山東省莒縣第一中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題含解析

山東省莒縣第一中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知過點作曲線的切線有且僅有1條，則實數(shù)的取值是（）A．0 B．4 C．0或-4 D．0或42．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知，，，則b=A． B． C．2 D．33．如圖是某手機商城2018年華為、蘋果、三星三種品牌的手機各季度銷量的百分比堆積圖（如：第三季度華為銷量約占50%，蘋果銷量約占20%，三星銷量約占30%）．根據(jù)該圖，以下結(jié)論中一定正確的是（）A．華為的全年銷量最大 B．蘋果第二季度的銷量大于第三季度的銷量C．華為銷量最大的是第四季度 D．三星銷量最小的是第四季度4．已知集合A=A．x0<x≤3 B．x0≤x≤3 C．x5．已知，，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．06．方程的實根所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的圖象如圖，則與的關(guān)系是：（）A． B．C． D．不能確定8．設(shè)集合，，，則中的元素個數(shù)為（）A． B． C． D．9．連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，在已知兩次的點數(shù)均為偶數(shù)的條件下，兩次的點數(shù)之和不大于8的概率為（）A． B． C． D．10．一個盒子里有7個紅球，3個白球，從盒子里先取一個小球，然后不放回的再從盒子里取出一個小球，若已知第1個是紅球的前提下，則第2個是白球的概率是（）A． B． C． D．11．《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：今有竹九節(jié)，欲均減容之（其意為：使容量均勻遞減），上三節(jié)容四升，下三節(jié)容二升，中三節(jié)容幾何？（）A．二升 B．三升 C．四升 D．五升12．直線y=a分別與直線y=2x+2，曲線y=x+lnx交于點A、A．3 B．2 C．324二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線l過點（1,0）且垂直于??軸，若l被拋物線截得的線段長為4，則拋物線的焦點坐標(biāo)為_________.14．若復(fù)數(shù)滿足，則的取值范圍是______．15．若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則__________．16．李華經(jīng)營了甲、乙兩家電動轎車銷售連鎖店，其月利潤(單位：元)分別為，(其中x為銷售輛數(shù))，若某月兩連鎖店共銷售了110輛，則能獲得的最大利潤為______元．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）若函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若，對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知橢圓滿足：過橢圓C的右焦點且經(jīng)過短軸端點的直線的傾斜角為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)為坐標(biāo)原點，若點在直線上，點在橢圓C上，且，求線段長度的最小值.19．（12分）已知函數(shù)．（1）若在處的切線過點，求的值；（2）若在上存在零點，求a的取值范圍．20．（12分）某IT從業(yè)者繪制了他在26歲～35歲(2009年～2018年)之間各年的月平均收入（單位：千元）的散點圖：（1）由散點圖知，可用回歸模型擬合與的關(guān)系，試根據(jù)附注提供的有關(guān)數(shù)據(jù)建立關(guān)于的回歸方程（2）若把月收入不低于2萬元稱為“高收入者”.試?yán)茫?）的結(jié)果，估計他36歲時能否稱為“高收入者”？能否有95%的把握認(rèn)為年齡與收入有關(guān)系？附注：①.參考數(shù)據(jù)：，，,，，,，其中，取，②.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計分別為:，P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828③.．21．（12分）已知函數(shù)fx（1）當(dāng)a=2，求函數(shù)fx（2）若函數(shù)fx22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線：，以原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.設(shè)直線與曲線交于，兩點.（1）當(dāng)時，求，兩點的直角坐標(biāo)；（2）當(dāng)變化時，求線段中點的軌跡的極坐標(biāo)方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

求出導(dǎo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化求解切線方程，通過方程有兩個相等的解，推出結(jié)果即可．【題目詳解】設(shè)切點為，且函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，所以，則切線方程為，切線過點，代入得，所以，即方程有兩個相等的解，則有，解得或，故選C．【題目點撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、D【解題分析】

由余弦定理得，解得（舍去），故選D.【考點】余弦定理【名師點睛】本題屬于基礎(chǔ)題,考查內(nèi)容單一,根據(jù)余弦定理整理出關(guān)于b的一元二次方程,再通過解方程求b.運算失誤是基礎(chǔ)題失分的主要原因,請考生切記！3、A【解題分析】

根據(jù)圖象即可看出，華為在每個季度的銷量都最大，從而得出華為的全年銷量最大，從而得出正確；由于不知每個季度的銷量多少，從而蘋果、華為和三星在哪個季度的銷量大或小是沒法判斷的，從而得出選項，，都錯誤．【題目詳解】根據(jù)圖象可看出，華為在每個季度的銷量都最大，所以華為的全年銷量最大；每個季度的銷量不知道，根據(jù)每個季度的百分比是不能比較蘋果在第二季度和第三季度銷量多少的，同樣不能判斷華為在哪個季度銷量最大，三星在哪個季度銷量最?。?，，都錯誤，故選．【題目點撥】本題主要考查對銷量百分比堆積圖的理解．4、A【解題分析】

