平面向量概念及線性運算基本定理坐標(biāo)表示

第六章數(shù)列§5.1平面向量的概念及線性運算、平面向量基本定理及坐標(biāo)表示高考理數(shù)

(課標(biāo)Ⅱ?qū)Ｓ?考點一向量的線性運算五年高考A組

統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組1.(2018課標(biāo)全國Ⅰ,6,5分)在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點,則

=

()A.

-

B.

-

C.

+

D.

+

答案

A本題主要考查平面向量的線性運算及幾何意義.∵E是AD的中點,∴

=-

,∴

=

+

=-

+

,又∵D為BC的中點,∴

=

(

+

),因此

=-

(

+

)+

=

-

,故選A.題型歸納平面向量線性運算問題的常見類型及解題策略(1)考查向量加法或減法的幾何意義.(2)求已知向量的和或差.一般共起點的向量求和用平行四邊形法則,求差用三角形法則;求首

尾相連的向量的和用三角形法則.(3)與三角形綜合,求參數(shù)的值.求出向量的和或差,與已知條件中的式子比較,求得參數(shù).(4)與平行四邊形綜合,研究向量的關(guān)系.畫出圖形,找出圖中的相等向量、共線向量,將所求向

量轉(zhuǎn)化到同一個平行四邊形或三角形中求解.2.(2015課標(biāo)全國Ⅰ,7,5分)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點,

=3

,則

()A.

=-

+

B.

=

-

C.

=

+

D.

=

-

答案

A

=

+

=

+

+

=

+

=

+

(

-

)=-

+

.故選A.思路分析由選項可知

,

為基底,結(jié)合已知條件將

用

、

表示出來.3.(2015課標(biāo)全國Ⅱ,13,5分)設(shè)向量a,b不平行,向量λa+b與a+2b平行,則實數(shù)λ=

.答案

解析由于a,b不平行,所以可以以a,b作為一組基底,于是λa+b與a+2b平行等價于

=

,即λ=

.思路分析以a,b為一組基底,利用向量平行的充要條件建立關(guān)于λ的方程求解.易錯警示容易把兩向量平行與垂直的充要條件混淆而導(dǎo)致解題錯誤.考點二平面向量基本定理及坐標(biāo)表示1.(2016課標(biāo)全國Ⅱ,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,則m=

()A.-8

B.-6

C.6

D.8答案

D由題可得a+b=(4,m-2),又(a+b)⊥b,∴4×3-2×(m-2)=6,∴m=8.故選D.思路分析首先利用坐標(biāo)運算求出a+b的坐標(biāo),然后利用兩向量垂直的充要條件求m的值.易錯警示容易把兩向量垂直與平行的充要條件混淆而導(dǎo)致錯誤.2.(2018課標(biāo)全國Ⅲ,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),則λ=

.答案

解析本題考查向量的坐標(biāo)運算.由已知得2a+b=(4,2).又c=(1,λ),c∥(2a+b),所以4λ-2=0,解得λ=

.B組

自主命題·省(區(qū)、市)卷題組考點一向量的線性運算(2015北京,13,5分)在△ABC中,點M,N滿足

=2

,

=

.若

=x

+y

,則x=

,y=

.答案

;-

解析由

=2

知M為AC上靠近C的三等分點,由

=

知N為BC的中點,作出草圖如下:

則有

=

(

+

),所以

=

-

=

(

+

)-

·

=

-

,又因為

=x

+y

,所以x=

,y=-

.考點二平面向量基本定理及坐標(biāo)表示1.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為

,向量b滿足b2-4e·b+3=0,則|a-b|的最小值是

()A.

-1

B.

