2024屆山西省長(zhǎng)治、運(yùn)城、大同、朔州、陽(yáng)泉五地市數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2024屆山西省長(zhǎng)治、運(yùn)城、大同、朔州、陽(yáng)泉五地市數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線(xiàn)C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，若雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則雙曲線(xiàn)C的離心率為()A． B． C． D．2．把座位編號(hào)為1，2，3，4，5，6的六張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人最多得兩張，甲、乙各分得一張電影票，且甲所得電影票的編號(hào)總大于乙所得電影票的編號(hào)，則不同的分法共有（）A．90種 B．120種 C．180種 D．240種3．給出四個(gè)函數(shù)，分別滿(mǎn)足①；②；③；④，又給出四個(gè)函數(shù)圖象正確的匹配方案是（）A.①—?、凇尧邸堋譈.①—乙②—丙③—甲④—丁C.①—丙②—甲③—乙④—丁D.①—?、凇注邸尧堋?．已知函數(shù)，則()A．32 B． C．16 D．5．若，且m，n，，則（）A． B． C． D．6．某同學(xué)同時(shí)擲兩顆骰子，得到點(diǎn)數(shù)分別為，則橢圓的離心率的概率是()A． B． C． D．7．在四棱錐中，底面是正方形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，且各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，體積為4，且四棱錐的高為整數(shù)，則此球的半徑等于（）（參考公式：）A．2 B． C．4 D．8．若直線(xiàn)l：過(guò)點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)直線(xiàn)l的斜率為（）A．2 B． C． D．29．如圖,用6種不同的顏色把圖中A,B,C,D四塊區(qū)域涂色分開(kāi),若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色,則不同涂法的種數(shù)為()A．400 B．460 C．480 D．49610．一個(gè)袋中裝有大小相同的個(gè)白球和個(gè)紅球，現(xiàn)在不放回的取次球，每次取出一個(gè)球，記“第次拿出的是白球”為事件，“第次拿出的是白球”為事件，則事件與同時(shí)發(fā)生的概率是（）A． B． C． D．11．函數(shù)是周期為4的偶函數(shù),當(dāng)時(shí)，,則不等式在上的解集是()A． B． C． D．12．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，集合，則()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正的邊長(zhǎng)為，則到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都為的平面有____________個(gè).14．在平面直角坐標(biāo)系中，若直線(xiàn)與橢圓在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，且以為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)，則橢圓的離心率是______.15．已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，有______．16．某大學(xué)宿舍三名同學(xué)，，，他們來(lái)自北京、天津、上海三個(gè)不同的城市，已知同學(xué)身高比來(lái)自上海的同學(xué)高；同學(xué)和來(lái)自天津的同學(xué)身高不同；同學(xué)比來(lái)自天津的同學(xué)高，則來(lái)自上海的是________同學(xué).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在多面體中，四邊形為等腰梯形，，已知，，，四邊形為直角梯形，，.（1）證明：平面平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.18．（12分）如圖，四棱錐的底面是直角梯形，∥，⊥，，⊿是正三角形。（1）試在棱上找一點(diǎn)，使得∥平面；（2）若平面⊥，在（1）的條件下試求二面角的正弦值。19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其傾斜角為，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸為非負(fù)半軸為極軸，與坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系，設(shè)曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.(1)若直線(xiàn)與曲線(xiàn)有公共點(diǎn)，求傾斜角的取值范圍；(2)設(shè)為曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，求的取值范圍.20．（12分）為了適應(yīng)高考改革，某中學(xué)推行“創(chuàng)新課堂”教學(xué)．高一平行甲班采用“傳統(tǒng)教學(xué)”的教學(xué)方式授課，高一平行乙班采用“創(chuàng)新課堂”的教學(xué)方式授課，為了比較教學(xué)效果，期中考試后，分別從兩個(gè)班中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果如表：（記成績(jī)不低于120分者為“成績(jī)優(yōu)秀”）分?jǐn)?shù)[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）[140，150]甲班頻數(shù)1145432乙班頻數(shù)0112664（1）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95％以上的把握認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”？甲班乙班總計(jì)成績(jī)優(yōu)秀成績(jī)不優(yōu)秀總計(jì)（2）現(xiàn)從上述樣本“成績(jī)不優(yōu)秀”的學(xué)生中，抽取3人進(jìn)行考核，記“成績(jī)不優(yōu)秀”的乙班人數(shù)為X，求X的分布列和期望．參考公式：，其中．臨界值表P（）0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82821．（12分）設(shè)函數(shù)，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為．（1）求，的值；（2）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線(xiàn)l的普通方程與曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，求線(xiàn)段的長(zhǎng).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】分析：根據(jù)雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)平行，利用斜率相等列出的關(guān)系式，即可求解雙曲線(xiàn)的離心率.詳解：雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，若雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)平行，可得，即，可得，離心率，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查雙曲線(xiàn)的定義及離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線(xiàn)的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線(xiàn)的定義來(lái)求解.2、A【解題分析】

