2024屆貴州省湄潭縣湄江中學數(shù)學高二第二學期期末達標檢測模擬試題含解析

2024屆貴州省湄潭縣湄江中學數(shù)學高二第二學期期末達標檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值無最小值，則實數(shù)的取值范圍（）A． B． C． D．2．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則的值為A． B．45 C． D．3．命題p：x∈R，ax2﹣2ax+1＞0，命題q：指數(shù)函數(shù)f（x）＝ax（a＞0且a≠1）為減函數(shù)，則P是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知函數(shù)在處取極值10，則（）A．4或 B．4或 C．4 D．5．某個命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當時命題成立，那么可推得當時命題也成立.現(xiàn)已知當時該命題不成立，那么可推得（）A．當時該命題不成立 B．當時該命題成立C．當時該命題不成立 D．當時該命題成立6．設數(shù)列是單調(diào)遞減的等差數(shù)列，前三項的和為12，前三項的積為28，則（）A.1B.4C.7D.1或77．變量滿足約束條件，若的最大值為2，則實數(shù)等于（）A．—2 B．—1 C．1 D．28．已知,則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．B．．C．D．9．已知，則中（）A．至少有一個不小于1 B．至少有一個不大于1C．都不大于1 D．都不小于110．某大型聯(lián)歡會準備從含甲、乙的6個節(jié)目中選取4個進行演出，要求甲、乙2個節(jié)目中至少有一個參加，且若甲、乙同時參加，則他們演出順序不能相鄰，那么不同的演出順序的種數(shù)為（）A．720 B．520 C．600 D．26411．已知，為的導函數(shù)，則的圖象是（）A． B．C． D．12．已知命題,；命題若，則，下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)的值域為，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，則________.14．極坐標方程化成直角坐標方程是__________.15．設，，，則a，b，c的大小關(guān)系用“”連接為______．16．已知正方體的棱長為2，是棱的中點，點在正方體內(nèi)部或正方體的表面上，且平面，則動點的軌跡所形成的區(qū)域面積是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）世界那么大，我想去看看，每年高考結(jié)束后，處于休養(yǎng)狀態(tài)的高中畢業(yè)生旅游動機強烈，旅游可支配收入日益增多，可見高中畢業(yè)生旅游是一個巨大的市場.為了解高中畢業(yè)生每年旅游消費支出（單位:百元）的情況，相關(guān)部門隨機抽取了某市的1000名畢業(yè)生進行問卷調(diào)查，并把所得數(shù)據(jù)列成如下所示的頻數(shù)分布表：組別[0,20）[20,40）[40,60）[60,80）[80,100）頻數(shù)22504502908（1）求所得樣本的中位數(shù)（精確到百元）；（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可近似地認為學生的旅游費用支出服從正態(tài)分布，若該市共有高中畢業(yè)生35000人，試估計有多少位同學旅游費用支出在8100元以上；（3）已知樣本數(shù)據(jù)中旅游費用支出在[80,100）范圍內(nèi)的8名學生中有5名女生，3名男生，現(xiàn)想選其中3名學生回訪，記選出的男生人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.附:若，則，18．（12分）在直角坐標系中，圓的參數(shù)方程為以為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.（1）求圓的普通方程；（2）直線的極坐標方程是，射線：與圓的交點為、，與直線的交點為,求線段的長.19．（12分）已知命題：對，函數(shù)總有意義；命題：函數(shù)在上是增函數(shù).若命題“”為真命題且“”為假命題，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）在中，內(nèi)角對邊的邊長分別是，已知，．（Ⅰ）若的面積等于，求；（Ⅱ）若，求的面積．21．（12分）在如圖所示的幾何體中，，平面，，，，.（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.22．（10分）已知函數(shù)，（其中,為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若分別是的極大值點和極小值點，且，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

