2024屆江蘇省泰州市興化市第一中學高二數(shù)學第二學期期末考試試題含解析

2024屆江蘇省泰州市興化市第一中學高二數(shù)學第二學期期末考試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在《九章算術）方田章圓田術（劉徽注）中指出：“割之彌細，所失彌少．割之又割，以至不能割，則與圓周合體而無所失矣．”注述中所用的割圓術是一種無限與有限的轉化過程，比如在中“…”即代表無限次重復，但原式卻是個定值，這可以通過方程確定出來，類似地，可得的值為（）A． B． C． D．2．函數(shù)的大致圖象為（）A． B． C． D．3．由直線與曲線圍成的封閉圖形的面積是（）A． B． C． D．4．歐拉公式eix＝cosx＋isinx(i為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，它在復變函數(shù)論里非常重要，被譽為“數(shù)學中的天橋”．根據(jù)歐拉公式可知，e2i表示的復數(shù)在復平面中對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．橢圓的長軸長為（）A．1 B．2 C． D．46．已知，取值如下表：從所得的散點圖分析可知：與線性相關，且，則等于（）A． B． C． D．7．閱讀下圖所示程序框圖，若輸入，則輸出的值是（）A.B.C.D.8．在二項式的展開式中，的系數(shù)為（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．809．拋物線上的點到直線的最短距離為()A． B． C． D．10．函數(shù)f(x)=lnxA． B． C． D．11．已知直線l的參數(shù)方程為x=t+1，y=t-1，（tA．0° B．45° C．9012．已知空間向量，且，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線的虛軸長為，其漸近線夾角為__________.14．已知函數(shù)，若函數(shù)存在唯一零點，且，則實數(shù)a的取值范圍是________.15．若一個圓錐的側面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的底面半徑為_______.16．某學校高三年級700人，高二年級700人，高一年級800人，若采用分層抽樣的辦法，從高一年級抽取80人，則全校總共抽取______人.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，R，矩陣的兩個特征向量，．（1）求矩陣的逆矩陣；（2）若，求．18．（12分）已知函數(shù).（1）若在處的切線與軸平行，求的值；（2）當時，求的單調(diào)區(qū)間.19．（12分）已知點O（0，0），A（2，一1），B（一4，8）．（1）若點C滿足，求點C的坐標；（2）若與垂直，求k．20．（12分）已知函數(shù)（1）若在其定義域上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)的取值集合；（2）當時，函數(shù)在有零點，求的最大值21．（12分）（1）集合，或，對于任意，定義，對任意，定義，記為集合的元素個數(shù)，求的值；（2）在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，，，是否存在正整數(shù)，使得數(shù)列的所有項都在數(shù)列中，若存在，求出所有的，若不存在，說明理由；（3）已知當時，有，根據(jù)此信息，若對任意，都有，求的值.22．（10分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，，、分別是、中點.（1）證明：（2）求平面與平面所成銳二面角的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

設，可得，求解即可.【題目詳解】設，則，即，解得，取.故選B.【題目點撥】本題考查了類比推理，考查了計算能力，屬于基礎題.2、B【解題分析】分析：利用函數(shù)的解析式，判斷大于時函數(shù)值的符號，以及小于時函數(shù)值的符號，對比選項排除即可.詳解：當時，函數(shù)，排除選項；當時，函數(shù)，排除選項，故選B.點睛：本題通過對多個圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點以及時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意的選項一一排除.3、B【解題分析】分析：先求曲線交點，再確定被積上下限，最后根據(jù)定積分求面積.詳解：因為，所以所以由直線與曲線圍成的封閉圖形的面積是,選B.點睛：利用定積分求曲邊圖形面積時，一定要找準積分上限、下限及被積函數(shù)．當圖形的邊界不同時，要分不同情況討論．4、B【解題分析】

由題意得，得到復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點，即可作出解答.【題目詳解】由題意得，e2i＝cos2＋isin2，∴復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為(cos2，sin2)．∵2∈，∴cos2∈(－1，0)，sin2∈(0，1)，∴e2i表示的復數(shù)在復平面中對應的點位于第二象限，故選B.【題目點撥】本題主要考查了復數(shù)坐標的表示，屬于基礎題.5、D【解題分析】

由橢圓方程得出即可【題目詳解】由可得，即所以長軸長為故選：D【題目點撥】本題考查的是由橢圓的方程得長軸長，較簡單6、B【解題分析】

計算平均數(shù)，可得樣本中心點，代入線性回歸方程，即可求得a的值．【題目詳解】依題意,得(0+1+4+5+6+8)=4,(1.3+1.8+5.6+6.1++7.4+9.3)=5.25.又直線y=0.95x+a必過中心點(),即點(4,5.25),于是5.25=0.95×4+a,解得a=1.45.故選B.【題目點撥】本題考查線性回歸方程，利用線性回歸方程恒過樣本中心點是關鍵．7、A【解題分析】試題分析：由程序框圖可知該算法是計算數(shù)列的前2016項和，根據(jù)，所以。考點：1.程序框圖；2.數(shù)列求和。8、A【解題分析】

根據(jù)二項展開式的通項，可得，令，即可求得的系數(shù)，得到答案.【題目詳解】由題意，二項式的展開式的通項為，令，可得，即展開式中的系數(shù)為，故選A.【題目點撥】本題主要考查了二項式定理的應用，其中解答中熟記二項展開式的通項是解答本題的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.9、B【解題分析】分析：設拋物線上點，由點到直線距離公式，得點A到直線的距離，由二次函數(shù)的性質，可求最小距離.詳解：設拋物線上的任意一點，由拋物線的性質點A到直線的距離易得由二次函數(shù)的性質可知，當時，最小距離.故選B.點睛：本題考查拋物線的基本性質，點到直線距離公式，考查學生轉化能力和計算能力.10、A【解題分析】