從6張電影票中任選2張給甲、乙兩人，共種方法；再將剩余4張票平均分給丙丁2人，共有種方法；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求得結(jié)果.【題目詳解】分兩步：先從6張電影票中任選2張給甲，乙兩人，有種分法；再分配剩余的4張，而每人最多兩張，所以每人各得兩張，有種分法，由分步原理得，共有種分法．故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分步乘法計(jì)數(shù)原理與組合的綜合問(wèn)題.3、D【解題分析】四個(gè)函數(shù)圖象，分別對(duì)應(yīng)甲指數(shù)函數(shù)，乙對(duì)數(shù)函數(shù)，丙冪函數(shù)，丁正比例函數(shù)；而滿(mǎn)足①是正比例函數(shù)；②是指數(shù)函數(shù)；③是對(duì)數(shù)函數(shù)；④是冪函數(shù)，所以匹配方案是①—?、凇注邸尧堋?，選D。4、B【解題分析】

根據(jù)自變量符合的范圍代入對(duì)應(yīng)的解析式即可求得結(jié)果.【題目詳解】本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的求解問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

根據(jù)已知條件，運(yùn)用組合數(shù)的階乘可得：，再由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，可得所要求的和.【題目詳解】則故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了組合數(shù)的計(jì)算以及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于一般題.6、C【解題分析】共6種情況7、B【解題分析】

如圖所示，設(shè)底面正方形的中心為，正四棱錐的外接球的球心為，半徑為.則在中，有，再根據(jù)體積為可求及，在中，有，解出后可得正確的選項(xiàng).【題目詳解】如圖所示，設(shè)底面正方形的中心為，正四棱錐的外接球的球心為，半徑為.設(shè)底面正方形的邊長(zhǎng)為，正四棱錐的高為，則.因?yàn)樵撜睦忮F的側(cè)棱長(zhǎng)為，所以，即……①又因?yàn)檎睦忮F的體積為4，所以……②由①得，代入②得，配湊得，，即，得或.因?yàn)椋?，再將代入①中，解得，所以，所?在中，由勾股定理，得，即，解得，所以此球的半徑等于.故選B.【題目點(diǎn)撥】正棱錐中，棱錐的高、斜高、側(cè)棱和底面外接圓的半徑可構(gòu)成四個(gè)直角三角形，它們溝通了棱錐各個(gè)幾何量之間的關(guān)系，解題中注意利用它們實(shí)現(xiàn)不同幾何量之間的聯(lián)系.8、A【解題分析】