先求導，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)在區(qū)間上有最大值無最小值，即導數(shù)的零點在上，計算得到答案.【題目詳解】設函數(shù)在區(qū)間上有最大值無最小值即在有零點，且滿足：即故答案選C【題目點撥】本題考查了函數(shù)的最大值和最小值問題，將最值問題轉(zhuǎn)為二次函數(shù)的零點問題是解題的關(guān)鍵.2、B【解題分析】由已知及等差數(shù)列性質(zhì)有，故選B.3、B【解題分析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義分別進行判斷即可．【題目詳解】命題p：?x∈R，ax2﹣2ax+1＞0，解命題p：①當a≠0時，△＝4a2﹣4a＝4a（a﹣1）＜0，且a>0，∴解得：0＜a＜1，②當a＝0時，不等式ax2﹣2ax+1＞0在R上恒成立，∴不等式ax2﹣2ax+1＞0在R上恒成立，有：0≤a＜1；命題q：指數(shù)函數(shù)f（x）＝ax（a＞0且a≠1）為減函數(shù)，則0＜a＜1；所以當0≤a＜1；推不出0＜a＜1；當0＜a＜1；能推出0≤a＜1；故P是q的必要不充分條件．故選：B．【題目點撥】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，考查了二次型函數(shù)恒成立的問題，考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解題分析】分析：根據(jù)函數(shù)的極值點和極值得到關(guān)于的方程組，解方程組并進行驗證可得所求．詳解：∵，∴．由題意得，即，解得或．當時，，故函數(shù)單調(diào)遞增，無極值．不符合題意．∴．故選C．點睛：（1）導函數(shù)的零點并不一定就是函數(shù)的極值點，所以在求出導函數(shù)的零點后一定要注意分析這個零點是不是函數(shù)的極值點．（2）對于可導函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值的必要不充分條件，因此在根據(jù)函數(shù)的極值點或極值求得參數(shù)的值后需要進行驗證，舍掉不符合題意的值．5、A【解題分析】分析：利用互為逆否的兩個命題同真同假的原來，當對不成立時，則對也不成立，即可得到答案．詳解：由題意可知，原命題成立的逆否命題成立，命題對不成立時，則對也不成立，否則當時命題成立，由已知必推得也成立，與當時命題不成立矛盾，故選A．點睛：本題主要考查了數(shù)學歸納法以及歸納法的性質(zhì)，互為逆否的兩個命題同真同假的性質(zhì)應用，其中正確四種命題的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解題分析】試題分析：，所以，因為遞減數(shù)列，所以，解得?？键c：等差數(shù)列7、C【解題分析】

將目標函數(shù)變形為，當取最大值，則直線縱截距最小，故當時，不滿足題意；當時，畫出可行域，如圖所示，其中．顯然不是最優(yōu)解，故只能是最優(yōu)解，代入目標函數(shù)得，解得，故選C．考點：線性規(guī)劃．8、C【解題分析】試題分析：，當時，，單調(diào)遞減，同理當時，單調(diào)遞增，，顯然不等式有正數(shù)解（如，（當然可以證明時，）），即存在，使，因此C錯誤．考點：存在性量詞與全稱量詞，導數(shù)與函數(shù)的最值、函數(shù)的單調(diào)性．9、B【解題分析】

用反證法證明，假設同時大于，推出矛盾得出結(jié)果【題目詳解】假設，，，三式相乘得，由，所以，同理，，則與矛盾，即假設不成立，所以不能同時大于，所以至少有一個不大于，故選【題目點撥】本題考查的是用反證法證明數(shù)學命題，把要證的結(jié)論進行否定，在此基礎(chǔ)上推出矛盾，是解題的關(guān)鍵，同時還運用了基本不等式，本題較為綜合10、D【解題分析】

根據(jù)題意，分別討論：甲、乙兩節(jié)目只有一個參加，甲、乙兩節(jié)目都參加，兩種情況，分別計算，再求和，即可得出結(jié)果.【題目詳解】若甲、乙兩節(jié)目只有一個參加，則演出順序的種數(shù)為：，若甲、乙兩節(jié)目都參加，則演出順序的種數(shù)為：；因此不同的演出順序的種數(shù)為.故選：D.【題目點撥】本題主要考查有限制的排列問題，以及計數(shù)原理的簡單應用，熟記計數(shù)原理的概念，以及有限制的排列問題的計算方法即可，屬于?？碱}型.11、A【解題分析】

先化簡f（x）＝，再求其導數(shù)，得出導函數(shù)是奇函數(shù)，排除B，D．再根據(jù)導函數(shù)的導函數(shù)小于0的x的范圍，確定導函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而排除C，即可得出正確答案．【題目詳解】由f（x）＝，∴，它是一個奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，故排除B，D．又，當﹣＜x＜時，cosx＞，∴＜0，故函數(shù)y＝在區(qū)間上單調(diào)遞減，故排除C．故選A．【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的正負之間的關(guān)系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減，屬于基礎(chǔ)題．12、B【解題分析】解：命題p：?x＞0，ln（x+1）＞0，則命題p為真命題，則￢p為假命題；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，則命題q是假命題，則￢q是真命題．∴p∧q是假命題，p∧￢q是真命題，￢p∧q是假命題，￢p∧￢q是假命題．故選B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由的值域為，，可得，由單調(diào)遞減區(qū)間為，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系可求．【題目詳解】由的值域為，，可得，，，，由單調(diào)遞減區(qū)間為，，可知及是的根，且，把代入可得，，解可得，或，當時，可得，當時，代入可得不符合題意，故，故答案為：．【題目點撥】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系的應用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力．14、【解題分析】分析：由極坐標方程可得或，化為直角坐標方程即可.詳解：由極坐標方程可得或，，即或即答案為或.點睛：本題考查極坐標與直角坐標的互化，屬基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

