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數(shù)列的綜合應(yīng)用一、課前檢測(cè)1.猜想1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,……的第n個(gè)式子為。答案:2.用數(shù)學(xué)歸納法證明,在驗(yàn)證成立時(shí),左邊所得的項(xiàng)為(C)A.1B.1+C.D.二、知識(shí)梳理1.等差、等比數(shù)列的應(yīng)用題常見于:產(chǎn)量增減、價(jià)格升降、細(xì)胞繁殖等問題,求利率、增長(zhǎng)率等問題也常歸結(jié)為數(shù)列建模問題。⑴生產(chǎn)部門中有增長(zhǎng)率的總產(chǎn)量問題.例如,第一年產(chǎn)量為,年增長(zhǎng)率為,則每年的產(chǎn)量成等比數(shù)列,公比為.其中第年產(chǎn)量為,且過年后總產(chǎn)量為:⑵銀行部門中按復(fù)利計(jì)算問題.例如:一年中每月初到銀行存元,利息為,每月利息按復(fù)利計(jì)算,則每月的元過個(gè)月后便成為元.因此,第二年年初可存款:=.注意:“分期付款”、“森林木材”型應(yīng)用問題⑴這類應(yīng)用題一般可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題.但在求解過程中,務(wù)必“卡手指”,細(xì)心計(jì)算“年限”.對(duì)于“森林木材”既增長(zhǎng)又砍伐的問題,則常選用“統(tǒng)一法”統(tǒng)一到“最后”解決.⑵利率問題:①單利問題:如零存整取儲(chǔ)蓄(單利)本利和計(jì)算模型:若每期存入本金元,每期利率為,則期后本利和為:(等差數(shù)列問題);②復(fù)利問題:按揭貸款的分期等額還款(復(fù)利)模型:若貸款(向銀行借款)元,采用分期等額還款方式,從借款日算起,一期(如一年)后為第一次還款日,如此下去,分期還清.如果每期利率為(按復(fù)利),那么每期等額還款元應(yīng)滿足:(等比數(shù)列問題).⑶分期付款應(yīng)用題:為分期付款方式貸款為a元;m為m個(gè)月將款全部付清;為年利率.2.將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題時(shí)應(yīng)注意:(1)分清是等差數(shù)列還是等比數(shù)列;(2)分清是求an還是求Sn,特別要準(zhǔn)確地確定項(xiàng)數(shù)n.3.數(shù)列與其他知識(shí)的綜合也是??嫉念}型,如:數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何知識(shí)相互聯(lián)系和滲透,都是常見的題型。4.強(qiáng)化轉(zhuǎn)化思想、方程思想的應(yīng)用.三、典型例題分析題型1以等差數(shù)列為模型的問題例1由于美伊戰(zhàn)爭(zhēng)的影響,據(jù)估計(jì),伊拉克將產(chǎn)生60~100萬難民,聯(lián)合國(guó)難民署計(jì)劃從4月1日起為伊難民運(yùn)送食品.第一天運(yùn)送1000t,第二天運(yùn)送1100t,以后每天都比前一天多運(yùn)送100t,直到達(dá)到運(yùn)送食品的最大量,然后再每天遞減100t,連續(xù)運(yùn)送15天,總共運(yùn)送21300t,求在第幾天達(dá)到運(yùn)送食品的最大量.剖析:本題實(shí)質(zhì)上是一個(gè)等差數(shù)列的求通項(xiàng)和求和的問題.解:設(shè)在第n天達(dá)到運(yùn)送食品的最大量.則前n天每天運(yùn)送的食品量是首項(xiàng)為1000,公差為100的等差數(shù)列.an=1000+(n-1)·100=100n+900.其余每天運(yùn)送的食品量是首項(xiàng)為100n+800,公差為-100的等差數(shù)列.依題意,得1000n+×100+(100n+800)(15-n)+×(-100)=21300(1≤n≤15).整理化簡(jiǎn)得n2-31n+198=0.解得n=9或22(不合題意,舍去).答:在第9天達(dá)到運(yùn)送食品的最大量.變式訓(xùn)練1數(shù)列{an}中,a1=6,且an-an-1=eq\f(an-1,n)+n+1(n∈N*,n≥2),則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)an=________.答案:(n+1)(n+2)解:由已知等式得nan=(n+1)an-1+n(n+1)(n∈N*,n≥2),則eq\f(an,n+1)-eq\f(an-1,n)=1,所以數(shù)列{eq\f(an,n+1)}是以eq\f(a1,2)=3為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,即eq\f(an,n+1)=n+2,則an=(n+1)(n+2).n=1時(shí),此式也成立.小結(jié)與拓展:對(duì)數(shù)列應(yīng)用題要分清是求通項(xiàng)問題還是求和問題。