中考初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)鞏固復(fù)習(xí)（八）三角形

中考初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)鞏固復(fù)習(xí)專題(A)三角形

【知識要點】

知識點1三角形的邊、角關(guān)系

①三角形任何兩邊之和大于第三邊；

②三角形任何兩邊之差小于第三邊；

③三角形三個內(nèi)角的和等于180°；

④三角形三個外角的和等于360°；

⑤三角形一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；

⑥三角形一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。

知識點2三角形的主要線段和外心、內(nèi)心

①三角形的角平分線、中線、高；

②三角形三邊的垂直平分線交于一點，這個點叫做三角形的外心，三角形的外心到各頂

點的距離相等；

③三角形的三條角平分線交于一點，這個點叫做三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心到三邊的

距離相等；

④連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線,三角形的中位線平行于第三邊且等

于第三邊的一半。

知識點3等腰三角形

等腰三角形的識別：

①有兩邊相等的三角形是等腰三角形；

②有兩角相等的三角形是等腰三角形(等角對等邊)；

③三邊相等的三角形是等邊三角形；

④三個角都相等的三角形是等邊三角形；

⑤有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

等腰三角形的性質(zhì)：

①等邊對等角；

②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合；

③等腰三角形是軸對稱圖形，底邊的中垂線是它的對稱軸；

④等邊三角形的三個內(nèi)角都等于60°。

知識點4直角三角形

直角三角形的識別：

①有一個角等于90°的三角形是直角三角形；

②有兩個角互余的三角形是直角三角形；

③勾股定理的逆定理：如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角

形是直角三角形。

直角三角形的性質(zhì)：

①直角三角形的兩個銳角互余；

②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；

③勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜動的平方。

知識點5全等三角形

定義、判定、性質(zhì)

知識點6相似三角形

‘定義

柏山一仔中［兩對應(yīng)邊的比相等，夾角相等

相似二角形判定方法兩個對應(yīng)角相等

三條對應(yīng)邊的比相等

對應(yīng)邊的比

相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)高的比等于相似比

周長比

面積比=相似比平方

知識點7銳角三角函數(shù)與解直角三角形

?正弦，sina=cos(90-a)

|銳《三角函數(shù)而卜

tana=公。帆90-a)

------“特殊角三角函數(shù)I

p|三邊關(guān)系|

I解直角三角形常用關(guān)系I—-I兩銳角關(guān)系I

-I邊與―關(guān)系

'轉(zhuǎn)化——直角三角形

問題.［視角

常用術(shù)語坡度

方位角

、I

【復(fù)習(xí)點撥】

（1）掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有關(guān)概念。

（2）利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知識進行計算、解答有關(guān)綜合題。

（3）培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、及分類討論的數(shù)學(xué)思想的能力

【典例解析】

例題1：（2017重慶B）已知△ABCs/\DEF,且相似比為1：2,則aABC與ADEF的面積比為

（）

A.1：4B.4：1C.1：2D.2：1

【分析】利用相似三角形面積之比等于相似比的平方計算即可.

【解答】解：?.?△ABCMDEF,且相似比為1：2,

.二△ABC與4DEF的面積比為1：4,

故選A

【點評】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

例題2：（2017山東棗莊）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,以頂點A為圓心，適當(dāng)長為半

徑畫弧，分別交AC,AB于點M,N,再分別以點M,N為圓心，大于EMN的長為半徑畫弧，

兩弧交于點P,作射線AP交邊BC于點D,若CD=4,AB=15,則4ABD的面積是（）

A.15B.30C.45D.60

【考點】KF：角平分線的性質(zhì).

【分析】判斷出AP是/BAC的平分線，過點D作DE_LAB于E,根據(jù)角平分線上的點到角的

兩邊距離相等可得DE=CD,然后根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可得解.

【解答】解：由題意得AP是/BAC的平分線，過點D作DELAB于E,

又：NC=90°,

.?.DE=CD,

.「△ABD的面積,AB,DE」X]5X4=30.

22

例題3：（2017山東棗莊）如圖，在aABC中，ZA=78°,AB=4,AC=6,將AABC沿圖示中的

虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對各選項進行逐一判定即可.

【解答】解：A、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項

錯誤；

B、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤；

C、兩三角形的對應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相似，故本選項正確.

D、兩三角形對應(yīng)邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤；

故選C.

例題4：（2017甘肅張掖）如圖，已知aABC,請用圓規(guī)和直尺作出4ABC的一條中位線EF

（不寫作法，保留作圖痕跡）.

