2024屆廣西南寧市三中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

2024屆廣西南寧市三中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．點M的極坐標(4，A．(4，π3) B．(42．三棱錐中，，，為的中點,分別交，于點、，且，則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．3．在長方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．4．在空間中，“直線平面”是“直線與平面內(nèi)無窮多條直線都垂直”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件5．設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上，恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”，已知當(dāng)時，在上是“凸函數(shù)”，則在上()A．既有極大值,也有極小值 B．既有極大值,也有最小值C．有極大值,沒有極小值 D．沒有極大值,也沒有極小值6．如圖，在正三棱柱中，底面邊長為2，側(cè)棱長為3，點是側(cè)面的兩條對角線的交點，則直線與底面所成角的正切值為（）A． B． C． D．17．某同學(xué)同時擲兩顆骰子，得到點數(shù)分別為，則橢圓的離心率的概率是()A． B． C． D．8．某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的折線圖.根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)9．有一散點圖如圖所示，在5個數(shù)據(jù)中去掉（3，10）后，下列說法正確的是（）A．殘差平方和變小 B．方差變大C．相關(guān)指數(shù)變小 D．解釋變量與預(yù)報變量的相關(guān)性變?nèi)?0．已知復(fù)數(shù)滿足,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．廣告投入對商品的銷售額有較大影響，某電商對連續(xù)5個年度的廣告費和銷售額進行統(tǒng)計，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表（單位：萬元）廣告費23456銷售額2941505971由上表可得回歸方程為，據(jù)此模型，預(yù)測廣告費為10萬元時銷售額約為（）A．118.2萬元 B．111.2萬元 C．108.8萬元 D．101.2萬元12．若一圓柱的側(cè)面積等于其表面積的，則該圓柱的母線長與底面半徑之比為（）A．1：1 B．2：1 C．3：1 D．4：1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某個游戲中，一個珠子按如圖所示的通道，由上至下的滑下，從最下面的六個出口出來，規(guī)定猜中者為勝，如果你在該游戲中，猜得珠子從出口3出來，那么你取勝的概率為_______．14．如圖，從氣球上測得正前方的河流的兩岸，的俯角分別為和，如果這時氣球的高是30米，則河流的寬度為______米.15．若平面的一個法向量為，直線的方向向量為，則與所成角的大小為__________.16．已知直線上總存在點，使得過點作的圓：的兩條切線互相垂直，則實數(shù)的取值范圍是______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)的定義域為集合，集合，（1）若，求；（2）若，求.18．（12分）2019年6月湖北潛江將舉辦第六屆“中國湖北（潛江）龍蝦節(jié)”，為了解不同年齡的人對“中國湖北（潛江）龍蝦節(jié)”的關(guān)注程度，某機構(gòu)隨機抽取了年齡在20—70歲之間的100人進行調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計“年輕人”與“中老年人”的人數(shù)之比為。關(guān)注不關(guān)注合計年輕人30中老年人合計5050100（1）根據(jù)已知條件完成上面的列聯(lián)表，并判斷能否有99﹪的把握認為關(guān)注“中國湖北（潛江）龍蝦節(jié)”是否和年齡有關(guān)？（2）現(xiàn)已經(jīng)用分層抽樣的辦法從中老年人中選取了6人進行問卷調(diào)查，若再從這6人中選取3人進行面對面詢問，記選取的3人中關(guān)注“中國湖北（潛江）龍蝦節(jié)”的人數(shù)為隨機變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。附：參考公式其中。臨界值表：0.050.0100.0013.8416.63510.82819．（12分）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為3，最小值為-17，求的值20．（12分）甲盒有標號分別為1、2、3的3個紅球;乙盒有標號分別為1、2、3、4的4個黑球,從甲、乙兩盒中各抽取一個小球.(1)求抽到紅球和黑球的標號都是偶數(shù)的概率;(2)現(xiàn)從甲乙兩盒各隨機抽取1個小球,記其標號的差的絕對值為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.21．（12分）如圖，圓錐的軸截面為等腰為底面圓周上一點．（1）若的中點為，求證：平面；（2）如果，求此圓錐的體積；（3）若二面角大小為，求.22．（10分）已知中，三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，滿足.（1）求；（2）若，的面積為，求，的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

在點M極徑不變，在極角的基礎(chǔ)上加上π，可得出與點M關(guān)于極點對稱的點的一個極坐標。【題目詳解】設(shè)點M關(guān)于極點的對稱點為M'，則OM'所以點M'的一個極坐標為(4,7π6)【題目點撥】本題考查點的極坐標，考查具備對稱性的兩點極坐標之間的關(guān)系，把握極徑與極角之間的關(guān)系，是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題。2、B【解題分析】

