2024屆湖南省長郡中學(xué)、衡陽八中等十三校重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2024屆湖南省長郡中學(xué)、衡陽八中等十三校重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．正三角形ABC的邊長為2，將它沿高AD翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離為，此時(shí)四面體ABCD外接球表面積為（）A． B． C． D．2．己知復(fù)數(shù)z1=3+ai(a∈R),z2A．-1 B．1 C．10 D．33．過點(diǎn)且與平行的直線與圓：交于，兩點(diǎn)，則的長為（）A． B． C． D．4．已知復(fù)數(shù)滿足方程，復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部和為，則實(shí)數(shù)（）A． B． C． D．5．定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上是()A．增函數(shù)且 B．增函數(shù)且C．減函數(shù)且 D．減函數(shù)且6．已知曲線：經(jīng)過點(diǎn)，則的最小值為（）A．10 B．9 C．6 D．47．下列函數(shù)中，滿足“且”的是()A． B．C． D．8．已知復(fù)數(shù)，則（）A．4 B．6 C．8 D．109．已知定義在上的函數(shù)滿足，且函數(shù)在上是減函數(shù)，若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．10．針對時(shí)下的“抖音熱”，某校團(tuán)委對“學(xué)生性別和喜歡抖音是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的女生人數(shù)是男生人數(shù)的12，男生喜歡抖音的人數(shù)占男生人數(shù)的16，女生喜歡抖音的人數(shù)占女生人數(shù)23，若有99%參考公式：KP0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828A．12人 B．18人 C．24人 D．30人11．．設(shè)(x1,y1),(x2,y2A．x和y的相關(guān)系數(shù)為直線l的斜率B．x和y的相關(guān)系數(shù)在0到1之間C．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，分布在l兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)一定相同D．直線l過點(diǎn)(12．函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的值為（）A．2B．1C．0D．不能確定二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知服從二項(xiàng)分布，則________.14．若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，則該雙曲線的漸近線方程是______15．已知函數(shù)，若，則m的取值范圍是___________.16．在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，與交于兩點(diǎn)，則_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線：.（1）求直線的普通方程及曲線直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值.18．（12分）已知函數(shù)滿足，其中.（1）求的值及的最小正周期；（2）當(dāng)時(shí)，求的最值.19．（12分）已知函數(shù)（其中），．（Ⅰ）若命題“”是真命題，求的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)命題：；命題：．若是真命題，求的取值范圍．20．（12分）設(shè)函數(shù)，，，其中是的導(dǎo)函數(shù).（1）令，，，求的表達(dá)式；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù).(I)求的減區(qū)間;(II)當(dāng)時(shí),求的值域.22．（10分）甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)入新華書店購買數(shù)學(xué)課外閱讀書籍，經(jīng)過篩選后，他們都對三種書籍有購買意向，已知甲同學(xué)購買書籍的概率分別為,乙同學(xué)購買書籍的概率分別為,假設(shè)甲、乙是否購買三種書籍相互獨(dú)立.（1）求甲同學(xué)購買3種書籍的概率；（2）設(shè)甲、乙同學(xué)購買2種書籍的人數(shù)為,求的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：三棱錐的三條側(cè)棱，底面是等腰三角形，它的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，然后求球的表面積即可.詳解：根據(jù)題意可知三棱錐的三條側(cè)棱，底面是等腰三角形，它的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，三棱柱中，底面，,，的外接圓的半徑為，由題意可得：球心到底面的距離為.球的半徑為.外接球的表面積為：.故選：C.點(diǎn)睛：考查空間想象能力，計(jì)算能力.三棱柱上下底面中點(diǎn)連線的中點(diǎn)，到三棱柱頂點(diǎn)的距離相等，說明中心就是外接球的球心，是本題解題的關(guān)鍵，仔細(xì)觀察和分析題意，是解好數(shù)學(xué)題目的前提.2、B【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和純虛數(shù)的概念求得.【題目詳解】由已知得：z1z所以3-3a=09+a≠0,解得：故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和純虛數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解題分析】