5*---------------------------C

【考點】N3：作圖一復(fù)雜作圖；KX：三角形中位線定理.

【分析】作線段AB的垂直平分線得到AB的中點E,作AC的垂直平分線得到線段AC的中點

F.線段EF即為所求.

【解答】解：如圖，aABC的一條中位線EF如圖所示，

方法:作線段AB的垂直平分線得到AB的中點E,作AC的垂直平分線得到線段AC的中點F.線

段EF即為所求.

例題5：（2017張家界）位于張家界核心景區(qū)的賀龍銅像，是我國近百年來最大的銅像.銅

像由像體AD和底座CD兩部分組成.如圖，在RtZsABC中，ZABC=70.5°,在RtADBC中，

ZDBC=45°,且CD=2.3米,求像體AD的高度（最后結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin70.5°

?0,943,cos70.5°g0.334,tan70.5°七2.824）

【考點】T8：解直角三角形的應(yīng)用.

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出BC的長，再利用tan70.5°=莫?求出答案.

【解答】解：；在RtADBC中，ZDBC=45°，且CD=2.3米,

BC=2.3m,

;在RtaABC中,ZABC=70.5°,

AC_AD+2.3

tan70.5°%2.824,

BC2.3

解得：A以4.2,

答:像體AD的高度約為4.2m.

例題6：（2017?新疆）如圖，在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,對角線AC,BD相交于點

O,下列結(jié)論中：

?ZABC=ZADC；

②AC與BD相互平分；

③AC,BD分別平分四邊形ABCD的兩組對角；

④四邊形ABCD的面積S=-^-AC?BD.

正確的是①④（填寫所有正確結(jié)論的序號）

【考點】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；KG：線段垂直平分線的性質(zhì).

【分析】①證明aABC絲ZSADC,可作判斷；

②③由于AB與BC不一定相等，則可知此兩個選項不一定正確；

④根據(jù)面積和求四邊形的面積即可.

【解答】解：①在^ABC和aADC中，

，AB=AD

??:BC=CD,

AC=AC

.".△ABC^AADC（SSS）,

AZABC=ZADC,

故①結(jié)論正確；

②?..△ABC絲"DC,

AZBAC=ZDAC,

VAB=AD,

，OB=OD,AC±BD,

而AB與BC不一定相等，所以AO與OC不一定相等，

故②結(jié)論不正確；

③由②可知：AC平分四邊形ABCD的/BAD、ZBCD,

而AB與BC不一定相等，所以BD不一定平分四邊形ABCD的對角；

故③結(jié)論不正確；

@VAC±BD,

???四邊形ABCD的面積S=SAABD+SABCD=*BD*AO+-^BD?CO=^BD?(AO+CO)=[AC?BD.

故④結(jié)論正確；

所以正確的有：①④；

故答案為：①④.

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定

方法是解題的關(guān)鍵，第1問可以利用等邊對等角，由等量加等量和相等來解決.

例題7：(2017重慶B)如圖，AABC中，ZACB=90°,AC=BC,點E是AC上一點，連接BE.

(1)如圖1,若AB=4我，BE=5,求AE的長；

(2)如圖2,點D是線段BE延長線上一點，過點A作AF1BD于點F,連接CD、CF,當(dāng)AF=DF

時，求證：DC=BC.

返A(chǔ)B=4,

【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AC=BC=根據(jù)勾股定理得到CE=

2

-BC2=3，于是得到結(jié)論;

(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到/CAB=45°,由于NAFB=NACB=90°,推出A,F,C,

B四點共圓，根據(jù)圓周角定理得到NCFB=/CAB=45°,求得NDFC=/AFC=135°,根據(jù)全等

三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解:（1）VZACB=90°,AC=BC,

；.AC=BC=2Z^AB=4,

2

VBE=5,

ACE=VBE2-BC2=3,

.\AE=4-3=1；

（2）VZACB=90°,AC=BC,

.,.ZCAB=45°,

VAF±BD,

.\ZAFB=ZACB=90°,

AA,F,C,B四點共圓，

.".ZCFB=ZCAB=45°,

；./DFC=NAFC=135°,

'AF=DF

在AACF與ADCF中，，NAFC=/DFC，

CF=CF

/.△ACF^ADCF,

.\CD=AC,

VAC=BC,

.*.AC=BC.

