四川省綿陽市綿陽南山中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末質(zhì)量檢測試題含解析

四川省綿陽市綿陽南山中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末質(zhì)量檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù),若是函數(shù)唯一的極值點,則實數(shù)的取值范圍為()A． B． C． D．2．若函數(shù)的圖象上存在關(guān)于直線對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．我國古代數(shù)學名著九章算術(shù)中有這樣一些數(shù)學用語，“塹堵”意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，而“陽馬”指底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐現(xiàn)有一如圖所示的塹堵，，，當塹堵的外接球的體積為時，則陽馬體積的最大值為A．2 B．4 C． D．4．定義運算，則函數(shù)的圖象是（）．A． B．C． D．5．己知，是橢圓的左右兩個焦點，若P是橢圓上一點且，則在中（）A． B． C． D．16．5人站成一列，甲、乙兩人相鄰的不同站法的種數(shù)為（）A．18 B．24 C．36 D．487．在三棱錐中，，，面，，，分別為，，的中點，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．8．如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()A． B．C． D．9．已知則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．a(chǎn)＞c＞b D．c＞b＞a10．已知點P是橢圓上的動點,當點P到直線x-2y+10=0的距離最小時,點P的坐標是（）A． B． C． D．11．復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．從1，2，3，4，5中不放回地依次選取2個數(shù)，記事件“第一次取到的是奇數(shù)”，事件“第二次取到的是奇數(shù)”，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某人拋擲一枚均勻骰子，構(gòu)造數(shù)列，使，記，則且的概率為_____.14．在中，內(nèi)角、、滿足不等式；在四邊形中，內(nèi)角、、、滿足不等式；在五邊形中，內(nèi)角、、、、滿足不等式.猜想，在邊形中，內(nèi)角滿足不等式__________．15．某種產(chǎn)品每箱裝6個,其中有4個合格,2個不合格,現(xiàn)質(zhì)檢人員從中隨機抽取2個進行檢測,則檢測出至少有一個不合格產(chǎn)品的概率是_______.16．已知關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）若，求函數(shù)的圖像在點處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性.18．（12分）已知函數(shù).(I)求的減區(qū)間;(II)當時,求的值域.19．（12分）在矩形中，，，為線段的中點，如圖1，沿將折起至，使，如圖2所示．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值．20．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）若不等式對任意的實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本C(x)（萬元），若年產(chǎn)量不足80千件，C(x)的圖象是如圖的拋物線，此時C(x)<0的解集為(-30,0)，且C(x)的最小值是-75，若年產(chǎn)量不小于80千件，C(x)=51x+10000（1）寫出年利潤L(x)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；（2）年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？22．（10分）已知函數(shù)．（1）當時，解不等式；（2）若存在滿足，求實數(shù)a的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】分析：由的導函數(shù)形式可以看出，需要對k進行分類討論來確定導函數(shù)為0時的根.詳解：函數(shù)的定義域是，，是函數(shù)唯一的極值點,是導函數(shù)的唯一根，在無變號零點，即在上無變號零點，令，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的最小值為，必須.故選A.點睛：本題考查由函數(shù)的導函數(shù)確定極值問題，對參數(shù)需要進行討論.2、D【解題分析】分析：設(shè)若函數(shù)的圖象上存在關(guān)于直線對稱的點，則函數(shù)與函數(shù)的圖象有交點，即有解，利用導數(shù)法，可得實數(shù)a的取值范圍.詳解：由的反函數(shù)為，函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于直線對稱的點，則函數(shù)與函數(shù)的圖象有交點，即有解，即，令，則，當時，，在上單調(diào)遞增，當時，可得求得的最小值為1.實數(shù)的取值范圍是，故選：D.點睛：本題考查的知識點是函數(shù)圖象的交點與方程根的關(guān)系，利用導數(shù)求函數(shù)的最值，難度中檔.3、D【解題分析】

由已知求出三棱柱外接球的半徑，得到，進一步求得AB，再由棱錐體積公式結(jié)合基本不等式求最值．【題目詳解】解：塹堵的外接球的體積為，其外接球的半徑，即，又，．則．．即陽馬體積的最大值為．故選：D．【題目點撥】本題考查多面體的體積、均值定理等基礎(chǔ)知識，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，是中檔題．4、A【解題分析】

