《微積分》教學(xué)課件04不定積分

《微積分》教學(xué)課件04不定積分匯報(bào)人：AA2024-01-24不定積分基本概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)不定積分無(wú)窮區(qū)間上廣義不定積分目錄01不定積分基本概念與性質(zhì)不定積分定義及幾何意義設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$上有定義，如果存在可導(dǎo)函數(shù)$F(x)$，使得$F'(x)=f(x)$對(duì)任意$xinI$都成立，則稱$F(x)$為$f(x)$在區(qū)間$I$上的一個(gè)原函數(shù)。對(duì)于任意常數(shù)$C$，函數(shù)族$F(x)+C$也是$f(x)$的原函數(shù)。稱$intf(x)dx=F(x)+C$為$f(x)$在區(qū)間$I$上的不定積分，其中$int$是積分號(hào)，$f(x)$是被積函數(shù)，$dx$是自變量微分，$F(x)+C$是積分結(jié)果，也叫原函數(shù)族。不定積分的定義不定積分的幾何意義是求曲線族與橫軸所圍成的面積。具體來(lái)說(shuō)，如果函數(shù)$y=f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)且恒有$f(x)geq0$，那么$int_{a}^f(x)dx$表示由曲線$y=f(x)$、直線$x=a$、$x=b$及橫軸所圍成的平面圖形的面積。不定積分的幾何意義原函數(shù)是不定積分的基礎(chǔ)，不定積分是求原函數(shù)的過(guò)程。如果一個(gè)函數(shù)有原函數(shù)，那么它就有不定積分；反之，如果一個(gè)函數(shù)的不定積分存在，那么它的原函數(shù)也一定存在。原函數(shù)與不定積分的聯(lián)系原函數(shù)是一個(gè)具體的函數(shù)，而不定積分則是一個(gè)函數(shù)族，即原函數(shù)加上任意常數(shù)。此外，原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)，而不定積分的導(dǎo)數(shù)則是被積函數(shù)加上一個(gè)常數(shù)。原函數(shù)與不定積分的區(qū)別原函數(shù)與不定積分關(guān)系線性性質(zhì)積分區(qū)間可加性積分常數(shù)性質(zhì)不定積分基本性質(zhì)對(duì)于任意常數(shù)$a$和$b$以及函數(shù)$f(x)$和$g(x)$，有$int[af(x)+bg(x)]dx=aintf(x)dx+bintg(x)dx$。如果區(qū)間$[a,b]$和$[b,c]$上的不定積分都存在，那么$int_{a}^{c}f(x)dx=int_{a}^f(x)dx+int_^{c}f(x)dx$。對(duì)于任意常數(shù)$C$，有$intCdx=Cx+D$，其中$D$是任意常數(shù)。對(duì)數(shù)函數(shù)的不定積分例如$intlnxdx=xlnx-x+C$等。冪函數(shù)的不定積分對(duì)于形如$intx^ndx$的不定積分，當(dāng)$nneq-1$時(shí)，有$intx^ndx=frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$；當(dāng)$n=-1$時(shí)，有$intfrac{1}{x}dx=ln|x|+C$。三角函數(shù)的不定積分例如$intsinxdx=-cosx+C$，$intcosxdx=sinx+C$等。指數(shù)函數(shù)的不定積分例如$inte^xdx=e^x+C$等。常見(jiàn)不定積分類(lèi)型02換元積分法第一類(lèi)換元法（湊微分法）湊微分法的定義與原理湊微分法在不定積分中的應(yīng)用舉例湊微分法的步驟與技巧湊微分法的注意事項(xiàng)與誤區(qū)變量代換法的步驟與技巧變量代換法的定義與原理變量代換法在不定積分中的應(yīng)用舉例變量代換法的注意事項(xiàng)與誤區(qū)01020304第二類(lèi)換元法（變量代換法）三角函數(shù)代換技巧三角函數(shù)代換的步驟與技巧三角函數(shù)代換的注意事項(xiàng)與誤區(qū)三角函數(shù)代換的定義與原理三角函數(shù)代換在不定積分中的應(yīng)用舉例復(fù)雜函數(shù)代換的定義與原理復(fù)雜函數(shù)代換的步驟與技巧復(fù)雜函數(shù)代換在不定積分中的應(yīng)用舉例復(fù)雜函數(shù)代換的注意事項(xiàng)與誤區(qū)總結(jié)與回顧：對(duì)本章內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，回顧換元積分法的思想和應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)解題的規(guī)范性和創(chuàng)新性。同時(shí)，可以給出一些思考題和練習(xí)題，供學(xué)生鞏固和加深對(duì)本章內(nèi)容的理解。0102030405復(fù)雜函數(shù)代換實(shí)例分析03分部積分法分部積分公式$intudv=uv-intvdu$適用條件當(dāng)被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)乘積，且其中一個(gè)函數(shù)容易求導(dǎo)，另一個(gè)函數(shù)容易積分時(shí)，可以使用分部積分法。分部積分公式及適用條件多次使用分部積分法求解問(wèn)題當(dāng)一次分部積分無(wú)法解決問(wèn)題時(shí)，可以考慮多次使用分部積分法，逐步簡(jiǎn)化被積函數(shù)。在多次使用分部積分法時(shí)，需要注意選擇合適的$u$和$dv$，以便簡(jiǎn)化計(jì)算。