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南通市2023屆高三第二次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)模擬試題參考答案選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.1.B
2.B
3.A
4.B
5.B
6.B
7.B
8.C
二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.9.ACD
10.ABD
11.ABC
12.BCD
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.
14.
15.
16.
四、解答題:本題共6小題,共70分.解:證明:,D為AC中點(diǎn),,
又是等邊三角形,,,
,BD,平面PDB,平面PDB,
平面PAC,平面平面PDB;
是等邊三角形,,的面積為,
設(shè)三棱錐的底面ABC上的高為h,則,解得,
為等腰直角三角形,,,,,
作交于O,則,,
又,是DB的中點(diǎn),
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB所在直線為x軸,在平面ABC中過(guò)O作BD的垂線為y軸,
OP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
,,,,
,
設(shè)是平面PAB的一個(gè)法向量,則,取,得,
設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量,
則,取,得,
,
故二面角的正弦值為
18.解:,,
又,數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,
從而,則
證明:,
設(shè),則,
兩式相減得,
從而,故
19.解:可取0,1,2;Y可取0,1,2,
則,,,
,,,
,
故的聯(lián)合分布列為:
當(dāng)時(shí),,
于是,
因此,
設(shè)Z服從二項(xiàng)分布,則
20.證明:由正弦定理,所以,由余弦定理可得,,所以由已知可得,即,因?yàn)?,所以;由已知得,,又由正弦定理可得,,因?yàn)?,所以,由知,,則,又由正弦定理可得,,又,則,將以及代入可得,,整理可得,,因?yàn)?,,所以,則,令,則,,則,當(dāng)時(shí),恒成立,所以在上單調(diào)遞減.所以,即綜上所述,解:由題意得,,,解得,,所以橢圓E的方程為
由題意得,,顯然l的斜率不為0,
設(shè)直線l的方程為,,,
聯(lián)立,消x整理得,
,,,
由題意知,M,N不在x軸上,則分別作E在點(diǎn)M,N上的兩條切線的斜率存在,
聯(lián)立過(guò)M,N的切線方程,整理得
相減可得,即,
化簡(jiǎn)可得,代入,可得,故
設(shè)MN的中點(diǎn)為,則,,故,
因?yàn)?,,所以,所以O(shè),Q,P三點(diǎn)共線,
又過(guò)作平行于l的直線分別交PM,PN于A,B,易得∽,
取AB中點(diǎn)R,根據(jù)三角形的性質(zhì)有R,O,Q,P四點(diǎn)共線,
結(jié)合橢圓的對(duì)稱(chēng)性有,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以解:定義域?yàn)?,的?dǎo)函數(shù),
當(dāng)時(shí),,故在單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),由得:由得
于是在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,
綜上,當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
是上的幾何上凸函數(shù),證明如下:
由可知,當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
故,故為連續(xù)正值函數(shù),
由于,,
要證是上的幾何上凸函數(shù).
需證,即證,
,
則
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