2024屆北京市石景山區(qū)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024屆北京市石景山區(qū)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】解不等式求得集合，進(jìn)而求得.【詳解】，解得，所以，所以.故選：A2．已知復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)乘法法則計算即可.【詳解】由題意得在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為，則所對應(yīng)的點(diǎn)為，所以，則，故選：B.3．展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式直接求解即可.【詳解】由展開式的通項(xiàng)公式=,,令即,∴展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式來解決二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)的系數(shù),屬于基礎(chǔ)題.4．已知向量，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，利用即可得出的值.【詳解】由題意，，∴，∵，∴，解得：，故選：B.5．已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)由求和公式得，再結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)性質(zhì)即可求解．【詳解】由題意，所以，故選：C．6．直線與圓有兩個不同交點(diǎn)的一個充分不必要條件是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系、充分不必要條件等知識確定正確答案.【詳解】圓，即，所以圓心為，半徑為，若直線與圓有兩個不同交點(diǎn)，則，，符合題意的只有.故選：A7．設(shè)函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析、對數(shù)運(yùn)算、指數(shù)運(yùn)算求得正確答案.【詳解】，由于，所以，所以.故選：C8．在中，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理和三角恒等變換等知識求得正確答案.【詳解】依題意，，由正弦定理得，由于，所以，所以，所以是銳角，且.故選：B9．設(shè)函數(shù)，則是（

）A．偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增B．奇函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞減C．偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增D．奇函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞減【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求得正確答案.【詳解】的定義域?yàn)?，，所以是奇函?shù)，AC選項(xiàng)錯誤.當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知在區(qū)間單調(diào)遞增，B選項(xiàng)錯誤.當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知在區(qū)間單調(diào)遞減，D選項(xiàng)正確.故選：D10．在正方體中，點(diǎn)在正方形內(nèi)（不含邊界），則在正方形內(nèi)（不含邊界）一定存在一點(diǎn)，使得（

）

A． B．C．平面 D．平面平面【答案】A【分析】作出截面后可作，從而判斷A，利用線面垂直的性質(zhì)判斷BC，根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷D．【詳解】選項(xiàng)A，正方體中，顯然有，連接延長，如果直線交棱于點(diǎn)（圖1），則作交于，連接，則是梯形，作交于，則平面，如果直線交棱于點(diǎn)（圖2），則直接連接，在三角形內(nèi)作交于，也有平面，因此A正確；