由已知新運算的意義就是取得中的最小值，因此函數(shù)，只有選項中的圖象符合要求，故選A.5、A【解題分析】

根據(jù)橢圓方程求出、，即可求出、，再根據(jù)余弦定理計算可得；【題目詳解】解：因為，所以，，又因為，，所以，在中，由余弦定理，即，，故選：【題目點撥】本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)及余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】

將甲、乙兩人捆綁在一起，再利用排列公式得到答案.【題目詳解】將甲、乙兩人捆綁在一起，不同站法的種數(shù)為：故答案選D【題目點撥】本題考查了排列組合中的捆綁法，屬于簡單題.7、B【解題分析】

由題意可知，以B為原點，BC，BA，BP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量坐標法求角即可.【題目詳解】∵∴，以B為原點，BC，BA，BP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，∴，設(shè)，則，∵，∴，解得∴∴，∴異面直線與所成角的余弦值為故選B【題目點撥】本題考查了異面直線所成角的余弦值求法問題，也考查了推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．8、A【解題分析】

利用線面平行判定定理可知B、C、D均不滿足題意，從而可得答案．【題目詳解】對于B項，如圖所示，連接CD，因為AB∥CD，M，Q分別是所在棱的中點，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ，同理可證，C，D項中均有AB∥平面MNQ.故選：A.【題目點撥】本題考查空間中線面平行的判定定理，利用三角形中位線定理是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．9、D【解題分析】

對于看成冪函數(shù)，對于與的大小和1比較即可【題目詳解】因為在上為增函數(shù)，所以，由因為，，，所以，所以選擇D【題目點撥】本題主要考查了指數(shù)、對數(shù)之間大小的比較，常用的方法：1、通?？闯芍笖?shù)、對數(shù)、冪函數(shù)比較．2、和0、1比較．10、C【解題分析】分析：設(shè)與直線x-2y+10=0平行且與橢圓相切的直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用，解得，即可得出結(jié)論.詳解：設(shè)與直線x-2y+10=0平行且與橢圓相切的直線方程為，聯(lián)立，化為，，解得，取時，，解得，，.故選：C.點睛：本題考查了直線與橢圓的相切與一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.11、D【解題分析】

化簡復數(shù)為的形式，求得復數(shù)對應點的坐標，由此判斷所在的象限.【題目詳解】，該復數(shù)對應的點為，在第四象限.故選D.【題目點撥】本小題主要考查復數(shù)的運算，考查復數(shù)對應點的坐標所在象限.12、A【解題分析】

先算出，然后套用公式，即可得到本題答案.【題目詳解】由題，得表示“第一次和第二次都取到奇數(shù)”的概率，結(jié)果等于，又有，所以.故選：A【題目點撥】本題主要考查條件概率的計算，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】

根據(jù)題意，拋擲一枚均勻骰子，出現(xiàn)奇數(shù)或偶數(shù)概率為，則且的情況有2種：①當前2次同時出現(xiàn)偶數(shù)時，則后6次出現(xiàn)3次偶數(shù)3次奇數(shù)，②當前2次出現(xiàn)奇數(shù)時，則后6次出現(xiàn)5次偶數(shù)1次奇數(shù)，分別計算相應的概率求和即可.【題目詳解】拋擲一枚均勻骰子，出現(xiàn)奇數(shù)或偶數(shù)概率為，構(gòu)造數(shù)列，使，記，則且的情況為：①當前2次同時出現(xiàn)偶數(shù)時，則后6次出現(xiàn)3次偶數(shù)3次奇數(shù)，相應的概率，②當前2次出現(xiàn)奇數(shù)時，則后6次出現(xiàn)5次偶數(shù)1次奇數(shù)，相應的概率為，所以概率為.故答案為：.【題目點撥】本題考查二項分布概率計算，結(jié)合排列組合與數(shù)列的知識，屬于綜合題，解題的關(guān)鍵在于對所求情況進行分析，再利用二項分布進行概率計算即可，屬于中等題.14、【解題分析】

觀察分子與多邊形邊的關(guān)系及分母中的系數(shù)與多邊形邊的關(guān)系，即可得到答案?！绢}目詳解】在中不等式成立，在四邊形中不等式成立，在五邊形中不等式成立，所以在邊形中不等式成立【題目點撥】本題考查歸納推理，屬于簡單題。15、【解題分析】

