，我們把描述一個桿件與下一個桿件之間關(guān)系的齊次變換陣記為A陣，A1描述第一個桿系相對于固定系的位姿，A2描述第二個桿系相對于第一個桿系的位姿，而第二個桿系相對于固定系的位姿可用A1A2表示，令其等于T2，即T2＝A1A2，第三個桿系對固定系有T3＝A1A2A3，如此類推，對六桿機(jī)器人，有T6＝A1A2A3A4A5A6，這里T6表示了手部的位姿，而方程（2－41）表示了從固定系到手部的各坐標(biāo)系之間的變換矩陣與手部位姿的關(guān)系，我們稱之為機(jī)器人的運(yùn)動方程

2024/1/318§2-9正向運(yùn)動學(xué)

(2-41)

(2-42)2024/1/319§2-9正向運(yùn)動學(xué)1斯坦福機(jī)器人的運(yùn)動方程斯坦福機(jī)器人是6自由度RRPRRR型機(jī)器人，其外形如下圖所示，首先建立各桿件坐標(biāo)系，注意各系Z軸沿轉(zhuǎn)動軸線的方向，X軸沿公垂線方向，n系的原點(diǎn)設(shè)在n軸n＋1軸公垂線與n＋1軸交點(diǎn)處，O系的位置可任選，各桿參數(shù)見表2－1，各桿系見圖2－17?，F(xiàn)在根據(jù)各桿系的關(guān)系寫出A陣。

2024/1/31102024/1/3111§2-5正向運(yùn)動學(xué)2024/1/3112§2-9正向運(yùn)動學(xué)1系與0系為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，見圖a

(2-43)2系與1系為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，桿長為d2，見圖b

(2-44)2024/1/3113§2-9正向運(yùn)動學(xué)3系與2系為移動關(guān)節(jié)，移動行程為d3，見圖c

(2-45)4系與3系為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，見圖d

(2-46)2024/1/3114§2-9正向運(yùn)動學(xué)5系與4系為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，見圖e

(2-47)6系與5系為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，見圖f

(2-48)A全部建立，要知道非相鄰桿件之間的關(guān)系，就用相應(yīng)的A陣連乘即可2024/1/3115§2-9正向運(yùn)動學(xué)以上方程均為和d的函數(shù)，當(dāng)和d給出后，即可計算出手部的位置和方向這些值就是手部位姿的解。這個求解過程就是正向求解或直接求解

（2-49）2024/1/3116§2-9正向運(yùn)動學(xué)肘狀機(jī)器人的運(yùn)動方程6R肘狀機(jī)器人的外形如圖所示，按D—H法建立桿系，可以直接寫出各A陣2024/1/3117§2-9正向運(yùn)動學(xué)

(2-50)

(2-51)2024/1/3118§2-9正向運(yùn)動學(xué)

(2-52)

(2-53)2024/1/3119§2-9正向運(yùn)動學(xué)

(2-54)

(2-55)2024/1/3120§2-9正向運(yùn)動學(xué)

反映手部與固定系關(guān)系的運(yùn)動方程為：

(2-56)

以上從固定系出發(fā)，通過桿件尺寸及相互位置關(guān)系，逐一確定各桿件位姿，最后求取手部位姿，這就是機(jī)器人的正向運(yùn)動學(xué)求解2024/1/3121§2-10反向運(yùn)動學(xué)

已知、d求出手部位姿，這一求解過程比較容易，將各變量代入運(yùn)動方程即可得出。在機(jī)器人控制和軌跡規(guī)劃中，問題正好相反，即已知手部要達(dá)到的空間位姿的情況下，如何求關(guān)節(jié)變量，以驅(qū)動各關(guān)節(jié)的馬達(dá)，使手部的位姿得到滿足，這就是逆運(yùn)動學(xué)問題，也稱間接位置求解問題。

1歐拉變換的解

已知?dú)W拉變換方程：其反向求解就是已知T中的各元素，求出

(2-57)

以上方程最簡單的辦法就是兩邊展開，對應(yīng)元素相等，即可求出歐拉角2024/1/3122§2-10反向運(yùn)動學(xué)

(2-58)

(2-59)

(2-60)

(2-61)

(2-62)

(2-63)2024/1/3123§2-10反向運(yùn)動學(xué)

(2-64)

(2-65)

(2-66)

(2-67)

(2-68)

(2-69)

(2-70)在機(jī)器人運(yùn)動學(xué)中，不用反余弦而用反正切求關(guān)節(jié)角，因其可唯一確定

2024/1/3124§2-10反向運(yùn)動學(xué)對歐拉方程左乘

(2-71)上式左邊為和T的函數(shù)，只要找到右邊等于0或常數(shù)的元素，令與左邊對應(yīng)項(xiàng)相等，即可得出相應(yīng)的解，對上式展開

(2-72)2024/1/3125§2-10反向運(yùn)動學(xué)取相應(yīng)項(xiàng)相等，有

(2-73)

(2-74)當(dāng)ax、ay皆為零時，手部在x、y方向無分量，為向上或向下狀態(tài)，此時令

(2-75)2024/1/3126§2-10反向運(yùn)動學(xué)

(2-76)

(2-77)

(2-78)

(2-79)

(2-80)

(2-81)2024/1/3127§2-10反向運(yùn)動學(xué)

2RPY變換的解RPY變換方程為：

(2-82)

(2-83)

(2-84)2024/1/3128§2-10反向運(yùn)動學(xué)

2RPY變換的解

(2-85)

(2-86)

(2-87)2024/1/3129§2-10反向運(yùn)動學(xué)

3Sph變換的解

對球坐標(biāo)變換，有方程

(2-88)

(2-89)

(2-90)2024/1/3130§2-10反向運(yùn)動學(xué)

3Sph變換的解

(2-91)

(2-92)2024/1/3131§2-10反向運(yùn)動學(xué)

為了求r，對（2－90）左乘展開后可得r

(2-93)

這樣就將、、r全部求出

2024/1/3132§2-10反向運(yùn)動學(xué)斯坦福機(jī)器人的反向求解

斯坦福機(jī)器人的運(yùn)動方程為：

(2-94)已知手部位姿T6及各桿件的結(jié)構(gòu)參數(shù)a，d，求

(2-95)2024/1/3133§2-10反向運(yùn)動學(xué)斯坦福機(jī)器人的反向求解

(2-96)2024/1/3134§2-10反向運(yùn)動學(xué)斯坦福機(jī)器人的反向求解

(2-97)（2－97）變?yōu)?024/1/3135§2-10反向運(yùn)動學(xué)斯坦