將點(diǎn)帶入直線(xiàn)可得，利用均值不等式“1”的活用即可求解．【題目詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，即，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)所以斜率，故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查均值不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算化簡(jiǎn)的能力，屬基礎(chǔ)題．9、C【解題分析】分析：本題是一個(gè)分類(lèi)計(jì)數(shù)問(wèn)題，只用三種顏色涂色時(shí)，有種方法，用四種顏色涂色時(shí)，有種方法，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果.詳解：只用三種顏色涂色時(shí)，有種方法，用四種顏色涂色時(shí)，有種方法，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得不同涂法的種數(shù)為120+360=480.故答案為：C.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查計(jì)數(shù)原理，考查排列組合的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)排列組合常用的方法有一般問(wèn)題直接法、相鄰問(wèn)題捆綁法、不相鄰問(wèn)題插空法、特殊對(duì)象優(yōu)先法、等概率問(wèn)題縮倍法、至少問(wèn)題間接法、復(fù)雜問(wèn)題分類(lèi)法、小數(shù)問(wèn)題列舉法.10、D【解題分析】

將事件表示出來(lái)，再利用排列組合思想與古典概型的概率公式可計(jì)算出事件的概率．【題目詳解】事件：兩次拿出的都是白球，則，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概型的概率計(jì)算，解題時(shí)先弄清楚各事件的基本關(guān)系，然后利用相關(guān)公式計(jì)算所求事件的概率，考查計(jì)算能力，屬于中等題．11、C【解題分析】若，則此時(shí)是偶函數(shù)，即若，則∵函數(shù)的周期是4，

即，作出函數(shù)在上圖象如圖，

若，則不等式等價(jià)為，此時(shí)

若，則不等式等價(jià)為，此時(shí)，

綜上不等式在上的解集為故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查不等式的求解，利用函數(shù)奇偶性和周期性求出對(duì)應(yīng)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．12、D【解題分析】,解得，即，，所以，故選D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

分類(lèi)討論，三個(gè)頂點(diǎn)都在平面的同一側(cè)，三個(gè)頂點(diǎn)在平面的兩側(cè)，一側(cè)一個(gè)，另一側(cè)兩個(gè)．【題目詳解】若此平面與平面平行，這樣的平面有2個(gè)到三頂點(diǎn)距離為1，若此平面與平面相交，則一定過(guò)三角形其中兩邊的中點(diǎn)，由于三角形邊長(zhǎng)為，因此如過(guò)的中點(diǎn)和的中點(diǎn)的平面，到三頂點(diǎn)距離為1的有兩個(gè)，這樣共有6個(gè)，所以所求平面?zhèn)€數(shù)為1．故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查點(diǎn)到平面的距離，由于是三角形的三個(gè)頂點(diǎn)到平面的距離相等，因此要分類(lèi)討論，即三角形所在平面與所求平面平行和相交兩種情形，相交時(shí)為保證距離相等，平面必定過(guò)三角形兩邊中點(diǎn)．14、.【解題分析】

由題意可得軸，求得的坐標(biāo)，由在直線(xiàn)上，結(jié)合離心率公式，解方程可得所求值．【題目詳解】解：以為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)，可得軸，令，可得，不妨設(shè)，由在直線(xiàn)上，可得，即為，由可得，解得（負(fù)的舍去）.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查了圓的性質(zhì).本題的關(guān)鍵是由圓過(guò)焦點(diǎn)得出點(diǎn)的坐標(biāo).求離心率的做題思路是，根據(jù)題意求出或者列出一個(gè)關(guān)于的方程，由橢圓或雙曲線(xiàn)的的關(guān)系，進(jìn)而求解離心率.15、【解題分析】

根據(jù)題意可知，假設(shè)，代入可得到，當(dāng)時(shí)，，兩式相減，化簡(jiǎn)即可求解出結(jié)果。【題目詳解】由題可知，，，所以．故答案為?！绢}目點(diǎn)撥】本題主要考查利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式過(guò)程中的歸納遞推步驟。16、A【解題分析】

