專題3.3解三角形

專題33解三角形01專題網(wǎng)絡(luò)·思維腦圖（含基礎(chǔ)知識(shí)梳理、常用結(jié)論與技巧）02考情分析·解密高考03高頻考點(diǎn)·以考定法（四大命題方向+四道高考預(yù)測(cè)試題，高考必考·（1017）分）命題點(diǎn)1正弦余弦定理基本應(yīng)用命題點(diǎn)2解三角形中三線問題命題點(diǎn)3解三角形中周長(zhǎng)面積問題命題點(diǎn)4解三角形中最值范圍問題高考猜題04創(chuàng)新好題·分層訓(xùn)練（精選8道最新名校模擬試題+8道易錯(cuò)提升）解三角形是新高考中必考點(diǎn)，一般以1+1（一道小題一道解答題）或者是0+1（只出現(xiàn)一道解答）形式出現(xiàn)，往往放在解答題前兩題，相對(duì)難度比較小。真題多維細(xì)目表考點(diǎn)考向考題解三角形正弦余弦基本應(yīng)用解三角形中三線問題解三角形中周長(zhǎng)面積問題解三角形中最值范圍問題2023全國(guó)乙卷T4全國(guó)乙卷T172021全國(guó)甲卷T82023新高考甲卷T162023新高考Ⅰ卷T172023新高考Ⅱ卷T17全國(guó)乙卷T18甲卷T172022乙卷T17新高考Ⅱ卷T182021全國(guó)乙卷T152021新高考Ⅱ卷T182022全國(guó)甲卷2022年新高考Ⅰ卷T18命題點(diǎn)2正弦余弦定理基本應(yīng)用典例01（2023·全國(guó)乙卷）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得的值.【詳解】由題意結(jié)合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，據(jù)此可得，則.故選：C.典例02（2023·全國(guó)乙卷）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：【答案】(1)；(2)證明見解析．（2）由題意利用兩角差的正弦公式展開得，再根據(jù)正弦定理，余弦定理化簡(jiǎn)即可證出．【詳解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根據(jù)余弦定理可知，，化簡(jiǎn)得：，故原等式成立．命題點(diǎn)2三角形中三線問題典例01（2023·全國(guó)甲卷）在中，，的角平分線交BC于D，則．【答案】【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根據(jù)等面積法求出；方法二：利用余弦定理求出，再根據(jù)正弦定理求出，即可根據(jù)三角形的特征求出．【詳解】如圖所示：記，方法一：由余弦定理可得，，因?yàn)椋獾茫?，由可得，，解得：．故答案為：．方法二：由余弦定理可得，，因?yàn)椋獾茫?，由正弦定理可得，，解得：，，因?yàn)?，所以，，又，所以，即．故答案為：．典?2（2023·全國(guó)新課標(biāo)Ι）已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．【答案】(1)(2)6【詳解】（1），，即，又，，，，即，所以，.（2）由（1）知，，由，由正弦定理，，可得，，.對(duì)于解三角形中的出現(xiàn)的角平分線問題，方法技巧在于用等面積法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，或者是采用角平分線定理（角平分線定理屬于二級(jí)結(jié)論解答題中需要進(jìn)行證明，小題中可以直接采用），對(duì)于求高有關(guān)的問題也是采用面積等于底乘以高轉(zhuǎn)化成三角形中面積公式。對(duì)于中線問題，一般思路是向量思想，小題中可以采用激化恒等式去求解。命題點(diǎn)三解三角形中周長(zhǎng)面積問題典例01（2023·全國(guó)高考乙卷）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.【答案】(1)；(2).【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長(zhǎng)的值為，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得；(2)由題意可得，則，據(jù)此即可求得的面積.【詳解】（1）由余弦定理可得：，則，，.（2）由三角形面積公式可得，則.典例02．（2022·全國(guó)高考乙卷）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)14【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合余弦定理求出，從而可求得，即可得解.【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?，所以，即，所以；?）解：因?yàn)?，由?）得，由余弦定理可得，則，所以，故，所以，所以的周長(zhǎng)為.命題點(diǎn)四解三角形中最值范圍問題典例01（2022·全國(guó)·高考甲卷）已知中，點(diǎn)D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時(shí)，．【答案】/【詳解】[方法一]：余弦定理設(shè)，則在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)取最小值時(shí)，.故答案為：.[方法二]：建系法令BD=t，以D為原點(diǎn)，OC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.則C（2t,0），A（1，），B（t,0）[方法三]：余弦定理設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.[方法四]：判別式法設(shè)，則在中，，在中，，所以，記，則由方程有解得：即，解得：所以，此時(shí)所以當(dāng)取最小值時(shí)，，即.典例02（2022·全國(guó)新高考Ⅰ）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)．【詳解】（1）因?yàn)?，即，而，所以；?）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．解三角形中求邊長(zhǎng)最值問題一般采用設(shè)角把邊長(zhǎng)轉(zhuǎn)化成關(guān)于角的函數(shù)，最后轉(zhuǎn)化成基本不等式或者是關(guān)于二次函數(shù)去求解。但是對(duì)于銳角三角形中，求長(zhǎng)度或者是面積范圍及問題，應(yīng)采用邊角轉(zhuǎn)化思想，把邊長(zhǎng)問題轉(zhuǎn)化成角度問題，再利用二次函數(shù)或者是輔助角公式去求解。預(yù)計(jì)2024年高考會(huì)出現(xiàn)正弦余弦定理的基本應(yīng)用及面積最值范圍相關(guān)題目.1．（23·24上·湖南·模擬預(yù)測(cè)）在中，，，且的面積為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用正弦定理角化邊可得，再由三角形面積公式可得，最后根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】設(shè)中角所對(duì)的邊分別為，因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻?，又解得，所以由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，故選：D2．（23·24上·浙江·一模）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求；(2)若點(diǎn)在邊上，，，，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理的邊角互化進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由余弦定理，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由可得，結(jié)合余弦定理列出方程，即可求得，再由三角形的面積公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由題意得，所以，故因?yàn)椋?（2）設(shè)，則，在中，有.在中，有.又，所以，所以有.又，所以.在中，由余弦定理可得.又，，，所以有.聯(lián)立，解得，所以，所以.3．（23·24上·綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在斜三角形中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由題意證明如下，在中，，，，，又為斜三角形，則，，，∵為的內(nèi)角，.（2）由題意及（1）得，在中，，，是等腰三角形，由正弦定理，則，又，即，，，令，，又因?yàn)椋?，?dāng)即時(shí)，取最小值，且，∴的最小值為．4（23·24上·泰州·期中）在銳角中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，已知.(1)求角A的大??；(2)若，求面積S的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋?，整理得，所以，又，所?（2）因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，所以，由正弦定理可得，則，因?yàn)?，所以，所以，即面積S的取值范圍為.（★精選8道最新名校模擬考試題+8道易錯(cuò)提升）AA·新題速遞1．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，，，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由正弦定理求出，進(jìn)而得到，，從而求出，利用三角形面積公式求出答案.【詳解】由正弦定理得，因?yàn)?，，，所以，故，則，因?yàn)?，所以，，故，?故選：D2．（2023上·江蘇徐州·高三?？茧A段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，，則外接圓的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出，再利用正弦定理即可.【詳解】由題意得，所以，設(shè)外接圓的半徑為，則由正弦定理得，所以，故選：B.3．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若邊上的高為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知，用c表示出a、b，然后由余弦定理可得.【詳解】如圖，邊上的高為CD,因?yàn)?，所以所以，由勾股定理可得，由余弦定理可?故選：B二、填空題4．（2023上·江蘇淮安·高三江蘇省清浦中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為為邊中點(diǎn)，若，則面積的最大值為.【答案】【分析】根據(jù)向量模長(zhǎng)公式即可，結(jié)合基本不等式即可求解，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合面積公式即可求解.【詳解】由于為邊中點(diǎn),所以,平方,因此,由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，由于在單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，最小，且為鈍角，,由于在單調(diào)遞增，故當(dāng)取最小值時(shí)，此時(shí)面積最大，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)最小，進(jìn)而最小，故面積最大，由可得，故面積的最大值為，故答案為：5．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）中，，，，平分線與交于點(diǎn)，則.【答案】【詳解】由余弦定理，，所以，所以，因?yàn)闉榈钠椒志€，所以，所以，在中由正弦定理，即，所以.故答案為：三、解答題6．（2023上·湖南·高三湖南省祁東縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，且．(1)求；(2)若的面積是，，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，可得到，即．因?yàn)?，所以，故．?）由，可得，因?yàn)椋?，則．由余弦定理得，即，所以，故的周長(zhǎng)是．7．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，的面積為．(1)求；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得，所以．在中，由余弦定理得，所以．在中，，所以，所以；（2）由（1）可得，在中，由正弦定理得，所以，且．由（1）可得，又，所以．8．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意和余弦定理可得，結(jié)合計(jì)算即可求解；（2）由（1）可得，則，代入，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解.【詳解】（1）由余弦定理知，所以，由,得，即,又因?yàn)?，所以，即，在中，，所以．?）由（1）知，則，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以的最小值為．BB·易錯(cuò)提升1．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）在三角形中，和分別是邊上的高和中線，則（