+1C.2

D.2-

答案

A本小題考查平面向量的數(shù)量積、坐標(biāo)運算、向量模的最值和點到直線的距離.設(shè)

=a,

=b,

=e,以O(shè)為原點,

的方向為x軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系,則E(1,0).不妨設(shè)A點在第一象限,∵a與e的夾角為

,∴點A在從原點出發(fā),傾斜角為

,且在第一象限內(nèi)的射線上.設(shè)B(x,y),由b2-4e·b+3=0,得x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,即點B在圓(x-2)2+y2=1上運動.而

=a-b,∴|a-b|的最小值即為點B到射線OA的距離的最小值,即為圓心(2,0)到射線y=

x(x≥0)的距離減去圓的半徑,所以|a-b|min=

-1.選A.一題多解將b2-4e·b+3=0轉(zhuǎn)化為b2-4e·b+3e2=0,即(b-e)·(b-3e)=0,∴(b-e)⊥(b-3e).設(shè)

=e,

=a,

=b,

=3e,

=2e,則

⊥

,∴點B在以M為圓心,1為半徑的圓上運動,如圖.

∵|a-b|=|

|,∴|a-b|的最小值即為點B到射線OA的距離的最小值,即為圓心M到射線OA的距離減去圓的半徑.∵|

|=2,∠AOM=

,∴|a-b|min=2sin

-1=

-1.2.(2016四川,10,5分)在平面內(nèi),定點A,B,C,D滿足|

|=|

|=|

|,

·

=

·

=

·

=-2,動點P,M滿足|

|=1,

=

,則|

|2的最大值是

()A.

B.

C.

D.

答案

B由|

|=|

|=|

|及

·

=

·

=

·

?DB⊥CA,DC⊥AB,DA⊥CB,且∠ADC=∠ADB=∠BDC=120°,∴△ABC為正三角形,設(shè)|

|=a,則a2cos120°=-2?a=2?AC=2

?OC=3,如圖建立平面直角坐標(biāo)系xOy,

則A(-

,0),B(

,0),C(0,3).由

=

?P,M,C三點共線且M為PC的中點,設(shè)P(x,y),由|AP|=1?(x+

)2+y2=1,令

則

即P(sinθ-

,cosθ),∴M

,∴|

|2=

[(sinθ-3

)2+(3+cosθ)2]=

[37-(6

sinθ-6cosθ)]=

≤

(37+12)=

.∴|

|2的最大值為

.疑難突破本題的難點是如何找出|

|2與變量之間的關(guān)系,突破之處是抓住|

|=1?(x+

)2+y2=1,然后將坐標(biāo)參數(shù)化,從而將問題轉(zhuǎn)化為求asinθ+bcosθ=

sin(θ+φ)的最大值問題.3.(2019浙江,17,6分)已知正方形ABCD的邊長為1.當(dāng)每個λi(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1時,|λ1

+λ2

+λ3

+λ4

+λ5

+λ6

|的最小值是

,最大值是

.答案0;2

解析本題考查平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運算,在向量的坐標(biāo)運算中涉及多個未知數(shù)據(jù)以

此來考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力,數(shù)學(xué)運算及數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),

∴

=(1,0),

=(0,1),

=(-1,0),

=(0,-1),

=(1,1),

=(-1,1),故|λ1

+λ2

+λ3

+λ4

+λ5

+λ6

|=|(λ1-λ3+λ5-λ6,λ2-λ4+λ5+λ6)|=

.(*)顯然(*)式中第一個括號中的λ1,λ3與第二個括號中的λ2,λ4的取值互不影響,∴只需討論λ5與λ6的

取值情況即可,當(dāng)λ5與λ6同號時,不妨取λ5=1,λ6=1,則(*)式即為

,∵λ1,λ2,λ3,λ4∈{-1,1},∴λ1=λ3,λ2-λ4=-2(λ2=-1,λ4=1)時,(*)式取最小值0,當(dāng)|λ1-λ3|=2(如λ1=1,λ3=-1),λ2-

λ4=2(λ2=1,λ4=-1)時,(*)式取最大值2

,當(dāng)λ5與λ6異號時,不妨取λ5=1,λ6=-1,則(*)式即為

.同理可得最小值仍為0,最大值仍為2

,綜上,最小值為0,最大值為2

.解題關(guān)鍵本題未知量比較多,所以給學(xué)生的第一感覺是難,而實際上注意到圖形為規(guī)則的正

方形,λi(i=1,2,3,4,5,6)的取值只有兩種可能(1或-1),這就給建系及討論λi的值創(chuàng)造了條件,也是求

解本題的突破口.4.(2017江蘇,12,5分)如圖,在同一個平面內(nèi),向量

,

,

的模分別為1,1,

,

與

的夾角為α,且tanα=7,

與

的夾角為45°.若

=m

+n

(m,n∈R),則m+n=

.