題型2以等比數(shù)列為模型的實(shí)際問題例2(20XX年春季上海,20)某市20XX年底有住房面積1200萬平方米,計(jì)劃從20XX年起,每年拆除20萬平方米的舊住房.假定該市每年新建住房面積是上年年底住房面積的5%.(1)分別求20XX年底和20XX年底的住房面積;(2)求2024年底的住房面積.(計(jì)算結(jié)果以萬平方米為單位,且精確到0.01)剖析:本題實(shí)質(zhì)是一個(gè)等比數(shù)列的求和問題.解:(1)20XX年底的住房面積為1200(1+5%)-20=1240(萬平方米),20XX年底的住房面積為1200(1+5%)2-20(1+5%)-20=1282(萬平方米),∴20XX年底的住房面積為1240萬平方米,20XX年底的住房面積為1282萬平方米.(2)2024年底的住房面積為1200(1+5%)20-20(1+5%)19-20(1+5%)18-…-20(1+5%)-20=1200(1+5%)20-20×≈2522.64(萬平方米),∴2024年底的住房面積約為2522.64萬平方米.評(píng)述:應(yīng)用題應(yīng)先建立數(shù)學(xué)模型,再用數(shù)學(xué)知識(shí)解決,然后回到實(shí)際問題,給出答案.變式訓(xùn)練2從20XX年1月2日起,每年1月2日到銀行存入一萬元定期儲(chǔ)蓄,若年利率為p,且保持不變,并約定每年到期存款均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新一年的定期存款,到20XX年1月1日將所有存款及利息全部取回,則可取回的錢的總數(shù)為____萬元.答案:[(1+p)7-(1+p)]解:存款從后向前考慮(1+p)+(1+p)2+…+(1+p)5==[(1+p)7-(1+p)].注:20XX年不再存款.小結(jié)與拓展:對(duì)數(shù)列應(yīng)用題要分清是求通項(xiàng)問題還是求和問題。題型3數(shù)列與函數(shù)、不等式等問題的綜合應(yīng)用例3(文)在數(shù)列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N).(1)試判斷數(shù)列{eq\f(1,an)}是否為等差數(shù)列;(2)設(shè){bn}滿足bn=eq\f(1,an),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)為Sn;(3)若λan+eq\f(1,an+1)≥λ,對(duì)任意n≥2的整數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.解:(1)∵a1≠0,∴an≠0,∴由已知可得eq\f(1,an)-eq\f(1,an-1)=3(n≥2),故數(shù)列{eq\f(1,an)}是等差數(shù)列.(2)由(1)的結(jié)論可得bn=1+(n-1)×3,所以bn=3n-2,∴Sn=eq\f(n(1+3n-2),2)=eq\f(n(3n-1),2).(3)將an=eq\f(1,bn)=eq\f(1,3n-2)代入λan+eq\f(1,an+1)≥λ并整理得λ(1-eq\f(1,3n-2))≤3n+1,∴λ≤eq\f((3n+1)(3n-2),3n-3),原命題等價(jià)于該式對(duì)任意n≥2的整數(shù)恒成立.設(shè)Cn=eq\f((3n+1)(3n-2),3n-3),則Cn+1-Cn=eq\f((3n+1)(3n-4),3n(n-1))>0,故Cn+1>Cn,∴Cn的最小值為C2=eq\f(28,3),∴λ的取值范圍是(-∞,eq\f(28,3)].變式訓(xùn)練3已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,對(duì)任意n∈N*都有Sn=eq\f(2,3)an-eq\f(1,3),若1<Sk<9(k∈N*),則k的值為________.答案:4解:∵Sn=eq\f(2,3)an-eq\f(1,3),∴S1=eq\f(2,3)a1-eq\f(1,3)=a1,a1=-1.an=Sn-Sn-1(n>1),即an=(eq\f(2,3)an-eq\f(1,3))-(eq\f(2,3)an-1-eq\f(1,3))=eq\f(2,3)an-eq\f(2,3)an-1,整理得:eq\f(an,an-1)=-2,∴{an}是首項(xiàng)為-1,公比為-2的等比數(shù)列,Sk=eq\f(a1(1-qk),1-q)=eq\f((-2)k-1,3),∵1<Sk<9,∴1<eq\f((-2)k-1,3)<9,即4<(-2)k<28,僅當(dāng)k=4時(shí)不等式成立.小結(jié)與拓展:數(shù)列的綜合問題常與函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)相互聯(lián)系和滲透.四、歸納與總結(jié)(以學(xué)生為主,師生共同完成)1.等差、等比數(shù)列的應(yīng)用題常見于:產(chǎn)量增減、價(jià)格升降
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