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，四點共圓，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定

理，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例題8：（2017湖南岳陽）問題背景：已知NEDF的頂點D在aABC的邊AB所在直線上（不

與A,B重合），DE交AC所在直線于點M,DF交BC所在直線于點N,記△ADM的面積為S”

△BND的面積為S2.

（1）初步嘗試：如圖①，當(dāng)△ABC是等邊三角形，AB=6,ZEDF=ZA,且DE〃BC,AD=2時，

貝IIS,S2=12；

（2）類比探究：在（1）的條件下，先將點D沿AB平移，使AD=4,再將/EDF繞點D旋轉(zhuǎn)

至如圖②所示位置，求SS的值；

（3）延伸拓展：當(dāng)AABC是等腰三角形時，設(shè)NB=/A=/EDF=a.

(I)如圖③，當(dāng)點D在線段AB上運動時，設(shè)AD=a,BD=b,求S8的表達式(結(jié)果用a,b

和a的三角函數(shù)表示).

(II)如圖④，當(dāng)點D在BA的延長線上運動時，設(shè)AD=a,BD=b,直接寫出SS的表達式,

不必寫出解答過程.

返(4)J

4

M，由此即可解決問題;

(2)如圖2中，設(shè)AM=x,BN=y.首先證明△AMDS^BDN,可得需普，推出"1哼推

xy=8,Si=yADAMsin600=①5=電1^^60°=去丫=12；

，可得

(3)I如圖3中，設(shè)AM=x,BN=y,同法可證△AMDs/\BDN,可得xy=ab,由Si=yADAMsina=

—axsina,S2=—DBBNsina=—bysina,nJWSiSs=—(ab)2sin2a.

2224

(II)結(jié)論不變，證明方法類似;

【解答】解：(1)如圖1中,

「△ABC是等邊三角形,

.\AB=CB=AC=6,/A=/B=60°,

VDE//BC,ZEDF=60°,

.\ZBND=ZEDF=60°,

ZBDN=ZADM=60°,

.1△ADM,Z\BDN都是等邊三角形，

.?.S尸返2邑?,SF縣(4)

44

???S】S2=12,

故答案為12.

(3)I如圖3中，設(shè)AM=x,BN=y,

同法可證△AMDSABDN,可得xy=ab,

VSF—ADAMsina="axsina,S=-DBBNsina=—bysina,

22222

AS1S=—(ab)2sin2a.

24

II如圖4中,設(shè)AM=x,BN=y,

同法可證△AMDS^BDN,可得xy=ab,

VSi=—ADAMsina=—axsina,S=—DBBNsina=—bysina,

22222

22

.".SiS2=—（ab）sina.

-4

【點評】本題考查幾何變換綜合題、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的

判定和性質(zhì)、三角形的面積公式.銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解

決問題，屬于中考壓軸題.

【達標(biāo)檢測】

一、選擇題

1.（2017甘肅張掖）已知a,b,c是△ABC的三條邊長，化簡Ia+b-c|-|c-a-b|的結(jié)果

為（）

A.2a+2b-2cB.2a+2bC.2cD.0

【考點】K6：三角形三邊關(guān)系.

【分析】先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷出a-b-c與c-b+a的符號，再去絕對值符號，合

并同類項即可.

【解答】解：；a、b、c為AABC的三條邊長，

.*.a+b-c>0,c-a-b<0,

...原式=2+5-c+（c-a-b）

=0.

故選D.

2.

3.（2017張家界）如圖，D,E分別是AABC的邊AB,AC上的中點，如果△ADE的周長是6,

則aABC的周長是（）

A,

A.6B.12C.18D.24

【考點】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；KX：三角形中位線定理.

【分析】根據(jù)線段中點的性質(zhì)求出AD=5AB、AE=^AC的長，根據(jù)三角形中位線定理求出DE=

-j-AB,根據(jù)三角形周長公式計算即可.

【解答】解：；D、E分別是AB、AC的中點，

.\AD=—AB,AE=—AC,DE=—BC,

222

Z.AABC的周長=AB+AC+BC=2AD+2AE+2DE=2(AD+AE+DE)=2X6=12.

故選B.