由已知可知，是正三角形，從而，，進而，是的平分線，，由此能求出三棱錐體積的最大值.【題目詳解】由題意得，，所以是正三角形，分別交，于點、，，，，,，，是的平分線，，以為原點，建立平面直角坐標系，如圖：設(shè)，則，整理得，，因此三棱錐體積的最大值為.故選：B【題目點撥】本題考查了三棱錐的體積公式，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.3、D【解題分析】

取CC1的中點F，連結(jié)DF，A1F，EF，推導(dǎo)出四邊形BCEF是平行四邊形，從而異面直線AE與A1D所成角即為相交直線DF與A1D所成角，由此能求出異面直線AE與A1D所成角的余弦值．【題目詳解】取的中點.連接.因為為棱的中點,所以,所以四邊形為平行四邊形.所以.故異面直線與所成的角即為相交直線與所成的角.因為,所以.所以.即為直角三角形,從而.故選D【題目點撥】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．4、A【解題分析】若“直線平面”則“直線與平面內(nèi)無窮多條直線都垂直”，正確；反之，若“直線與平面內(nèi)無窮多條直線都垂直”則“直線平面”是錯誤的，故直線平面”是“直線與平面內(nèi)無窮多條直線都垂直”的充分非必要條件.故選A.5、C【解題分析】此題考查函數(shù)極值存在的判定條件思路：先根據(jù)已知條件確定m的值，然后在判定因為時，在上是“凸函數(shù)”所以在上恒成立，得在是單調(diào)遞減，的對稱軸要滿足與單調(diào)遞增單調(diào)遞減，當(dāng)時有極大值，當(dāng)時有極小值所以在上有極大值無極小值6、C【解題分析】

通過作DH垂直BC，可知為直線與底面所成角，于是可求得答案.【題目詳解】如圖，過D作DH垂直BC于點H，連接DH，AH，于是DH垂直平面ABC，故為直線與底面所成角，而，,故，故選C.【題目點撥】本題主要考查線面角的相關(guān)計算，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計算能力，難度一般.7、C【解題分析】共6種情況8、A【解題分析】

觀察折線圖可知月接待游客量每年7，8月份明顯高于12月份，且折線圖呈現(xiàn)增長趨勢，高峰都出現(xiàn)在7、8月份，1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月波動性更小.【題目詳解】對于選項A，由圖易知月接待游客量每年7，8月份明顯高于12月份，故A錯；對于選項B，觀察折線圖的變化趨勢可知年接待游客量逐年增加，故B正確；對于選項C，D，由圖可知顯然正確.故選A.【題目點撥】本題考查折線圖，考查考生的識圖能力，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解題分析】

由散點圖可知，去掉后，與的線性相關(guān)性加強，由相關(guān)系數(shù)，相關(guān)指數(shù)及殘差平方和與相關(guān)性的關(guān)系得出選項.【題目詳解】由散點圖可知，去掉后，與的線性相關(guān)性加強，且為正相關(guān)，所以變大，變大，殘差平方和變小，故選A.【題目點撥】該題考查的是有關(guān)線性相關(guān)性強弱的問題，涉及到的知識點有相關(guān)系數(shù)，相關(guān)指數(shù)，以及殘差平方和與相關(guān)性的關(guān)系，屬于簡單題目.10、A【解題分析】

把已知變形等式，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.【題目詳解】由，得，∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為，在第一象限．故選：A．【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解題分析】分析：平均數(shù)公式可求出與的值,從而可得樣本中心點的坐標，代入回歸方程求出，再將代入回歸方程得出結(jié)論.詳解：由表格中數(shù)據(jù)可得，，，解得，回歸方程為，當(dāng)時，，即預(yù)測廣告費為10萬元時銷售額約為，故選B.點睛：本題考查了線性回歸方程的性質(zhì)與數(shù)值估計，屬于基礎(chǔ)題.回歸直線過樣本點中心是一條重要性質(zhì)，利用線性回歸方程可以估計總體，幫助我們分析兩個變量的變化趨勢.12、B【解題分析】

設(shè)這個圓柱的母線長為，底面半徑為，根據(jù)已知條件列等式，化簡可得答案.【題目詳解】設(shè)這個圓柱的母線長為，底面半徑為，則，化簡得，即，故選：B【題目點撥】本題考查了圓柱的側(cè)面積公式，考查了圓柱的表面積公式，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

從頂點到3總共有5個岔口，共有10種走法，每一岔口走法的概率都是，二項分布的概率計算公式，即可求解.【題目詳解】由題意，從頂點到3的路線圖單獨畫出來，如圖所示，可得從頂點到3總共有種走法，其中每一岔口走法的概率都是，所以珠子從出口3出來的概率為.【題目點撥】本題主要考查了二項分布的一個模型，其中解答中認真審題，合理利用二項分布的概率計算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