答案3解析本題考查平面向量基本定理及其應(yīng)用,平面向量的夾角及其應(yīng)用等知識.解法一:過C作CM∥OB,CN∥OA,分別交線段OA,OB的延長線于點M,N,則

=

+

.由正弦定理得

=

=

,由tanα=7,α∈[0,π]知,sinα=

,cosα=

,∵|

|=

,∴|

|=

=

=

,|

|=

=

=

,又

=m

+n

=

+

,|

|=|

|=1,則|

|=m|

|,|

|=n|

|,∴m=

,n=

,∴m+n=3.解法二:∵tanα=7,α∈[0,π],∴cosα=

,sinα=

,∵

與

的夾角為α,∴

=

,∵

=m

+n

,|

|=|

|=1,|

|=

,∴

=

=

,①又∵

與

的夾角為45°,∴

=

=

,②又cos∠AOB=cos(45°+α)=cosαcos45°-sinαsin45°=

×

-

×

=-

,∴

·

=|

|·|

|·cos∠AOB=-

,將其代入①②得m-

n=

,-

m+n=1,兩式相加得

m+

n=

,所以m+n=3.考點一向量的線性運算C組

教師專用題組1.(2014課標(biāo)全國Ⅰ,15,5分)已知A,B,C為圓O上的三點,若

=

(

+

),則

與

的夾角為

.答案90°解析由

=

(

+

)可知O為BC的中點,即BC為圓O的直徑,又因為直徑所對的圓周角為直角,所以∠BAC=90°,所以

與

的夾角為90°.思路分析觀察條件

=

(

+

)得出點O為BC的中點,再結(jié)合圓的性質(zhì)求解.知識拓展(1)若

=λ

+μ

,則當(dāng)λ+μ=1時,B、C、D三點共線,特別地,當(dāng)λ=μ=

時,D為BC的中點.(2)當(dāng)已知

=λ

+μ

,求

與

的夾角時,通常采用兩邊平方的運算技巧求解.2.(2014北京,10,5分)已知向量a,b滿足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),則|λ|=

.答案

解析∵λa+b=0,即λa=-b,∴|λ||a|=|b|.∵|a|=1,|b|=

,∴|λ|=

.考點二平面向量基本定理及坐標(biāo)表示1.(2014福建,8,5分)在下列向量組中,可以把向量a=(3,2)表示出來的是

()A.e1=(0,0),e2=(1,2)

B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)

D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)答案

B設(shè)a=k1e1+k2e2,A選項,∵(3,2)=(k2,2k2),∴

無解.B選項,∵(3,2)=(-k1+5k2,2k1-2k2),∴

解之得

故B中的e1,e2可把a表示出來.同理,C、D選項同A選項,無解.2.(2014安徽,10,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知向量a,b,|a|=|b|=1,a·b=0,點Q滿足

=

(a+b).曲線C={P|

=acosθ+bsinθ,0≤θ<2π},區(qū)域Ω={P|0<r≤|

|≤R,r<R}.若C∩Ω為兩段分離的曲線,則

()A.1<r<R<3

B.1<r<3≤RC.r≤1<R<3

D.1<r<3<R答案

A根據(jù)題意不妨設(shè)a=(1,0),b=(0,1),∴

=

(a+b)=(

,

),

=acosθ+bsinθ=(cosθ,sinθ),易知曲線C為單位圓,區(qū)域Ω表示以Q為圓心,內(nèi)徑為r,外徑為R的圓環(huán),且C∩Ω為兩段分離的曲

線,結(jié)合圖形可知,單位圓與圓環(huán)的內(nèi)外邊界相交,即

∴1<r<R<3.故選A.