選項(xiàng)B，正方體中易知平面，因此與垂直的直線都可能平移到平面內(nèi)，而當(dāng)平面，平面時，直線與平面相交，不可能平移到平面內(nèi)，B錯；選項(xiàng)C，由選項(xiàng)B知與不可能垂直，因此與平面也不可能垂直，C錯；選項(xiàng)D，過的平面只有平面與平面平行，因此要使得平面平面，則平面與平面重合，從而點(diǎn)只能在棱上，與已知不符，D錯．故選：A．二、填空題11．函數(shù)的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)函數(shù)定義域的求法求得正確答案.【詳解】依題意，，解得，所以的定義域?yàn)?故答案為：12．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為．【答案】/【分析】根據(jù)與的關(guān)系求得雙曲線的離心率.【詳解】由于雙曲線的一條漸近線方程為，即，所以雙曲線的離心率.故答案為：13．某學(xué)校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生作為樣本進(jìn)行數(shù)學(xué)知識測試，記錄他們的成績，測試卷滿分100分，將數(shù)據(jù)分成6組：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如右頻率分布直方圖，則圖中的值為，若全校學(xué)生參加同樣的測試，估計全校學(xué)生的平均成績?yōu)椋拷M成績用中間值代替）.【答案】【分析】由頻率分布直方圖中總面積為可計算出，由頻率分布直方圖中平均數(shù)的計算方式計算平均數(shù)即可估計全校學(xué)生的平均成績.【詳解】由頻率分布直方圖中總面積為，即，解得，，故可估計全校學(xué)生的平均成績?yōu)?故答案為：；.14．已知命題：若，則．能說明為假命題的一組的值為，．【答案】（答案不唯一）（答案不唯一）【分析】根據(jù)立方和公式以及基本不等式求得正確答案.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以，若，則，所以為假命題.所以一組的值為（答案不唯一）.故答案為：（答案不唯一）；（答案不唯一）15．在數(shù)列中，，給出下列四個結(jié)論：①若，則一定是遞減數(shù)列；②若，則一定是遞增數(shù)列；③若，，則對任意，都存在，使得；④若，，且對任意，都有，則的最大值是．其中所有正確結(jié)論的序號是．【答案】②③④【分析】根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性、最值、不等式、差比較法、導(dǎo)數(shù)等知識對結(jié)論進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，，①若，則，如，則是擺動數(shù)列，所以①錯誤.②若，則，，構(gòu)造函數(shù)，在區(qū)間上，單調(diào)遞減，在區(qū)間上，單調(diào)遞增，所以，所以，所以一定是遞增數(shù)列，②正確.③若，，則，，，，當(dāng)時，，所以是單調(diào)遞增數(shù)列，且每次遞增都超過，所以對任意，都存在，使得，③正確.④若，，則，對任意，都有，，，恒成立，所以，所以的最大值是，④正確.故答案為：②③④【點(diǎn)睛】要判斷數(shù)列的單調(diào)性，可以考慮利用差比較法，由的符號來進(jìn)行判斷，當(dāng)時，可以利用與的關(guān)系來判斷.利用導(dǎo)數(shù)來求最值，求導(dǎo)之后關(guān)鍵是求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)單調(diào)區(qū)間來求最值.三、解答題16．如圖，在三棱錐中，平面平面，，，．(1)求證：；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面垂直結(jié)合條件得到線線垂直；（2）建系，由邊長關(guān)系得到點(diǎn)的坐標(biāo)即，，，再求出平面的法向量和平面的法向量，代入二面角的向量公式求解即可.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)?，所以；因?yàn)椋?；因?yàn)槠矫?，所以平面；因?yàn)槠矫?，所以?/p>

（2）由（Ⅰ）知，平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．由已知，易得，，在中，，所以得，，，所以設(shè)平面的法向量為，則即令，則，，于是．又因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，所以．由題知二面角為銳角，所以其余弦值為．17．設(shè)函數(shù)．(1)若，求的值；(2)已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在，求的值．條件①：函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)；條件②：時，的值域是；條件③：是的一條對稱軸．【答案】(1)(2)選②或③，【分析】（1）利用二倍角公式以及輔助角公式化簡函數(shù)，根據(jù)，即可求解；（2）選①，由可判斷；選②，由題意，，由三角函數(shù)的性質(zhì)可得周期，即可得；選③，由題意，得，又是的一條對稱軸，所以，由此可解得.【詳解】（1）因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以．?）選①，∵，∴函數(shù)的圖象不可能經(jīng)過點(diǎn)，不合題意；選②，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，的值域是，所以，.此時，由三角函數(shù)的性質(zhì)可得，故．