先化簡求出集合A，B，進而求出A∩B．【題目詳解】∵集合A={x|x-3xB={x|x≥0}，∴A∩B={x|0＜x≤3}．故選：A．【題目點撥】本題考查交集的求法，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．5、B【解題分析】

由題意可作出函數(shù)f(x)和g(x)的圖象，圖象公共點的個數(shù)即為函數(shù)h(x)=f(x)?g(x)的零點個數(shù)．【題目詳解】可由題意在同一個坐標(biāo)系中畫出f(x)=2lnx，的圖象，其中紅色的為f(x)=2lnx的圖象，由圖象可知：函數(shù)f(x)和g(x)的圖象有2個公共點，即h(x)=f(x)?g(x)的零點個數(shù)為2，故選：B．【題目點撥】本題考查函數(shù)的零點問題，屬于函數(shù)與方程思想的綜合運用，求零點個數(shù)問題通常采用數(shù)形結(jié)合方法，畫出圖像即可得到交點個數(shù)，屬于中等題.6、B【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，考查該函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理得出答案．【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)，則該函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，，由零點存在定理可知，方程的實根所在區(qū)間為，故選B.【題目點撥】本題考查零點所在區(qū)間，考查零點存在定理的應(yīng)用，注意零點存在定理所適用的情形，必要時結(jié)合單調(diào)性來考查，這是解函數(shù)零點問題的常用方法，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解題分析】

通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合圖像即得答案.【題目詳解】由于導(dǎo)數(shù)表示的幾何意義是切線斜率，而由圖可知，在A處的切線傾斜角小于在B處切線傾斜角，且都在第二象限，故，答案為B.【題目點撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，比較基礎(chǔ).8、C【解題分析】分析：由題意列表計算所有可能的值，然后結(jié)合集合元素的互異性確定集合M，最后確定其元素的個數(shù)即可.詳解：結(jié)合題意列表計算M中所有可能的值如下：2341234246836912觀察可得：，據(jù)此可知中的元素個數(shù)為.本題選擇C選項.點睛：本題主要考查集合的表示方法，集合元素的互異性等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.9、D【解題分析】

求出兩次點均為偶數(shù)的所有基本事件的個數(shù)，再求出在兩次均為偶數(shù)而且和不大于8的基本事件的個數(shù)后可得概率．【題目詳解】記，，因為，，所以．故選：D.【題目點撥】本題考查條件概率，本題解題關(guān)鍵是求出兩次的點數(shù)均為偶數(shù)的條件下，兩次的點數(shù)之和不大于8所含有的基本事件的個數(shù)．10、B【解題分析】分析：設(shè)已知第一次取出的是紅球為事件，第二次是白球為事件，先求出的概率，然后利用條件概率公式進行計算即可．詳解：設(shè)已知第一次取出的是紅球為事件，第二次是白球為事件．

則由題意知，所以已知第一次取出的是白球，則第二次也取到白球的概率為．

故選：B．點睛：本題主要考查條件概率的求法，熟練掌握條件概率的概率公式是關(guān)鍵．11、B【解題分析】

由題意可得，上、中、下三節(jié)的容量成等差數(shù)列．再利用等差數(shù)列的性質(zhì)，求出中三節(jié)容量，即可得到答案．【題目詳解】由題意，上、中、下三節(jié)的容量成等差數(shù)列，上三節(jié)容四升，下三節(jié)容二升，則中三節(jié)容量為，故選B．【題目點撥】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的等差中項公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．12、D【解題分析】試題分析：設(shè)A(x1,a),B(x2,a)，則2(x1+1)=x2+lnx2考點：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：根據(jù)題干描述畫出相應(yīng)圖形，分析可得拋物線經(jīng)過點，將點坐標(biāo)代入可求參數(shù)的值，進而可求焦點坐標(biāo).詳細(xì)：由題意可得，點在拋物線上，將代入中，解得：，，由拋物線方程可得：，焦點坐標(biāo)為.點睛：此題考查拋物線的相關(guān)知識，屬于易得分題，關(guān)鍵在于能夠結(jié)合拋物線的對稱性質(zhì)，得到拋物線上點的坐標(biāo)，再者熟練準(zhǔn)確記憶拋物線的焦點坐標(biāo)公式也是保證本題能夠得分的關(guān)鍵.14、【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的模的幾何意義，結(jié)合的幾何意義，設(shè)出圓上任意一點坐標(biāo)，利用兩點間距離公式列式，化簡求得的取值范圍.【題目詳解】由于復(fù)數(shù)滿足，故復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在圓心為原點，半徑為的圓上，設(shè)圓上任意一點的坐標(biāo)為.表示圓上的點到和兩點距離之和，即①，①式平方得，由于，所以，所以，所以，所以.故答案為：.【題目點撥】本小題主要考查復(fù)數(shù)模的幾何意義，考查運算求解能力，屬于中檔題.15、【解題分析】分析：先設(shè),再代入，利用復(fù)數(shù)相等的概念得到z,再求.詳解：設(shè)，代入得所以，故答案為.點睛：（1）本題主要考查復(fù)數(shù)的計算和復(fù)數(shù)的模，考查復(fù)數(shù)相等的概念，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和基本的計算能力.(2)求復(fù)數(shù)z可以利用直接法和待定系數(shù)法，本題利用的是待定系數(shù)法.16、33000【解題分析】

