2024屆湖南省瀏陽一中、株洲二中等湘東五校高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測試題含解析

2024屆湖南省瀏陽一中、株洲二中等湘東五校高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，則（）A． B． C． D．2．“1＜x＜2”是“｜x｜＞1”成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則的圖象大致是（）A． B．C． D．4．設(shè)，，都為正數(shù)，那么，用反證法證明“三個數(shù)，，至少有一個不小于2”時，做出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè)是（）A．這三個數(shù)都不大于2 B．這三個數(shù)都不小于2C．這三個數(shù)至少有一個不大于2 D．這三個數(shù)都小于25．某家具廠的原材料費支出x（單位：萬元）與銷售量y（單位：萬元）之間有如下數(shù)據(jù)，根據(jù)表中提供的全部數(shù)據(jù)，用最小二乘法得出y與x的線性回歸方程為，則為（）x24568y2535605575A． B． C． D．56．如圖，在直角梯形中，，是的中點，若在直角梯形中投擲一點，則以，，2為三邊構(gòu)成的三角形為鈍角三角形的概率為（）A． B． C． D．7．給出下列命題：①過圓心和圓上的兩點有且只有一個平面②若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點③若直線上有無數(shù)個點不在平面內(nèi)，則④如果兩條平行線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行⑤垂直于同一個平面的兩條直線平行其中正確的命題的個數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．48．已知復(fù)數(shù)z=2+i，則A． B． C．3 D．59．經(jīng)過橢圓的一個焦點作傾斜角為的直線l，交橢圓于M，N兩點，設(shè)O為坐標(biāo)原點，則等于A． B． C． D．10．的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項為A．-40 B．-20 C．20 D．4011．“不等式成立”是“不等式成立”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體各面中直角三角形的個數(shù)是()A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如果復(fù)數(shù)的實部與虛部相等，則_______.14．已知向量，，且在上的投影為3，則與夾角為__________．15．復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的虛部為______．16．已知為數(shù)列的前項和，若且，設(shè)，則的值是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù).（I）求的最小正周期；（Ⅱ）求在區(qū)間上的值域.18．（12分）大型綜藝節(jié)目《最強(qiáng)大腦》中，有一個游戲叫做盲擰魔方，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進(jìn)行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方，盲擰在外人看來很神奇，其實原理是十分簡單的，要學(xué)會盲擰也是很容易的.根據(jù)調(diào)查顯示，是否喜歡盲擰魔方與性別有關(guān).為了驗證這個結(jié)論，某興趣小組隨機(jī)抽取了50名魔方愛好者進(jìn)行調(diào)查，得到的情況如下表所示：喜歡盲擰不喜歡盲擰總計男22▲30女▲12▲總計▲▲50表1并邀請這30名男生參加盲擰三階魔方比賽，其完成情況如下表所示：成功完成時間（分鐘）[0，10)[10，20)[20，30)[30，40]人數(shù)101055表2（1）將表1補(bǔ)充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為是否喜歡盲擰與性別有關(guān)？（2）根據(jù)表2中的數(shù)據(jù)，求這30名男生成功完成盲擰的平均時間（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；（3）現(xiàn)從表2中成功完成時間在[0，10)內(nèi)的10名男生中任意抽取3人對他們的盲擰情況進(jìn)行視頻記錄，記成功完成時間在[0，10)內(nèi)的甲、乙、丙3人中被抽到的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若不等式在時恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時，證明：．20．（12分）如圖，是通過某城市開發(fā)區(qū)中心O的兩條南北和東西走向的街道，連結(jié)M，N兩地之間的鐵路線是圓心在上的一段圓弧，若點M在點O正北方向3公里；點N到的距離分別為4公里和5公里.（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求鐵路線所在圓弧的方程；（2）若該城市的某中學(xué)擬在點O的正東方向選址建分校，考慮環(huán)境問題，要求校址到點O的距離大于4公里，并且鐵路上任意一點到校址的距離不能小于公里，求該校址距點O的最短距離（注：校址視為一個點）21．（12分）已知橢圓的一個焦點為，左右頂點分別為，經(jīng)過點的直線與橢圓交于兩點.（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）記與的面積分別為和，求的最大值.22．（10分）已知數(shù)列的前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和為.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由題意首先求得的值，然后利用二倍角公式整理計算即可求得最終結(jié)果.【題目詳解】由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式可得：，則.本題選擇B選項.【題目點撥】本題主要考查誘導(dǎo)公式、二倍角公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.2、A【解題分析】

解不等式，進(jìn)而根據(jù)充要條件的定義，可得答案．【題目詳解】由題意，不等式，解得或，故“”是“”成立的充分不必要條件，故選A．【題目點撥】本題主要考查了不等式的求解，以及充分、必要條件的判定，其中解答熟記充分條件、必要條件的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解題分析】