因?yàn)?，所?選③，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，解得．

因?yàn)槭堑囊粭l對稱軸，所以.所以，即，解得.由，可知.18．某學(xué)校體育課進(jìn)行投籃練習(xí)，投籃地點(diǎn)分為區(qū)和區(qū)，每一個球可以選擇在區(qū)投籃也可以選擇在區(qū)投籃，在區(qū)每投進(jìn)一球得2分，沒有投進(jìn)得0分；在區(qū)每投進(jìn)一球得3分，沒有投進(jìn)得0分.學(xué)生甲在，兩區(qū)的投籃練習(xí)情況統(tǒng)計如下表：甲區(qū)區(qū)投籃次數(shù)得分假設(shè)用頻率估計概率，且學(xué)生甲每次投籃相互獨(dú)立．(1)試分別估計甲在區(qū)，區(qū)投籃命中的概率；(2)若甲在區(qū)投個球，在區(qū)投個球，求甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分的概率；(3)若甲在區(qū)，區(qū)一共投籃次，投籃得分的期望值不低于分，直接寫出甲選擇在區(qū)投籃的最多次數(shù)．（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)，(2)(3)次【分析】（1）根據(jù)頻率和概率的知識求得正確答案.（2）根據(jù)“甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分”進(jìn)行分類討論，根據(jù)相互獨(dú)立事件乘法公式求得正確答案.（3）根據(jù)數(shù)學(xué)期望類不等式，由此求得正確答案.【詳解】（1）甲在區(qū)投籃次，投進(jìn)次，所以估計甲在區(qū)投籃進(jìn)球的概率為，甲在區(qū)投籃次，投進(jìn)次，所以估計甲在區(qū)投籃進(jìn)球的概率為.（2）據(jù)題意，甲在區(qū)進(jìn)球的概率估計為，在區(qū)投籃進(jìn)球的概率估計為.設(shè)事件為“甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分”甲在區(qū)投個球，得分可能是，在區(qū)投個球，得分可能是.則甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分的情況有：區(qū)分區(qū)分，概率估計為，區(qū)分區(qū)分，概率估計為，區(qū)分區(qū)分，概率估計為，區(qū)分區(qū)分，概率估計為，區(qū)分區(qū)分，概率估計為，則甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分的概率估計為.（3）甲在區(qū)投籃一次得分的期望估計是，甲在區(qū)投籃一次得分的期望估計是，設(shè)甲在區(qū)投籃次，則甲在區(qū)投籃次，則總的期望值估計為，解得，則甲選擇在區(qū)投籃的次數(shù)最多是次．19．已知橢圓，離心率為，短軸長為.(1)求橢圓的方程；(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸重合的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，直線與橢圓的另一個交點(diǎn)為．求證：為直角三角形．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意可計算出、、，即可得方程；（2）設(shè)出直線的斜率、、的坐標(biāo)，由軸，可得點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到直線的方程，聯(lián)立曲線，即可得、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系，作出的中點(diǎn)，由，從而得到，可得，即可得證.【詳解】（1）由題意知，解得,所以橢圓的方程為；（2）設(shè)直線的方程為，交橢圓于，，由題意知，所以，直線的方程為，聯(lián)立，消去得，，所以，設(shè)的中點(diǎn)為，則，，所以，因?yàn)樵谥?，，所以．所以，即，所以為直角三角?20．已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求證：當(dāng)時，；(3)設(shè)實(shí)數(shù)使得對恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可得；（2）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)研究單調(diào)性即可得；（3）分類討論，當(dāng)時，由（2）可得此時符合要求，當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性可得不符，當(dāng)時，結(jié)合導(dǎo)數(shù)單調(diào)性可得亦不符.【詳解】（1），故，又，故有，即，故切線方程為；（2）令，則，由，故，故在上單調(diào)遞減，所以，即當(dāng)時，；（3）當(dāng)時，，由（2）知，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，對恒成立；當(dāng)時，令，，當(dāng)時，因?yàn)?，所以，在上單調(diào)遞增，，不合題意，當(dāng)時，得，當(dāng)時，，時，，所以在上單調(diào)遞增，則時，，不合題意，綜上，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題最后一問關(guān)鍵點(diǎn)在于根據(jù)的范圍分類討論，從而結(jié)合單調(diào)性研究函數(shù)最值得到結(jié)果.21．對于項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列，若數(shù)列滿足，，其中，表示數(shù)集中最大的數(shù)，則稱數(shù)列是的數(shù)列.(1)若各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列的數(shù)列是，寫出所有的數(shù)列；(2)證明：若數(shù)列中存在使得，則存在使得成立；(3)數(shù)列是的數(shù)列，數(shù)列是的數(shù)列，定義其中．求證：為單調(diào)遞增數(shù)列的充要條件是為單調(diào)遞增數(shù)列．【答案】(1)，，，(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的數(shù)列相關(guān)條件即可得出所有的數(shù)列；（2）利用反證法，假設(shè)不存在使得成立，得出與假設(shè)不成立，即可得出結(jié)論；（3）通過證明得出為單調(diào)遞增，再通過為單調(diào)遞增數(shù)列證明為單調(diào)遞增數(shù)列，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意，各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列