考點一向量的線性運算三年模擬A組2017—2019年高考模擬·考點基礎(chǔ)題組1.(2019陜西西安二模,3)已知O,A,B是平面上的三個點,直線AB上有一點C,且滿足2

+

=0,則

等于

()A.2

-

B.-

+2

C.

-

D.-

+

答案

A∵

=

+

=

+2

=

+2(

-

).∴

=2

-

.故選A.2.(2019重慶巴蜀中學(xué)二診,4)已知O是正方形ABCD的中心.若

=λ

+μ

,其中λ,μ∈R,則

=

()A.-2

B.-

C.-

D.

答案

A

=

+

=

+

=

-

+

=

-

,∴λ=1,μ=-

,∴

=-2,故選A.

3.(2019河北石家莊二中聯(lián)考,7)M是△ABC所在平面內(nèi)一點,

+

+

=0,D為AC的中點,則

的值為

()A.

B.

C.1

D.2答案

B連接MD.因為

+

+

=0,D為AC的中點,所以-

=

+

=2

,所以

=-

,故M在中線BD上,且為靠近D的一個四等分點,故

=

.4.(2019遼寧沈陽二模,6)如圖,e1,e2為互相垂直的單位向量,向量a+b+c可表示為

()

A.3e1-2e2B.-3e1-3e2C.3e1+2e2D.2e1+3e2

答案

C觀察題圖知a=e1+2e2,b=e1-2e2,c=e1+2e2,∴a+b+c=(e1+2e2)+(e1-2e2)+(e1+2e2)=3e1+2e2.

故選C.5.(2019內(nèi)蒙古赤峰4月模擬,6)已知點G為△ABC的重心,過點G作直線與AB,AC兩邊分別交于

M,N兩點,且

=x

,

=y

,x,y∈R,則

+

=

()A.1

B.2

C.3

D.4答案

C如圖,連接AG并延長交BC于D,由題意知,D為BC中點,則

=

+

,∴

=

=

+

,又

=x

,

=y

,∴

=

,

=

,∴

=

+

,∵M(jìn),G,N三點共線,∴

+

=1,∴

+

=3.故選C.6.(2018黑龍江哈六中二模,8)給出下列命題:①兩個具有公共終點的向量一定是共線向量;②兩個向量不能比較大小,但它們的模能比較大小;③λa=0(λ為實數(shù)),則λ必為零;④λ,μ為實數(shù),若λa=μb,則a與b共線.其中正確命題的個數(shù)為

()A.1

B.2

C.3

D.4答案

A對于①,兩個具有公共終點的向量不一定是共線向量,∴①錯誤;對于②,向量不能比較大小,但它們的模能比較大小,∴②正確;對于③,λa=0(λ為實數(shù)),則λ=0或a=0,∴③錯誤;對于④,若λ=μ=0,則λa=μb=0,此時a與b不一定共線,∴④錯誤.綜上,正確的命題為②,共1個.故選A.考點二平面向量基本定理及坐標(biāo)表示1.(2019遼寧沈陽四校聯(lián)考,3)已知向量a=(1,2),b=(x,4),且a∥b,則|a+b|=

()A.5

B.5

C.3

D.

答案

C∵a∥b,∴4-2x=0,∴x=2,∴b=(2,4),∴a+b=(3,6),∴|a+b|=3

.故選C.2.(2019陜西安康二模,3)已知向量a=(1,2),b=(1,x),若|a-b|=a·b,則x=

()A.-3

B.

C.3

D.

或-3答案

B向量a=(1,2),b=(1,x),若|a-b|=a·b,可得

=1+2x

.

=1+2x,解得x=-3(舍去)或x=

.故選B.3.(2019甘肅嘉峪關(guān)一中三模,5)已知向量a=

,b=(4,4cosα-

),若a⊥b,則sin

=

()A.-

B.-

C.

D.

答案

B

a·b=4sin

+4cosα-

=2

sinα+6cosα-

=4

sin

-

=0,所以sin

=

.所以sin

=-sin

=-

.4.(2019甘肅蘭州一中模擬,4)已知向量a=(2,m),b=(1,1),若a·b=|a-b|,則實數(shù)m=

()A.

B.-

C.