首先求得導(dǎo)函數(shù)解析式，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的奇偶性可排除，再根據(jù)，可排除，從而得到結(jié)果.【題目詳解】由題意得：為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱可排除又當(dāng)時，，可排除本題正確選項：【題目點撥】此題考查函數(shù)圖象的識別，考查對函數(shù)基礎(chǔ)知識的把握程度以及數(shù)形結(jié)合的思維能力，關(guān)鍵是能夠利用奇偶性和特殊位置的符號來排除錯誤選項，屬于中檔題．4、D【解題分析】分析：利用反證法和命題的否定分析解答.詳解：“三個數(shù)，，至少有一個不小于2”的否定是“這三個數(shù)都小于2”，所以做出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè)是這三個數(shù)都小于2.故答案為：D.點睛：（1）本題主要考查反證法，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平.(2)三個數(shù)a,b,c至少有一個不小于m的否定是三個數(shù)都小于m.5、C【解題分析】

由給定的表格可知，，代入，可得．【題目詳解】解：由給定的表格可知，，代入，可得．故選：．【題目點撥】本題考查線性回歸方程，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解題分析】

根據(jù)，，2為三邊構(gòu)成的三角形為鈍角三角形建立不等式，其幾何意義為以原點為圓心，半徑為2的圓在第一象限的部分，用此部分去掉即為符合條件的的運動區(qū)域，作出面積比即可【題目詳解】由題，，，故設(shè)為最長邊長，以，，2為三邊構(gòu)成的三角形為鈍角三角形，即以原點為圓心，半徑為的圓，，故選【題目點撥】本題考查鈍角三角形的三邊關(guān)系，幾何意義轉(zhuǎn)化的能力及幾何概型7、B【解題分析】

依照立體幾何相關(guān)知識，逐個判斷各命題的真假?！绢}目詳解】在①中，當(dāng)圓心和圓上兩點共線時，過圓心和圓上的兩點有無數(shù)個平面，故①錯誤；在②中，若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的任意一條直線平行或異面，都沒有公共點，故②正確；在③中，若直線上有無數(shù)個點不在平面內(nèi)，則與相交或平行，故③錯誤；在④中，如果兩條平行線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行或在這個平面內(nèi)，故④錯誤；在⑤中，由線面垂直的性質(zhì)定理得垂直于同一個平面的兩條直線平行，故⑤正確．故選．8、D【解題分析】

題先求得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算法則即得.【題目詳解】∵故選D.【題目點撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算法則，共軛復(fù)數(shù)的定義等知識，屬于基礎(chǔ)題..9、C【解題分析】

橢圓化標(biāo)準(zhǔn)方程為，求得，設(shè)直線方程為，代入橢圓方程，求得交點坐標(biāo)，由向量坐標(biāo)運算求得．【題目詳解】橢圓方程為，，取一個焦點,則直線方程為，代入橢圓方程得，，所以，選C.【題目點撥】本題綜合考查直線與橢圓相交問題，及向量坐標(biāo)運算，由于本題坐標(biāo)好求所以直接求坐標(biāo)，代入向量坐標(biāo)運算．一般如果不好求坐標(biāo)點，都是用韋達(dá)定理設(shè)而不求．10、D【解題分析】令x=1得a=1.故原式=．的通項，由5-2r=1得r=2,對應(yīng)的常數(shù)項=80，由5-2r=-1得r=3,對應(yīng)的常數(shù)項=-40，故所求的常數(shù)項為40，選D解析2.用組合提取法,把原式看做6個因式相乘，若第1個括號提出x,從余下的5個括號中選2個提出x，選3個提出；若第1個括號提出，從余下的括號中選2個提出，選3個提出x.故常數(shù)項==-40+80=4011、A【解題分析】

分別求解不等式與再判定即可.【題目詳解】可得,解得.又解得.故“不等式成立”是“不等式成立”的充分不必要條件.故選：A【題目點撥】本題主要考查了分式與二次不等式的求解以及充分必要條件的判定.屬于基礎(chǔ)題.12、C【解題分析】把三視圖還原為原幾何體為一個四棱錐，底面是邊長為3的正方形，側(cè)棱底面ABCD，四個側(cè)面均為直角三角形，則此幾何體各面中直角三角形的個數(shù)是4個，選C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、7【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算可求得，根據(jù)實部與虛部相等可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【題目詳解】，，解得：.故答案為：.【題目點撥】本題考查根據(jù)復(fù)數(shù)的實部和虛部定義求解參數(shù)值的問題，涉及到復(fù)數(shù)的除法運算問題，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

根據(jù)投影公式，求得，進(jìn)而得到，再由夾角公式得解．【題目詳解】解：因為，，，由公式在上的投影為得，，求解得，所以，即由向量夾角公式，因為則與夾角．故答案為：．【題目點撥】本題考查平面向量的數(shù)量積及投影公式的運用，考查向量夾角的求法，考查邏輯推理能力及運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．15、1【解題分析】