由題意可得直線，求得圓心到直線距離，再由弦長公式即可求解【題目詳解】設(shè)直線過點(diǎn)，可得，則直線圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，圓心到直線距離，，故選D【題目點(diǎn)撥】本題考查用設(shè)一般方程求平行直線方程以及幾何法求圓的弦長問題4、D【解題分析】分析：由復(fù)數(shù)的運(yùn)算，化簡得到z，由實(shí)部與虛部的和為1，可求得的值．詳解：因?yàn)樗砸驗(yàn)閺?fù)數(shù)的實(shí)部與虛部和為即所以所以選D點(diǎn)睛：本題考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和概念，考查了計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．5、B【解題分析】

先利用函數(shù)奇偶性求出函數(shù)在上的解析式，然后利用周期性求出函數(shù)在上的解析式，結(jié)合解析式對其單調(diào)性以及函數(shù)值符號(hào)下結(jié)論．【題目詳解】設(shè)，則，，由于函數(shù)為上的奇函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，則.所以，函數(shù)在上是增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)值符號(hào)的判斷，解決函數(shù)問題關(guān)鍵在于求出函數(shù)的解析式，本題的核心在于利用奇偶性與周期性求出函數(shù)的解析式，屬于中等題．6、B【解題分析】

曲線過點(diǎn)得，所以展開利用均值不等式可求最小值.【題目詳解】由曲線：經(jīng)過點(diǎn)得.所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查利用均值不等式求滿足條件的最值問題，特殊數(shù)值1的特殊處理方法，屬于中檔題.7、C【解題分析】

根據(jù)題意知，函數(shù)在上是減函數(shù)，根據(jù)選項(xiàng)判斷即可?！绢}目詳解】根據(jù)題意知，函數(shù)在上是減函數(shù)。選項(xiàng)A，在上是增函數(shù)，不符合；選項(xiàng)B，在上不單調(diào)，不符合；選項(xiàng)C，在上是減函數(shù)，符合；選項(xiàng)D，在上是增函數(shù)，不符合；綜上，故選C?！绢}目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的定義應(yīng)用以及常見函數(shù)的單調(diào)性的判斷。8、D【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式進(jìn)行計(jì)算即可．【題目詳解】z＝8+6i，則8﹣6i，則||10，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的模長的計(jì)算，根據(jù)條件求出是解決本題的關(guān)鍵．9、B【解題分析】

利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性可得，距離y軸近的點(diǎn)，對應(yīng)的函數(shù)值較小，可得選項(xiàng).【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，且函數(shù)在上是減函數(shù)，所以可知距離y軸近的點(diǎn)，對應(yīng)的函數(shù)值較小；，且，所以，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng).10、B【解題分析】

設(shè)男生人數(shù)為x，女生人數(shù)為x2，完善列聯(lián)表，計(jì)算K2【題目詳解】設(shè)男生人數(shù)為x，女生人數(shù)為x喜歡抖音不喜歡抖音總計(jì)男生1656x女生1316x總計(jì)xx32K男女人數(shù)為整數(shù)故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.11、D【解題分析】因回歸直線一定過這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)(x點(diǎn)睛：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系.事實(shí)上，函數(shù)關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系.如果線性相關(guān)，則直接根據(jù)用公式求a,b，寫出回歸方程，回歸直線方程恒過點(diǎn)12、A【解題分析】試題分析：∵函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，∴，令代入可得，函數(shù)關(guān)于對稱，由函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)關(guān)于對稱從而有，故選A．考點(diǎn)：奇偶函數(shù)圖象的對稱性．【思路點(diǎn)睛】利用奇函數(shù)的定義可把已知轉(zhuǎn)化為，從而可得函數(shù)關(guān)于對稱，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則關(guān)于對稱，代入即可求出結(jié)果．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：先根據(jù)二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望公式得，再求.詳解：因?yàn)榉亩?xiàng)分布，所以所以點(diǎn)睛：本題考查二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望公式，考查基本求解能力.14、【解題分析】

利用雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求解，然后求解雙曲線的漸近線方程?！绢}目詳解】雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，可得，解得，所以雙曲線的漸近線方程是故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的漸近線方程，屬于基礎(chǔ)題。15、【解題分析】

求導(dǎo)得到，利用均值不等式判斷，得到函數(shù)單調(diào)遞增，故，解得答案.【題目詳解】，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又，，可得，解得或.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，均值不等式，意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.16、8【解題分析】