由題意畫出圖形，利用特殊角的三角函數(shù)，可得答案．【題目詳解】解：由題意可知，，，，．故答案為.【題目點撥】本題給出實際應(yīng)用問題，著重考查了三角函數(shù)的定義，屬于簡單題．15、.【解題分析】

利用向量法求出直線與平面所成角的正弦值，即可得出直線與平面所成角的大小.【題目詳解】設(shè)，，設(shè)直線與平面所成的角為，則，，.因此，直線與平面所成角的大小為，故答案為.【題目點撥】本題考查利用空間向量法求直線與平面所成的角，解題的關(guān)鍵就是利用空間向量進行轉(zhuǎn)化，考查計算能力，屬于中等題.16、【解題分析】分析：若直線l上總存在點M使得過點M的兩條切線互相垂直，只需圓心（﹣1，2）到直線l的距離，即可求出實數(shù)m的取值范圍．詳解：如圖，設(shè)切點分別為A，B．連接AC，BC，MC，由∠AMB=∠MAC=∠MBC=90°及MA=MB知，四邊形MACB為正方形，故，若直線l上總存在點M使得過點M的兩條切線互相垂直，只需圓心（﹣1，2）到直線l的距離，即m2﹣8m﹣20≤0，∴﹣2≤m≤10，故答案為：﹣2≤m≤10.點睛：（1）本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力數(shù)形結(jié)合的思想方法.(2)解答本題的關(guān)鍵是分析出.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、解：（1）；（2）.【解題分析】試題分析：（1）把代入二次不等式求集合B，根據(jù)函數(shù)定義域化簡集合A，然后根據(jù)交集的運算法則直接運算即可．（2）時求出集合B,化簡集合A,再求出A、B的補集，根據(jù)集合的交集運算即可．試題解析：（1），得，∵，∴，∴.（2）∵，∴，∴，∴.18、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解題分析】

(1)首先將列聯(lián)表填寫完整，根據(jù)公式計算，再與臨界值表作比較得到答案.(2)首先計算關(guān)注人數(shù)的概率，再寫出分布列，計算數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】解：關(guān)注不關(guān)注合計年輕人103040中老年人402060合計5050100其中代入公式的≈，故有﹪的把握認為關(guān)注“中國湖北（潛江）龍蝦節(jié)”和年齡有關(guān).（2）抽取的6位中老年人中有4人關(guān)注，2人不關(guān)注，則可能取的值有所以的分布列為123P【題目點撥】本題考查了列聯(lián)表的計算，分布列和數(shù)學(xué)期望的計算，意在考查學(xué)生的計算能力.19、k=﹣1，B=﹣17或k=1，B=3【解題分析】試題分析：由題設(shè)知k≠1且f'（x）=3kx（x-2），1＜x＜2時，x（x-2）＜1；x＜1或x＞2時，x（x-2）＞1；x=1和x=2時，f'（x）=1．由題設(shè)知-2≤x≤2，f（-2）=-21k+B，f（1）=B，f（2）=-4k+B．由此能夠求出k、B的值試題解析：由題設(shè)知k≠1且f'（x）=3kx（x﹣2），1＜x＜2時，x（x﹣2）＜1；x＜1或x＞2時，x（x﹣2）＞1；x=1和x=2時，f'（x）=1．由題設(shè)知﹣2≤x≤2，f（﹣2）=﹣21k+B，f（1）=B，f（2）=﹣4k+B①k＜1時，﹣2＜x＜1時，f'（x）＜1；1＜x＜2時，f'（x）＞1，∴f（x）在[﹣2，1）上遞減，在（1，2）上遞增，x=1為最小值點；∵f（﹣2）＞f（2）∴f（x）的最大值是f（﹣2）即，解得k=-1，B=-17②k＞1時，，解得k=1，B=3綜上，k=﹣1，B=﹣17或k=1，B=3考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值20、（1）（2）見解析【解題分析】

（1）由獨立事件的概率公式即可得到答案；（2）的所有可能取值為0,1,2,3，分別計算概率，于是得到分布列和數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】（1）由題意，抽到紅球是偶數(shù)的概率為，抽到黑球是偶數(shù)的概率為因為兩次抽取是相互獨立事件，所以由獨立事件的概率公式，得抽到紅球和黑球的標號都是偶數(shù)的概率為（2）由題意，的所有可能取值為0,1,2,3故的分布列為0123故的數(shù)學(xué)期望為【題目點撥】本題主要考查相互獨立事