D.-

答案

D

a·b=|a-b|?2+m=

?m=-

,故選D.5.(2018寧夏銀川一中模擬,8)在△AOB中,G為AB邊上一點,OG是∠AOB的平分線,且

=

+m

,m∈R,則

的值為

()A.

B.1

C.

D.2答案

C如圖所示,△AOB中,

=

+m

,

∵A,G,B共線,∴

+m=1,解得m=

.又OG是∠AOB的平分線,∴

|

|=

|

|,∴

=

.故選C.6.(2018陜西西安二模,6)如圖,正方形ABCD中,M、N分別是BC、CD的中點,若

=λ

+μ

,則λ+μ=

()

A.2

B.

C.

D.

答案

D分別以AB,AD所在直線為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)正方形邊長為1,則

=

,

=

,

=(1,1).∵

=λ

+μ

,∴

解得

∴λ+μ=

.故選D.7.(2018甘肅張掖二模,13)已知向量a=(6,-2),b=(1,m),且a⊥b,則|a-2b|=

.答案4

解析∵a⊥b,∴a·b=6-2m=0,解得m=3,∴a-2b=(6,-2)-2(1,3)=(4,-8),∴|a-2b|=

=4

.選擇題(每小題5分,共40分)B組2017—2019年高考模擬·專題綜合題組時間:20分鐘分值:40分1.(2019海南?？谝恢心M,4)已知向量a=(m-1,1),b=(m,-2),則“m=2”是“a⊥b”的

()A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件答案

A∵a=(m-1,1),b=(m,-2),∴a⊥b?m(m-1)-2=0,解得m=-1或m=2.∴“m=2”是“a⊥b”的充分不必要條件.故選A.2.(2019青海西寧四中二模,5)若向量m=(2k-1,k)與向量n=(4,1)共線,則m·n=

()A.0

B.4

C.-

D.-

答案

D向量m=(2k-1,k)與向量n=(4,1)共線,則2k-1-4k=0,解得k=-

,∴m=

,∴m·n=-2×4+

×1=-

.故選D.3.(2019重慶巴蜀中學(xué)二模,5)如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E為

AD的中點,若

=λ

+μ

(λ,μ∈R),則λ+μ的值為

()

A.

B.

C.2

D.

答案

B建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則D(0,0).

不妨設(shè)AB=1,則CD=AD=2,所以C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),∴

=(-2,2),

=(-2,1),

=(1,2),∵

=λ

+μ

,∴(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),∴

解得λ=

,μ=

,則λ+μ=

.故選B.4.(2019新疆烏魯木齊八一中學(xué)模擬,9)已知邊長為8的等邊△ABC所在平面內(nèi)一點O,滿足

-2

-3

=0,若|

|=

,則|PA|的最大值為

()A.6

B.2

C.3

D.4

答案

C∵

-2

-3

=0,∴

-

=2

+2

,設(shè)D為BC的中點,則2

+2

=4

,∴

=4

,∴OD∥AC,∠ODC=∠ACB=60°,∵△ABC是邊長為8的等邊三角形,∴OD=2,AD=4

,∠ADO=150°,∴OA=

=2

.∵|

|=

,∴P點軌跡為以O(shè)為圓心,以r=

為半徑的圓.∴|PA|的最大值為OA+r=3

.故選C.解題關(guān)鍵根據(jù)向量運算法則確定O點位置,計算OA是解題的關(guān)鍵.5.(2019重慶巴蜀中學(xué)模擬,7)已知P為△ABC所在平面內(nèi)一點,

+

+

=0,|

|=|

|=|

|=2,則△ABC的面積等于

()A.

B.2

C.3

D.4

答案

B如圖,設(shè)BC的中點為D,AC中點為M,則有

+

=2

,若

+

+

=0,則有

=-2

,又D為BC的中點,M為AC中點,則有

=-2

,則有

=

,則P、D、M三點共線且D為PM的中點,所以四邊形CPBM為平行四邊形.又|

|=|

|=|

|=2,則|MC|=|BP|=2,則|AC|=4,且|BM|=|PC|=2,△AMB為等邊三角形,∠BAC=60°