首先明確試驗發(fā)生包含的事件是從6個產(chǎn)品中抽2個，共有種結(jié)果，滿足條件的事件是檢測出至少有一個不合格產(chǎn)品，共有種結(jié)果，根據(jù)古典概型概率公式得到結(jié)果.【題目詳解】由題意知本題是一個等可能事件的概率，因為試驗發(fā)生包含的事件是6個產(chǎn)品中抽取2個，共有種結(jié)果，滿足條件的事件是檢測出至少有一個不合格產(chǎn)品，共有種結(jié)果，所以檢測出至少有一個不合格產(chǎn)品的概率是，故答案是：.【題目點撥】該題考查的是有關(guān)等可能事件的概率的求解問題，在解題的過程中，注意對試驗所包含的基本事件數(shù)以及滿足條件的基本事件數(shù)，以及概率公式，屬于簡單題目.16、【解題分析】試題分析：時，不等式為，恒成立，當時，有解得，綜上有．考點：不等式恒成立問題，二次不等式的解集．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）當時，的遞增區(qū)間是，當時，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.【解題分析】

（1）求出，當時，求出，寫出切線的點斜式方程，整理即可；（2）求出的定義域，（或）是否恒成立對分類討論，若恒成立，得到單調(diào)區(qū)間，若不恒成立，求解，即可得到結(jié)論.【題目詳解】（1），當時，，，函數(shù)的圖像在點處的切線方程為，即；（2）的定義域為，，當時，在恒成立，的遞增區(qū)間是，當時，，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，綜上，當時，的遞增區(qū)間是，當時，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.【題目點撥】本題考查導數(shù)幾何意義，利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想，以及計算求解能力，屬于中檔題.18、(I)(II)【解題分析】

(I)對函數(shù)進行求導，求出導函數(shù)小于零時，的取值范圍即可。(II)利用導數(shù)求出函數(shù)的增區(qū)間，結(jié)合（1），判斷當時，函數(shù)的單調(diào)性，然后求出最值。【題目詳解】解:(I)由函數(shù),求導當,解得即的減區(qū)間(II)當,解得即在上遞減,在上遞增故的值域【題目點撥】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及在閉區(qū)間上的最值問題。19、(1)見解析;(2).【解題分析】試題分析：（1）由已知條件證明出平面，根據(jù)面面垂直的判定定理證明出平面平面；（2）取BE的中點為,以為坐標原點，以過點且平行于的直線為軸，過點且平行于的直線為軸，直線為軸，建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，由線面垂直的性質(zhì)定理，分別求出的坐標，求出二面角的余弦值．試題解析：（1）證明：在圖1中連接，則，，．∵，，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）解：取中點，連接，∵，∴，∵平面平面，∴平面．以為坐標原點，以過點且平行于的直線為軸，過點且平行于的直線為軸，直線為軸，建立如圖所示的直角坐標系，則，，，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，由可得；由可得；則，由圖形知二面角的平面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為．20、（1）；（2）.【解題分析】

(1)當時，討論取值范圍去絕對值符號，計算不等式.(2)利用絕對值不等式求函數(shù)最大值為，計算得到答案.【題目詳解】解：（1）當時不等式即為①當時不等式可化為得故②當時不等式可化為恒成立故③當時不等式可化為得故綜合得，不等式的解集為（2）所以得為所求【題目點撥】本題考查了絕對值不等式，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題是解題的關(guān)鍵.21、(1)L(x)=-13x2【解題分析】

（1）由題可知，利潤=售價-成本，分別對年產(chǎn)量不足80件，以及年產(chǎn)量不小于80件計算，代入不同區(qū)間的解析式，化簡求得L(x)=-（2）分別計算年產(chǎn)量不足80件，以及年產(chǎn)量不小于80件的利潤，當年產(chǎn)量不足80件時，由配方法解得利潤的最大值為950萬元，當年產(chǎn)量不小于80件時，由均值不等式解得利潤最大值為1000萬元，故年產(chǎn)量為100件時，利潤最大為1000萬元.【題目詳解】（1）當0<x<80時，L(x)=50x-C(x)-250=50x-1當x≥80時，L(x)=50x-C(x)-250=50x-51x-10000所以L(x)=-13x（2）當0<x<80時，L(x)=-此時，當x=60時，L(x)取得最大值L(60)=950萬元．當x≥80時，L(x)=1200-此時，當x=10000x時，即x=100時，L(x)取得最大