4.如圖，在&A48c中，ZABC=90°,AB=6,BC=8,ABAC,4C8的平分

線相交于點￡,過點￡作砂//8。交/C于點E,則研的長為()

【考點】角平分線，相似，直角三角形內(nèi)切圓半徑

【分析】先求出直角三角形內(nèi)切圓半徑=2,再利用相似求￡尸

【解答】解：延長FE交AB于點D,作EDLBC,EII1AC

設(shè)EF=FC=x

VAADF^AABC

.DFAF

?a--------

BCAC

,2+九10—x

"~S~~10

G

5.（2017湖北襄陽）如圖，在AABC中，ZACB=90°,ZA=30°,BC=4,以點C為圓心，CB

長為半徑作弧，交AB于點D；再分別以點B和點D為圓心，大于￡BD的長為半徑作弧，兩

弧相交于點E,作射線CE交AB于點F,則AF的長為（）

A.5B.6C.7D.8

【考點】N2：作圖一基本作圖；K0：含30度角的直角三角形.

【分析】連接CD,根據(jù)在AABC中，ZACB=90°,ZA=30°,BC=4可知AB=2BC=8,再由作

法可知BC=CD=4,CE是線段BD的垂直平分線,故CD是斜邊AB的中線，據(jù)此可得出BD的長，

進而可得出結(jié)論.

【解答】解：連接CD,

?在△ABC中,ZACB=90°,ZA=30°,BC=4,

.\AB=2BC=8.

?.?作法可知BC=CD=4,CE是線段BD的垂直平分線，

/.CD是斜邊AB的中線，

.\BD=AD=4,

BF=DF=2,

；.AF=AD+DF=4+2=6.

故選B

二、填空題：

6.（2017湖南株洲）如圖示在△湖C中NB=25°

【考點】KN：直角三角形的性質(zhì).

【分析】由直角三角形的兩個銳角互余即可得出答案.

【解答】解：,??NC=90°,

.?.NB=90°-ZA=900-65°=25°；

故答案為:25。.

7.（2017甘肅張掖）如圖，一張三角形紙片ABC,ZC=90°,AC=8cm,BC=6cm.現(xiàn)將紙片

折疊：使點A與點B重合，那么折痕長等于畢cm.

【考點】PB：翻折變換（折疊問題）.

【分析】根據(jù)折疊得：GH是線段AB的垂直平分線，得出AG的長，再利用兩角對應(yīng)相等證

△ACB-AAGH,利用比例式可求GH的長，即折痕的長.

【解答】解：如圖，折痕為GH,

由勾股定理得：AB=

由折疊得：AG=BG=—AB=—X10=5cm,GH1AB,

22

ZAGH=90°,

VZA=ZA,ZAGH=ZC=90°,

AAACB^AAGH,

.AC_BC

??而一而‘

.8_

??一6，

5GH

15

AGH=—cm.

4

故答案為：—

8.在邊長為4的等邊三角形/8C中，。為3。邊上的任意一點，過點。分別作

DELAB,DFLAC,垂足分別為E,F，則DE+DF=273

【考點】等邊三角形，三角函數(shù)

【分析】根據(jù)DE=2BD,利用整體代入法求出

22

【解答】解：

百

在三角形BDE中，DE=—BD

2

c

在三角形DCF中，DF=—CD

2

DE+DF=g(BD+CD)=gBC=26

9.(2017湖南株洲)

如圖示，若AABC內(nèi)一點P滿足NPAC=NPBA=/PCB,則點P為4ABC的布洛卡點.三角形的

布洛卡點(Brocardpoint)是法國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾(A.L.Crelle1780-1855)

于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時的人們所注意，1875年，布洛卡點被一個數(shù)學(xué)

愛好者法國軍官布洛卡(Brocard1845-1922)重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名.問題：己

知在等腰直角三角形DEF中，ZEDF=90°,若點Q為4DEF的布洛卡點，DQ=1,則EQ+FQ=

A.5B.4C.3+A/^D.2+A/^

【考點】R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；JB：平行線的判定與性質(zhì)；KW：等腰直角三角形.

【分析】由△DQFSAFQE,推出圣景絲=S，由此求出EQ、FQ即可解決問題.

FQQEEFV2

【解答】解：如圖，在等腰直角三角形ADEF中，ZEDF=90°,DE=DF,N1=N2=N3,

?/Z1+ZQEF=Z3+ZDFQ=45°,

/QEF=NDFQ,；N2=N3,

/.△DQF^AFQE,

.DQ_FQ_DF__l

?,FQQEEF7T

?；DQ=1,

，F(xiàn)Q=亞，EQ=2,

...EQ+FQ=2+y,

故選D

10.（2017浙江義烏）如圖，NA0B=45°,點M,N在邊OA上，0M=x,0N=x+4,點P是邊

OB上的點，若使點P,M,N構(gòu)成等腰三角形的點P恰好有三個，則x的值是x=0或xMj]

-4或4VxV4\/^.