）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】C【分析】將作為基底，用基底表示和，根據(jù)數(shù)量積的規(guī)則計(jì)算即可.【詳解】

設(shè)，則有，由余弦定理得，，其中，，解得，；故選：C.2．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模）在中，角A，B，C所對(duì)邊分別記為a，b，c，若，，則面積的最大值是（

）A． B．2 C． D．【答案】C【詳解】，，，，，，由正弦定理得.設(shè)，，，∵，∴，，化簡(jiǎn)得，點(diǎn)C的軌跡是以為圓心，半徑為的圓.過C作，當(dāng)CD最大時(shí)，有最大值，.故選：C3．（2023·新疆·校聯(lián)考二模）在中，角A，B，C所對(duì)的過分別為a，b，c，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用三角恒等變換及正弦定理即可判定.【詳解】由二倍角公式可化簡(jiǎn)得：，而，故，由正弦定理可得，反之，也成立，即為充要條件.故選：C．4．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】確定角范圍后，由正弦定理表示出，再利用三角函數(shù)性質(zhì)得結(jié)論．【詳解】因?yàn)槭卿J角三角形，所以，，所以，，由正弦定理得，所以．故選：C．二、填空題5．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，角的對(duì)邊分別為，若，則外接圓的面積為.【答案】【詳解】由正弦定理得，因?yàn)?，所以，即，可?因?yàn)?，所以，得，解?，化簡(jiǎn)得，由正弦定理?余弦定理，得，化簡(jiǎn)得，由正弦定理可得，得，因此外接圓的面積為.故答案為：三、解答題6．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，的面積記為S，已知，．(1)求A；(2)若BC邊上的中線長(zhǎng)為1，AD為角A的角平分線，求CD的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，由正弦定理可得，即所以．因?yàn)?，所以．?）設(shè)AE為BC邊上的中線如下圖所示：則，所以，解得．因?yàn)?，所以，所以；由可得，利用余弦定理可得，所以?．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知的外心為，點(diǎn)分別在線段上，且恰為的中點(diǎn)．(1)若，求面積的最大值；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）解：由正弦定理，得，所以，又，所以或，當(dāng)時(shí)，由余弦定理，得，所以，的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)；當(dāng)時(shí)，同理可