對(duì)于含有抽象函數(shù)或復(fù)合函數(shù)的不定積分，可以先將其轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的積分，再利用分部積分法求解。如果無(wú)法直接轉(zhuǎn)化，可以考慮對(duì)抽象函數(shù)或復(fù)合函數(shù)進(jìn)行變量替換或湊微分等方法，以便應(yīng)用分部積分法。含有抽象函數(shù)或復(fù)合函數(shù)問(wèn)題處理方法例題1解析例題3解析例題2解析求解$intxe^xdx$選擇$u=x,dv=e^xdx$，則$du=dx,v=e^x$。根據(jù)分部積分公式，有$intxe^xdx=xe^x-inte^xdx=xe^x-e^x+C$。求解$intsin^2xcosxdx$選擇$u=sin^2x,dv=cosxdx$，則$du=2sinxcosxdx,v=sinx$。根據(jù)分部積分公式，有$intsin^2xcosxdx=frac{1}{3}sin^3x+C$。求解$intarctanxdx$選擇$u=arctanx,dv=dx$，則$du=frac{1}{1+x^2}dx,v=x$。根據(jù)分部積分公式，有$intarctanxdx=xarctanx-frac{1}{2}ln(1+x^2)+C$。典型例題解析與討論04有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)不定積分可導(dǎo)性在其定義域內(nèi)可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)仍為有理函數(shù)。有理函數(shù)定義兩個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)之商，形如$R(x)=frac{P(x)}{Q(x)}$，其中$P(x)$和$Q(x)$為多項(xiàng)式，$Q(x)neq0$。連續(xù)性在定義域內(nèi)連續(xù)。奇偶性根據(jù)分子和分母多項(xiàng)式的奇偶性判斷。漸近線當(dāng)$xtoinfty$或$xtoa$（$a$為有限數(shù)）時(shí)，有理函數(shù)的極限行為。有理函數(shù)定義及性質(zhì)回顧部分分式分解定理：任意有理函數(shù)可以唯一地表示為若干個(gè)部分分式之和，其中每個(gè)部分分式都是形如$frac{A}{(x-a)^n}$（$ngeq1$）的簡(jiǎn)單分式。分解步驟1.確定分母多項(xiàng)式的因式分解。2.根據(jù)分母因式的類(lèi)型，設(shè)定部分分式的形式。3.利用待定系數(shù)法或比較系數(shù)法，求出各部分分式的系數(shù)。0102030405有理函數(shù)部分分式分解方法含有根式或三角函數(shù)有理化處理方法含有根式處理方法通過(guò)換元法將根式消去，轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的不定積分問(wèn)題。常見(jiàn)換元法有平方換元和三角換元等。含有三角函數(shù)處理方法利用三角函數(shù)的性質(zhì)及恒等式進(jìn)行有理化處理。常見(jiàn)方法包括利用三角函數(shù)的和差化積、積化和差公式以及萬(wàn)能公式等。求解$intfrac{dx}{x^2+a^2}$（$a>0$）。例題一求解$intfrac{dx}{sqrt{x^2+a^2}}$（$a>0$）。例題二求解$intfrac{sinx}{cosx+sinx}dx$。例題三通過(guò)對(duì)典型例題的解析，總結(jié)有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)不定積分的求解方法和技巧，加深對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解和掌握。討論典型例題解析與討論05無(wú)窮區(qū)間上廣義不定積分定義設(shè)函數(shù)$f(x)$在$[a,+infty)$上有定義，若極限$lim_{{bto+infty}}int_{{a}}^{}f(x)dx$存在，則稱此極限為函數(shù)$f(x)$在$[a,+infty)$上的廣義不定積分，記作$int_{{a}}^{{+infty}}f(x)dx$。性質(zhì)無(wú)窮區(qū)間上廣義不定積分具有線性性、可加性和保號(hào)性。無(wú)窮區(qū)間上廣義不定積分定義及性質(zhì)判定法首先判斷無(wú)界函數(shù)在其定義域內(nèi)的哪一點(diǎn)或哪些點(diǎn)上無(wú)界，然后利用這些點(diǎn)的性質(zhì)進(jìn)行求解。變量替換法通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，將無(wú)界函數(shù)轉(zhuǎn)化為有界函數(shù)進(jìn)行求解。分部積分法將無(wú)界函數(shù)與另一個(gè)有界函數(shù)相乘，然后利用分部積分公式進(jìn)行求解。無(wú)界函數(shù)在有限區(qū)間上廣義不定積分求解方法123通過(guò)與已知收斂或發(fā)散的無(wú)窮級(jí)數(shù)或廣義積分進(jìn)行比較，來(lái)判斷所求廣義積分的斂散性。比較判別法利用極限的性質(zhì)來(lái)判斷所求廣義積分的斂散性。極限判別法針對(duì)某些特定類(lèi)型的無(wú)界函數(shù)，可以利用阿貝爾判別法或狄利克雷判別法來(lái)判斷所求廣義積分的斂散性。阿貝爾判別法和狄利克雷判別法無(wú)界函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間上廣義不定積分求解方法例題1：求解$\int_{{0}}^{{+\infty}}\frac{{\sinx}}{{x}}dx$。例題2：討論$\int_{{1}}^{{+\infty}}\frac{{\lnx}}{{x^p}}dx$的斂散性，其中$p>0$。