0B

【考點】KI：等腰三角形的判定.

【分析】分三種情況討論：先確定特殊位置時成立的x值，

①如圖1,當(dāng)M與0重合時，即x=0時，點P恰好有三個；

②如圖2,構(gòu)建腰長為4的等腰直角△(?￡,和半徑為4的。M,發(fā)現(xiàn)M在點D的位置時，滿

足條件；

③如圖3,根據(jù)等腰三角形三種情況的畫法：分別以MN為圓心，以MN為半徑畫弧，與0B

的交點就是滿足條件的點P,再以MN為底邊的等腰三角形，通過畫圖發(fā)現(xiàn)，無論x取何值，

以MN為底邊的等腰三角形都存在一個，所以只要滿足以MN為腰的三角形有兩個即可.

【解答】解：分三種情況：

圖2

.\MC±OB,

ZA0B=45°,

AAMCO是等腰直角三角形，

；.MC=0C=4,

；.0M=4后，

當(dāng)M與D重合時，即x=0M-DM=4?-4時，同理可知：點P恰好有三個；

③如圖3,取0M=4,以M為圓心，以0\1為半徑畫圓，

則。M與0B除了0外只有一個交點，此時x=4,即以NPMN為頂角，MN為腰，符合條件的點

P有一個，以N圓心，以MN為半徑畫圓，與直線0B相離，說明此時以/PNM為頂角，以MN

為腰，符合條件的點P不存在，還有一個是以NM為底邊的符合條件的點P;

點M沿0A運動，到他時，發(fā)現(xiàn)。與直線0B有一個交點；

當(dāng)4Vx<4正時，圓M在移動過程中，則會與0B除了0外有兩個交點，滿足點P恰好有

三個；

綜上所述，若使點P,M,N構(gòu)成等腰三角形的點P恰好有三個，則x的值是：x=0或x=4后

-4或4<x<4正.

故答案為：x=0或x=4亞-4或4<x<4頁.

圖3

三、解答題

11.(2017江西)我們定義：如圖1,在aABC看，把AB點繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a(0°<a

<180°)得到AB',把AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)B得到AC',連接B'C'.當(dāng)a+8=180°時，

我們稱AA'B'C是ZkABC的“旋補三角形",△AB'C邊B'C上的中線AD叫做AABC的“旋

補中線”，點A叫做“旋補中心”.

特例感知：

(1)在圖2,圖3中，△AB'C'是aABC的“旋補三角形”，AD是△ABC的“旋補中線”.

①如圖2,當(dāng)aABC為等邊三角形時，AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD=,BC；

②如圖3,當(dāng)NBAC=90°,BC=8時，則AD長為4.

猜想論證：

(2)在圖1中，當(dāng)aABC為任意三角形時，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.

拓展應(yīng)用

(3)如圖4,在四邊形ABCD,ZC=90°,ZD=150°,BC=12,CD=2DA=6.在四邊形

內(nèi)部是否存在點P,使4PDC是aPAB的“旋補三角形”？若存在，給予證明，并求4PAB

【分析】(1)①首先證明AADB'是含有30°是直角三角形，可得AD=/AB'即可解決問題；

②首先證明aBAC絲aB'AC',根據(jù)直角三角形斜邊中線定理即可解決問題；

(2)結(jié)論：AD=—BC.如圖1中，延長AD到M,使得AD=DM,連接E'M,CM,首先證明

2

四邊形AC'MB'是平行四邊形，再證明ABAC絲Z\AB'M,即可解決問題；

(3)存在.如圖4中，延長AD交BC的延長線于M,作BELAD于E,作線段BC的垂直平分

線交BE于P,交BC于F,連接PA、PD、PC,作4PCD的中線PN.連接DF交PC于0.想辦

法證明PA=PD,PB=PC,再證明NAPD+NBPC=180°,即可；

【解答】解：(1)①如圖2中，

VAABC是等邊三角形，

.'.AB=BC=AB=AB,=AC',

?.,DB'=DC',

AADIB*Cz,

ZBAC=60°,NBAC+NB'AC'=180°,

AZB,AC'=120°,

：.ZB'=NC'=30°,

.,.AD=—AB/BC,

22

故答案為

圖3

,/ZBAC=90°,NBAC+/B'AC'=180°,

：.ZB'AC=NBAC=90°,

,.?AB=ABZ,AC=ACZ,

.*.ABAC^AB,AC',

...BC=B'C,

D=DC,,

.\AD=—B*C'=—BC=4,

22

故答案為4.