將曲線極坐標(biāo)方程化為化為直角坐標(biāo)方程，將直線參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，得到韋達(dá)定理的形式；利用可求得結(jié)果.【題目詳解】曲線的直角坐標(biāo)方程為：，把直線代入得：，，，則.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程中的弦長問題的求解，涉及到極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)，直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義等知識(shí)的應(yīng)用；關(guān)鍵是明確直線參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)的幾何意義，利用幾何意義知所求弦長為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）直線的普通方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為；（2）.【解題分析】

(1)直接利用參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程公式得到答案.(2)計(jì)算圓心到直線的距離，判斷相離，再利用公式得到答案.【題目詳解】解：（1）直線的普通方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為（2）曲線的圓心到直線的距離所以直線與圓相離，則曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為【題目點(diǎn)撥】本題考查了參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程，將圓上的點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離是解題的關(guān)鍵.18、（1）；（2）最大值為3，最小值為．【解題分析】

(1)代入即可得到的值，化簡整理，利用周期公式即可得到答案；（2）當(dāng)，利用第一問求得的解析式分析可得到最值.【題目詳解】解：（1）由，得，解得所以函數(shù)的最小正周期（2）當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為3，最小值為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)中周期的計(jì)算，最值的計(jì)算，意在考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，難度不大.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解題分析】試題分析：（1），即，，解得；（2）是真命題，則都是真命題.當(dāng)時(shí)，，故需.或，故，.當(dāng)時(shí)，，故需.，所以，.綜上所述，.試題解析：（1）∵命題“”是真命題，即，∴，解得，∴的取值范圍是；（2）∵是真命題，∴與都是真命題，當(dāng)時(shí)，，又是真命題，則∵，∴，∴或∴，解得當(dāng)時(shí)，∵是真命題，則，使得，而∵，∴，∴，解得求集合的交集可得.考點(diǎn)：命題真假性判斷，含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題．20、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）求出的解析式，依次計(jì)算即可得出猜想；

（2）已知恒成立，即恒成立．設(shè)(x≥0)，則φ′(x)＝=－＝，對進(jìn)行討論，求出的最小值，令恒成立即可；詳解：由題設(shè)得，g(x)＝(x≥0)．(1)由已知，g1(x)＝，g2(x)＝g(g1(x))＝＝，g3(x)＝，…，可得gn(x)＝.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．①當(dāng)n＝1時(shí)，g1(x)＝，結(jié)論成立．②假設(shè)n＝k時(shí)結(jié)論成立，即gk(x)＝.那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，gk＋1(x)＝g(gk(x))＝＝，即結(jié)論成立．由①②可知，結(jié)論對n∈N＋成立．所以gn(x)＝.(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥恒成立．設(shè)φ(x)＝ln(1＋x)－(x≥0)，則φ′(x)＝=－＝，當(dāng)a≤1時(shí)，φ′(x)≥0(僅當(dāng)x＝0，a＝1時(shí)等號(hào)成立)，∴φ(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，又φ(0)＝0，∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a≤1時(shí)，ln(1＋x)≥恒成立(僅當(dāng)x＝0時(shí)等號(hào)成立)．當(dāng)a>1時(shí)，對x∈(0，a－1]有φ′(x)<0，∴φ(x)在(0，a－1]上單調(diào)遞減，∴φ(a－1)<φ(0)＝0，即a>1時(shí)，存在x>0，使φ(x)<0，故知ln(1＋x)≥不恒成立．綜上可知，a的取值范圍是(－∞，1]．點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性判斷與最值計(jì)算，數(shù)學(xué)歸納法證明，分類討論思想，屬于中檔題．21、(I)(II)【解題分析】

(I)對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求出導(dǎo)函數(shù)小于零時(shí)，的取值范圍即可。(II)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的增區(qū)間，結(jié)合（1），判斷當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性，然后求出最值?！绢}目詳解】解:(I)由函數(shù),求導(dǎo)當(dāng),解得即的減區(qū)間(II)當(dāng),解得即在上遞減,在上遞增故的值域【題目點(diǎn)撥】本題考查了