分別判斷出，，，從而得到三者大小關(guān)系.【題目詳解】，，則的大小關(guān)系用“”連接為本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查指對數(shù)比較大小類的問題，解決此類問題的方法主要有兩種：1.構(gòu)造合適的函數(shù)模型，利用單調(diào)性判斷；2.利用臨界值進行區(qū)分.16、【解題分析】

分別取的中點,并連同點順次連接,六邊形就是所求的動點的軌跡,求出面積即可.【題目詳解】如下圖所示：分別取的中點,并連同點順次連接，因為是三角形的中位線,所以平面,平面,同理都平行平面,所以就是所求的動點的軌跡,該正六邊形的邊長為,所以正六邊形的面積為：.故答案為【題目點撥】本題考查了直線與平面平行的判定定理的應用,考查了數(shù)學運算能力、空間想象能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）51；（2）805；（3）見解析【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)中位數(shù)定義列式解得中位數(shù)，（2）由正態(tài)分布得旅游費用支出在元以上的概率為，再根據(jù)頻數(shù)等于總數(shù)與頻率乘積得人數(shù).(3)先確定隨機變量取法，再利用組合數(shù)分別求對應概率，列表可得分布列，最后根據(jù)數(shù)學期望公式求期望.試題解析：（1）設樣本的中位數(shù)為，則，解得，所得樣本中位數(shù)為（百元）.（2），，，旅游費用支出在元以上的概率為，，估計有位同學旅游費用支出在元以上.（3）的可能取值為，，，，，，，，∴的分布列為.18、（1）；（2）1.【解題分析】

參數(shù)方程化為普通方程可得圓的普通方程為.圓的極坐標方程得，聯(lián)立極坐標方程可得，，結(jié)合極坐標的幾何意義可得線段的長為1.【題目詳解】圓的參數(shù)方程為消去參數(shù)可得圓的普通方程為.化圓的普通方程為極坐標方程得，設,則由解得，，設,則由解得，，.【題目點撥】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的應用，極坐標的幾何意義及其應用等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.19、【解題分析】

由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，我們可以得到為真時，的取值范圍；根據(jù)導數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系及基本不等式，我們可以求出為真時的取值范圍；而根據(jù)“”為真且命題“”為假，可得真假，或假真，求出這兩種情況下的的取值范圍再求并集即可．【題目詳解】解：當為真命題時，解得當為真命題時，在上恒成立，即對恒成立.又，當且僅當時等號成立，所以，所以.因為命題“”為真命題且命題“”為假命題，所以命題與命題一個為真一個為假當真假時，有解得當假真時，有解得綜上，實數(shù)的取值范圍是【題目點撥】本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，恒成立問題，導數(shù)法確定函數(shù)的單調(diào)性，復合命題的真假，屬于中檔題.20、（Ⅰ），．（Ⅱ）的面積．【解題分析】試題分析：（1）由余弦定理及已知條件得，a2＋b2－ab＝4，…………2分又因為△ABC的面積等于，所以absinC＝，得ab＝4.…………4分聯(lián)立方程組解得a＝2，b＝2.…………5分（2）由題意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA，…………7分當cosA＝0時，A＝，B＝，a＝，b＝，…………8分當cosA≠0時，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，聯(lián)立方程組解得a＝，b＝.…………10分所以△ABC的面積S＝absinC＝.…………11分考點：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應用，三角形內(nèi)角和定理，兩角和差的三角函數(shù)．點評：典型題，本題在考查正弦定理、余弦定理的應用，三角形內(nèi)角和定理，兩角和差的三角函數(shù)的同時，考查了函數(shù)方程思想，在兩道小題中，均通過建立方程組，以便求的a,b,c等．21、(1)證明見解析；(2).【解題分析】分析：(1)在中，由勾股定理可得.又平面，據(jù)此可得.利用線面垂直的判斷定理可得平面.(2)(方法一)延長，相交于，連接，由題意可知二面角就是平面與平面所成二面角.取的中點為，則就是二面角的平面角.結(jié)合幾何關(guān)系計算可得.(方法二)建立空間直角坐標系，計算可得