(2)結(jié)論：AD=—BC.

2

理由：如圖1中，延長AD到M,使得AD=DM,連接E'M,C'M

；B'D=DCZ,AD=DM,

???四邊形ALMB'是平行四邊形，

.,.AC7=B'M二AC,

VZBAC+ZB,AC'=180°,NB'AC'+NAB'M=180°,

AZBAC=ZMB,A,VAB=AB,,

AABAC^AAB/M,

.,.BC=AM,

/.AD="BC.

2

(3)存在.

理由：如圖4中，延長AD交BC的延長線于M,作BELAD于E,作線段BC的垂直平分線交

BE于P,交BC于F,連接PA、PD、PC,作4PCD的中線PN.

連接DF交PC于0.

AZMDC=30°,

在RtZ\DCM中，：CD=2&,ZDCM=90°,ZMDC=30°,

???CM=2,DM=4,ZM=60°,

在RtZ\BEM中,VZBEM=90°,BM=14,ZMBE=30°,

2

ADE=EM-DM=3,

VAD=6,

AAE=DE,VBE±AD,

???PA=PD,PB=PC,

在RtZ\CDF中，..?CD=2&,CF=6,

?，?tanNCDF二

AZCDF=60°=ZCPF,

易證AFCP@Z\CFD,

，CD=PF,VCD//PF,

四邊形CDPF是矩形，

；.NCDP=90°,

ZADP=ZADC-ZCDP=60°,

/.△ADP是等邊三角形，

.\ZADP=60o,VZBPF=ZCPF=60°,

AZBPC=120°,

.\ZAPD+ZBPC=180°,

.??△PDC是APAB的“旋補三角形”，

在RtZ\PDN中，ZPDN=90°,PD=AD=6,DN=?,

???PN=VDN2+PD2=7（V3）2+62=病

12.（2017湖南岳陽）某太陽能熱水器的橫截面示意圖如圖所示，已知真空熱水管AB與支

架CD所在直線相交于點0,且0B=0D,支架CD與水平線AE垂直，/BAC=NCDE=30°,DE=80cm,

AC=165cm.

（1）求支架CD的長；

（2）求真空熱水管AB的長.（結(jié)果保留根號）

【分析】（1）在RtaCDE中，根據(jù)/CDE=30°,DE=80cm,求出支架CD的長是多少即可.

（2）首先在Rt^OAC中，根據(jù)NBAC=30°,AC=165cm,求出0C的長是多少，進而求出01）

的長是多少；然后求出0A的長是多少，即可求出真空熱水管AB的長是多少.

【解答】解：(1)在Rt^CDE中,ZCDE=30°,DE=80cm,

.\CD=80Xcos30°=80x2^40、

^3(cm).

(2)在RtAOAC中,ZBAC=30°,AC=165cm,

.,.0C=ACXtan30°=165X^^55■x/^(cm),

.*.OD=OC-CD=55際-40后155(cm),

.'.AB=AO-OB=AO-OD=55V3X2-15后95T(cm).

【點評】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，要熟練掌握，注意將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問

題(畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題).

13.(2017湖南株洲)

如圖示，正方形ABCD的頂點A在等腰直角三角形DEF的斜邊EF上，EF與BC相交于點G,

連接CF.

①求證：△DAEgZ\DCF；

②求證：△ABGsaCFG.

【考點】S8：相似三角形的判定；KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；KW：等腰直角三角形；LE：

正方形的性質(zhì).

【分析】①由正方形ABCD與等腰直角三角形DEF,得到兩對邊相等，一對直角相等，利用

SAS即可得證；

②由第一問的全等三角形的對應(yīng)角相等，根據(jù)等量代換得到NBAG=NBCF,再由對頂角相等，

利用兩對角相等的三角形相似即可得證.

【解答】證明：①；正方形ABCD,等腰直角三角形EDF,

ZADC=ZEDF=90°,AD=CD,DE=DF,

/.ZADE+ZADF=ZADF+ZCDF,

?,.ZADE=ZCDF,

在aADE和ACDF中，

rDE=DF

-ZADE=ZCDF>

DA=DC

.,.△ADE^ACDF；

②延長BA到M,交ED于點M,

VAADE^ACDF,

ZEAD=ZFCD,即ZEAM+ZMAD=ZBCD+ZBCF,

ZMAD=ZBCD=90°,

ZEAM=ZBCF,

VZEA