先將復(fù)數(shù)化簡，再求虛部即可【題目詳解】，所以復(fù)數(shù)的虛部為：1故答案為1【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，在復(fù)數(shù)中，實部為，虛部為，屬于基礎(chǔ)題16、【解題分析】

根據(jù)是等比數(shù)列得出，利用數(shù)列項與和的關(guān)系，求得，從而得出，利用裂項相消法求出答案.【題目詳解】由可知，數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，所以.時，..時,.【題目點撥】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識點有等比數(shù)列通項公式，數(shù)列項與和的關(guān)系，裂項相消法求和，屬于簡單題目.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）；（Ⅱ）.【解題分析】

（I）將函數(shù)的解析式利用二倍角降冪公式、輔助角公式化簡，再利用周期公式可計算出函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）由，求出的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象得出的范圍，于此可得出函數(shù)在區(qū)間上的值域.【題目詳解】（Ⅰ），所以；（Ⅱ）因為，因為，所以，所以，所以的值域為.【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，考查三角函數(shù)的周期和值域問題，首先應(yīng)該將三角函數(shù)解析式化簡，并將角視為一個整體，結(jié)合三角函數(shù)圖象得出相關(guān)性質(zhì)，考查計算能力，屬于中等題．18、(1)能(2)（3）見解析【解題分析】分析：根據(jù)題意完善表格，由卡方公式得出結(jié)論。（2）根據(jù)題意，平均時間為計算即可（3）由題意，滿足超幾何分布，由超幾何分布計算概率，數(shù)學(xué)期望詳解：（1）依題意，補(bǔ)充完整的表1如下：喜歡盲擰不喜歡盲擰總計男22830女81220總計302050由表中數(shù)據(jù)計算得的觀測值為所以能在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為是否喜歡盲擰與性別有關(guān)。（2）依題意，所求平均時間為（分鐘）（3）依題意，X的可能取值為0，1，2，3，故故X的分布列為X0123P故點睛：計算離散型隨機(jī)變量的概率，要融入題目的情景中去，對于文字描述題，題目亢長，要逐句的分析。超幾何分布的特征：1.樣本總體分為兩大類型，要么類，要么類。2.超幾何分布是組合問題，分組或分類，有明顯的選次品的意思。3.超幾何分布是將隨機(jī)變量分類，每一類之間是互斥事件。4.超幾何分布的隨機(jī)變量的確定我們只需搞清楚最少和最多兩種情況，其他的在最少和最多之間。19、（1）見解析；（2）；（3）見解析【解題分析】分析：（1）求出的導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間，注意在解不等式時要按的值分類討論；（2）由（1）的結(jié)論知當(dāng)時，，題中不等式成立，而當(dāng)時，題中不等式不恒成立；（3）時，由（2）知上有，從而，令，然后所有不等式相加可證．詳解：(1)∵y＝f(x)－g(x)＝ln(ax＋1)－，y′＝－＝，當(dāng)a≥1時，y′≥0，所以函數(shù)y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時，由y′>0得x>2，所以函數(shù)y＝f(x)－g(x)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)y＝f(x)－g(x)在上是單調(diào)遞減函數(shù)；(2)當(dāng)a≥1時，函數(shù)y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函數(shù)．所以f(x)－g(x)≥f(0)－g(0)＝1，即不等式f(x)≥g(x)＋1在x∈[0，＋∞)時恒成立，當(dāng)0<a<1時，函數(shù)y＝f(x)－g(x)是上的減函數(shù)，存在，使得f(x0)－g(x0)<f(0)－g(0)＝1，即不等式f(x0)≥g(x0)＋1不成立，綜上，實數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞)．(3)當(dāng)a＝1時，由(2)得不等式f(x)>g(x)＋1在x∈(0，＋∞)時恒成立，即ln(x＋1)>，所以，即<[ln(k＋1)－lnk]．所以<(ln2－ln1)，<(ln3－ln2)，<(ln4－ln3)，…，<[ln(n＋1)－lnn]．將上面各式相加得到，＋＋＋…＋<[(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋(ln4－ln3)＋…＋(ln(n＋1)－lnn)]＝ln(n＋1)＝f(n)．∴原不等式成立．點睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式．在證明函數(shù)不等式時，一般要把不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．另外在函數(shù)問題出現(xiàn)與數(shù)列求和有關(guān)的不等式證明，一般是利用前面小題中的函數(shù)結(jié)論，在函數(shù)的特殊結(jié)論中令變量取特殊值后，再結(jié)合數(shù)列求和的方法進(jìn)行證明．象本題先賦值后相加．20、（1）（；（2）.【解題分析】

（1）以垂直的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)圓心坐標(biāo)為，由圓心到兩點的距離相等求出，即圓心坐標(biāo)，再求出半徑，可得圓方程，圓弧方程在圓方程中對變量加以限制即可。（2）