三年 (2020-2022 ) 高考數(shù)學(xué)真題匯編 05立體幾何（選擇題、填空題）（文科專用）

專題05立體幾何（選擇題、填空題）（文科專用）

1.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1,則該多面體

A.8B.12C.16D.20

【答案】B

【解析】

【分析】

由三視圖還原幾何體，再由棱柱的體積公式即可得解.

【詳解】

由三視圖還原幾何體，如圖,

x2x2=12.

故選：B.

（2022年全國(guó)甲卷】

2.在長(zhǎng)方體488-A4GR中，已知耳。與平面ABCO和平面AA田田所成的角均為30。，

則（）

A.AB=2ADB.AB與平面ABCQ所成的角為30。

C.AC=CB]D.用。與平面B4GC所成的角為45。

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)線面角的定義以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出.

【詳解】

如圖所示：

不妨設(shè)==4AA=c,依題以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知，瓦。與平面A8CD所成角

ch

為NBQB,BQ與平面44,8/所成角為所以sin30。二右二6有，即

D}Lft>}Lf

B、D=2c=\/a2+b2+c2,解得。=Oc.

對(duì)于A,AB=a,AD=bfAB=yflAD?A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,過(guò)g作BEJ.A用于石，易知BE1平面ABC。，所以A3與平面4與0。所成角為

NBAE,因?yàn)閠an/BAE=￡=也，所以NBAEH3(T,B錯(cuò)誤；

a2

2

對(duì)于C,AC=Ca?+從=也c,CBX=\!b~+c=yf2c,ACwCB],c錯(cuò)誤；

對(duì)于D,BQ與平面B8CC所成角為NQ8C，sinZDB^=—=—=^,而

BQ2c2

0<ZDB,C<90,所以NO8C=45.D正確.

故選：D.

[2022年全國(guó)甲卷】

3.甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為2兀，側(cè)面積分別為%和%,

體積分別為％和％.若生=2,貝()

〉乙V乙

A.非B.272C.布D.豆叵

4

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)母線長(zhǎng)為/，甲圓錐底面半徑為4，乙圓錐底面圓半徑為4,根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得

4=24，再結(jié)合圓心角之和可將小4分別用/表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高,

再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.

【詳解】

解：設(shè)母線長(zhǎng)為/,甲圓錐底面半徑為乙圓錐底面圓半徑為4,

則&=也=二=2,

S乙加r2

所以4=2々

巾2兀r、2冗r、_

又一^+―^=2萬(wàn)，

貝IJ牛=1,

21

所以々=§/，2=§/，

所以甲圓錐的高々=

乙圓錐的高為=^^7=乎/,

所以十^一\

2

乙A兀l/x-/

393

故選：C.

[2022年全國(guó)乙卷】

4.在正方體ABCO-ABCA中，E,尸分別為A8/C的中點(diǎn)，則()

A.平面用EFJ■平面B.平面耳EFJ.平面A8。

C.平面與￡/〃平面AACD.平面qE尸〃平面AC,。

【答案】A

【解析】

【分析】

證明EFJ_平面8。。，即可判斷A；如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2,

分別求出平面與或"AtBD,AG。的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即可判斷BCD.

【詳解】

解：在正方體48CO-A8GA中，

AC_LB￡>且DR1平面ABCD,

又EFu平面A8CO,所以EF_LM)|,

因?yàn)镋,F分別為ABIC的中點(diǎn)，

所以EF||AC,所以EELBD,

又Bon。。=。，

所以EF_L平面B。"，

又￡Fu平面4E尸，

所以平面4族，平面BDR,故A正確；

選項(xiàng)BCD解法一：

如圖，以點(diǎn)￡>為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)他=2,

則4(2,2,2),E(2,1,0),*1,2,0),3(2,2,0),A(2,0,2),4(2,0,0),C(0,2,0),

C,(0,2,2),

則方=(-1,1,0),函=(0,1,2),麗=(2,2,0),西=(2,0,2),

羽=(0,0,2),/=(-2,2,0),相=(-2,2,0),

設(shè)平面B[EF的法向量為m=(X1,y,zJ,

m-EF=-x+y.=0八

則有，立璃=兇+24=0，可取機(jī)=(2'2,T)’

同理可得平面\BD的法向量為I=(1,-1,-1),

平面AAC的法向量為第=(1,1,0),

平面ACQ的法向量為裙=(1,1,—1),

貝I］加?4=2-2+1=1^0.