根據(jù)題意確定天津的同學(xué)，再確定上海的同學(xué)即可【題目詳解】由于同學(xué)，同學(xué)都與同學(xué)比較，故同學(xué)來(lái)自天津；同學(xué)比來(lái)自天津的同學(xué)高，即比同學(xué)高；而同學(xué)身高比來(lái)自上海的同學(xué)高，故來(lái)自上海的是同學(xué)【題目點(diǎn)撥】本題考查三者身份推理問(wèn)題，總會(huì)出現(xiàn)和兩個(gè)人都有關(guān)系的第三方，確定其身份是解題關(guān)鍵三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析（2）【解題分析】分析：（1）通過(guò)取AD中點(diǎn)M，連接CM，利用，得到直角；再利用可得；而,DE平面ADEF，所以可得面面垂直．（2）以AD中點(diǎn)O建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，求得平面CAE與直線(xiàn)BE向量，根據(jù)直線(xiàn)與法向量的夾角即可求得直線(xiàn)與平面夾角的正弦值．詳解：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，，由四邊形為平行四邊形，可知，在中，有，∴.又，，∴平面，∵平面，∴.又，，∴平面.∵平面，∴平面平面.（2）解：由（1）知平面平面，如圖，取的中點(diǎn)為，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，.設(shè)平面的法向量，則，即，不妨令，得.故直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.點(diǎn)睛：本題考查了空間幾何體面面垂直的綜合應(yīng)用，利用法向量法求線(xiàn)面夾角的正弦值，關(guān)鍵注意計(jì)算要準(zhǔn)確，屬于中檔題．18、（1）為邊的中點(diǎn)；（2）.【解題分析】

(1)由平面得到∥，在底面中,根據(jù)關(guān)系確定M為AB中點(diǎn).(2)取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，接可證明∠為二面角的平面角，在三角形中利用邊關(guān)系得到答案.【題目詳解】解：(1)因?yàn)椤纹矫?,平面平面,所以∥由題設(shè)可知點(diǎn)為邊的中點(diǎn)（2）平面⊥平面,平面平面,取的中點(diǎn),連接,在正三角形中為則⊥,由兩平面垂直的性質(zhì)可得⊥平面.取的中點(diǎn)連接可證明∠為二面角的平面角.設(shè)，在直角三角形中，所以為所求【題目點(diǎn)撥】本題考查了線(xiàn)面平行，二面角的計(jì)算，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.19、(1).(2).【解題分析】分析：（1）利用互化公式即可把曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0化為直角坐標(biāo)方程．直線(xiàn)l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程可得t2﹣8tcosα+12=0，根據(jù)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C有公共點(diǎn)，可得△≥0，利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．（2）曲線(xiàn)C的方程x2+y2﹣2x﹣3=0可化為（x﹣1）2+y2=4，參數(shù)方程為，（θ為參數(shù)），設(shè)M（x，y）為曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，可得x+y=1+2cosθ+2sinθ，利用和差公式化簡(jiǎn)即可得出取值范圍．詳解：（1）將曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為，直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將參數(shù)方程代入，整理，∵直線(xiàn)與曲線(xiàn)有公共點(diǎn)，∴，∴，或，∵，∴的取值范圍是（2）曲線(xiàn)的方程可化為，其參數(shù)方程為（為參數(shù)），∵為曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，∴，∴的取值范圍是點(diǎn)睛：解答解析幾何中的最值問(wèn)題時(shí)，對(duì)于一些特殊的問(wèn)題，可根據(jù)幾何法求解，以增加形象性、減少運(yùn)算量．20、（1）有以上的把握認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”.（2）見(jiàn)解析.【解題分析】

（1）根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)列聯(lián)表,根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算的觀(guān)測(cè)值k,對(duì)照臨界值得出結(jié)論；（2）由題意知的可能取值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，寫(xiě)出的分布列,求期望即可.【題目詳解】（1）補(bǔ)充的列聯(lián)表如下表：甲班乙班總計(jì)成績(jī)優(yōu)秀成績(jī)不優(yōu)秀總計(jì)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得的觀(guān)測(cè)值為，所以有以上的把握認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”.（2）的可能取值為，，，，