設(shè)其中一家連鎖店銷售輛，則另一家銷售輛，再列出總利潤的表達(dá)式，是一個關(guān)于的二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出它的最大值即可．【題目詳解】依題意，可設(shè)甲這一家銷售了輛電動車，則乙這家銷售了輛電動車，總總利潤，所以，當(dāng)時，取得最大值，且，故答案為.【題目點撥】本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查二次函數(shù)最值等基礎(chǔ)知識，解題的關(guān)鍵在于確定函數(shù)的解析式，考查學(xué)生的應(yīng)用能力，屬于中等題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）將問題轉(zhuǎn)化為對恒成立，然后利用參變量分離法得出，于是可得出實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數(shù)在上是增函數(shù)，設(shè)，并設(shè)，得知在區(qū)間上為減函數(shù)，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用參變量分離法得到，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最大值可求出實數(shù)的取值范圍?！绢}目詳解】（Ⅰ）易知不是常值函數(shù)，∵在上是增函數(shù)，∴恒成立，所以，只需；（Ⅱ）因為，由（Ⅰ）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，則，可化為，設(shè)，則，所以為上的減函數(shù)，即在上恒成立，等價于在上恒成立，設(shè)，所以，因，所以，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）．所以．即的最小值為1．【題目點撥】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)不等式恒成立問題，對于函數(shù)雙變量不等式問題，應(yīng)轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的單調(diào)性問題，難點在于利用不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)，考查分析能力，屬于難題。18、（I）；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）設(shè)出短軸端點的坐標(biāo)，根據(jù)過右焦點與短軸端點的直線的傾斜角為，可以求出斜率，這樣就可以求出，再根據(jù)右焦點，可求出，最后利用求出，最后寫出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)點的坐標(biāo)分別為，其中，由，可得出等式，求出線段長度的表達(dá)式，結(jié)合求出的等式和基本不等式，可以求出線段長度的最小值.【題目詳解】（I）設(shè)橢圓的短軸端點為（若為上端點則傾斜角為鈍角），則過右焦點與短軸端點的直線的斜率，（Ⅱ）設(shè)點的坐標(biāo)分別為，其中,即就是，解得.又，且當(dāng)時等號成立，所以長度的最小值為【題目點撥】本題考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了利用基本不等式求線段長最小值問題，考查了數(shù)學(xué)運算能力.19、（1）；（2）．【解題分析】

（1）求出，然后求出和，然后表示出切線方程，把點代入方程即可取出（2）由得，然后求出，的值域即可.【題目詳解】解：（1）∵．∴，又∵，∴在點處的切線方程為，即．由過點得：，．（2）由，得，令，．∴，令，解得，或．易知，，，，由在上存在零點，得的取值范圍為．【題目點撥】若方程有根，則的范圍即為函數(shù)的值域.20、（1）（2）他36歲時能稱為“高收入者”,有95%的把握認(rèn)為年齡與收入有關(guān)系【解題分析】

（1）分別計算出，，帶入即可．（2）將2代入比較即可，計算觀測值，與臨界值比較可得結(jié)論．【題目詳解】（1）令，則∴∴(2)把帶入（千元）≥2（萬元）∴他36歲時能稱為“高收入者”.故有95%的把握認(rèn)為年齡與收入有關(guān)系【題目點撥】本題考查線性回歸直線、獨立性檢驗，屬于基礎(chǔ)題．21、（1）見解析；(2)0,2【解題分析】

（1）代入a的值，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的零點個數(shù)確定a的范圍即可．【