所以平面與￡尸與平面A/。不垂直，故B錯(cuò)誤;

uu

因?yàn)槎c〃2不平行，

所以平面與平面A4C不平行，故C錯(cuò)誤;

因?yàn)槎c胃不平行,

所以平面4EF與平面AC&不平行，故D錯(cuò)誤,

選項(xiàng)BCD解法二:

解：對(duì)于選項(xiàng)B,如圖所示，設(shè)=EFC\BD=N,則MN為平面與EF與平面

A80的交線，

在△EWN內(nèi)，作3PLMN于點(diǎn)P,在AEMN內(nèi)，作GP_LMN,交EN于點(diǎn)G,連結(jié)BG,

則NBPG或其補(bǔ)角為平面BXEF與平面AtBD所成二面角的平面角，

由勾股定理可知：PB2+PN2=BN2,PG2+PN2=GN2,

底面正方形A8CQ中，E,尸為中點(diǎn)，則

由勾股定理可得NB2+NG2=BG2,

從而有:NB2+NG2=(PB2+PN2)+(PG2+PN2)=BG2,

22

據(jù)此可得PB+PG-豐BG,B|JZBPG豐90,

據(jù)此可得平面平面AB。不成立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)C,取A4的中點(diǎn)“，則

由于Ah與平面AAC相交，故平面AE尸〃平面AAC不成立，選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)D,取AZ)的中點(diǎn)M,很明顯四邊形AB尸例為平行四邊形，則

由于AM與平面AG。相交，故平面BfF〃平面4G。不成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤;

Cl

故選：A.

［2022年全國(guó)乙卷】

5.已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球。的球面上，則當(dāng)該

四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）

A.-B.；C.息D.—

3232

【答案】C

【解析】

【分析】

方法一：先證明當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)。到底面ABC力所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最

大值為2，，進(jìn)而得到四棱錐體積表達(dá)式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而

得到當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)其高的值.

【詳解】

［方法一］:【最優(yōu)解】基本不等式

設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCQ,四邊形A8CQ所在小圓半徑為r,

設(shè)四邊形A3C。對(duì)角線夾角為a,

（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABC。為正方形時(shí)等號(hào)成立）

即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)。到底面ABC。所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為2M

又設(shè)四棱錐的高為〃，則/+/=乙

當(dāng)且僅當(dāng)r2=2h2即心將時(shí)等號(hào)成立.

故選：c

［方法二］:統(tǒng)一變量+基本不等式

由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為“，底面所在圓的半徑為

，，則”爭(zhēng)，所以該四棱錐的高人后'

(當(dāng)且僅當(dāng)!=1-1,即儲(chǔ)=9時(shí)，等號(hào)成立)

所以該四棱錐的體積最大時(shí)，其高力=考

故選：C.

［方法三］:利用導(dǎo)數(shù)求最值

由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為“，底面所在圓的半徑為

『，則r=￡,所以該四棱錐的高6=,V」叭叵，令H=r(O<r<2),y=_L%,

2V23V23V2

r3產(chǎn)

設(shè)則小)=2￡吟，

0</<pf'(t)>0,單調(diào)遞增，g<f<2,f(t)<0,單調(diào)遞減，

所以當(dāng)f=上時(shí)，V最大，此時(shí)/；=、口!=立.

3Y23

故選：C.

【整體點(diǎn)評(píng)】

方法一：思維嚴(yán)謹(jǐn)，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是該題的最優(yōu)解；

方法二：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，再利用基本不等式求最值；

方法三：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，利用導(dǎo)數(shù)求最值，是最值問(wèn)題的常用解法，操作簡(jiǎn)便，是通

性通法.

［2021年甲卷文科】

6.在一個(gè)正方體中，過(guò)頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E,F,G.該正方體截去三棱錐A-EFG

后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是()

正視圖

【解析】

【分析】

根據(jù)題意及題目所給的正視圖還原出幾何體的直觀圖，結(jié)合直觀圖進(jìn)行判斷.

【詳解】

由題意及正視圖可得幾何體的直觀圖，如圖所示，

故選：D

[2021年乙卷文科】

7.在正方體ABCO-ABCR中，P為8a的中點(diǎn)，則直線PB與AD所成的角為（）

7171兀

A.-B.C.D.

2346

【答案】D

【解析】

【分析】

平移直線A4至8G，將直線所與4。所成的角轉(zhuǎn)化為總與8a所成的角，解三角形即可.

如圖，連接8G，PC1,P8,因?yàn)?O[〃8C],

所以NP8G或其補(bǔ)角為直線PB與A]所成的角,

因?yàn)槠矫鍭fCR,所以BBiLPq,又尸G_L8a,3片小片。=用，

所以PG，平面依4,所以尸G，PB,

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,則BC,=20,PC、=；BBi=母,

sinZPBC,=^=l