利用函數(shù)的奇偶性，排除選項B,D，再利用特殊點的函數(shù)值判斷即可．【題目詳解】函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，排除選項B,D；當-1<x<0,f（x）<0，排除選項C故選：A．【題目點撥】本題考查函數(shù)的圖象的判斷，函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的圖象的變化趨勢是判斷函數(shù)的圖象的常用方法．11、B【解題分析】

將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，得出該直線的斜率，即可得出該直線的傾斜角?！绢}目詳解】直線l的直角坐標方程為x-y-2=0，斜率k=tanα=1,所以α=45【題目點撥】本題考查利用直線的參數(shù)方程求直線的傾斜角，參數(shù)方程化為普通方程是常用方法，而參數(shù)方程化為普通方程有兩種常見的消參方法：①加減消元法；②代入消元法；③平方消元法。12、C【解題分析】

根據(jù)空間向量的數(shù)量積等于0，列出方程，即可求解.【題目詳解】由空間向量，又由，即，解得，故選C.【題目點撥】本題主要考查了空間向量中垂直關系的應用，其中解答中根據(jù)，利用向量的數(shù)量積等于0，列出方程即可求解，著重考查了推理與運算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、60°．【解題分析】

計算出的值，得出漸近線的斜率，得出兩漸近線的傾斜角，從而可得出兩漸近線的夾角.【題目詳解】由題意知，雙曲線的虛軸長為，得，所以，雙曲線的漸近線方程為，兩條漸近線的傾斜角分別為、，因此，兩漸近線的夾角為，故答案為.【題目點撥】本題考查雙曲線漸近線的夾角，解題的關鍵就是求出漸近線方程，根據(jù)漸近線的傾斜角來求解，考查運算求解能力，屬于基礎題.14、【解題分析】

利用分類討論思想的應用和分類討論思想的應用求出的取值范圍．【題目詳解】解：當時，由，解得或，在，上是增函數(shù)，且，，所以在上有零點，由題意知，由故或，又．當時，解得有兩個零點，不合題意．當時，增區(qū)間為，減區(qū)間為和且，當時，則由單調(diào)性及極值可知，有唯一零點，但零點大于0，當時，則有三個零點，∴無論正負都不合適．所以．故答案為：.【題目點撥】本題考查函數(shù)導數(shù)的應用，利用函數(shù)的導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，函數(shù)的零點和方程的根的關系式的的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于中檔題型．15、1【解題分析】

先根據(jù)側面展開是面積為的半圓算出圓錐的母線，再根據(jù)側面展開半圓的弧長即底面圓的周長求解.【題目詳解】如圖所示：設圓錐的半徑為r，高為h，母線長為l，因為圓錐的側面展開圖是半徑為l，面積為的半圓面，所以，解得，因為側面展開半圓的弧長即底面圓的周長，所以，故圓錐的底面半徑.【題目點撥】本題考查圓錐的表面積的相關計算.主要依據(jù)側面展開的扇形的弧長即底面圓的半徑，扇形的弧長和面積計算公式.16、220.【解題分析】分析：根據(jù)學生的人數(shù)比，利用分層抽樣的定義即可得到結論．詳解：設全校總共抽取n人，則：故答案為220人.點睛：本題主要考查分層抽樣的應用，根據(jù)條件建立比例關系是解決本題的關鍵，比較基礎．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）由矩陣的特征向量求法，解方程可得，再由矩陣的逆矩陣可得所求；（2）求得，再由矩陣的多次變換，可得所求.【題目詳解】解：（1）設矩陣的特征向量對應的特征值為，特征向量對應的特征值為，則，則．（2）因，所以．【題目點撥】本題考查矩陣的特征值和特征向量，考查矩陣的逆矩陣，以及矩陣的變換，考查運算求解能力，屬于中檔題.18、（1）（2）函數(shù)在上遞增，在上遞減【解題分析】

（1）求導數(shù)，將代入導函數(shù)，值為0，解得.（2）當時，代入函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的正負確定函數(shù)單調(diào)性.【題目詳解】解：（1）函數(shù)的定義域為又，依題有，解得．（2）當時，，令，解得，（舍）當時，，遞增，時，，遞減；所以函數(shù)在上遞增，在上遞減．【題目點撥】本題考查了函數(shù)的切線，函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學生的計算能力.19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）設出C點的坐標，利用終點減起點坐標求得和的坐標，利用向量運算坐標公式，得到滿足的條件求得結果；（2）利用向量坐標運算公式求得，，利用向量垂直的條件，得到等量關系式，求得結果.【題目詳解】（1）因為，，所以．設點C的坐標為，則．由，得解得，，所以點C的坐標為．（2），，因為與垂直，所以，解得.【題目點撥】該題考查的是有關向量的問題，涉及到的知識點有向量坐標運算公式及法則，向量垂直的條件，數(shù)量積坐標公式，屬于簡單題目.20、（1）；（2）最大值為【解題分析】

（1）確定函數(shù)定義域，求導，導函數(shù)大于等于0恒成立，利用參數(shù)分離得到答案.（2）當時，代入函數(shù)求導得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，依次判斷每個區(qū)間的零點情況，綜合得到答案.【題目詳解】解：（1）的定義域為在上恒成立，即即實數(shù)的取值集合是（2）時，，即在區(qū)間和單調(diào)增，在區(qū)間上單調(diào)減.在最小值為且在上沒有零點.要想函數(shù)在上有零點，并考慮到在區(qū)間上單調(diào)且上單減，只須且，易檢驗當時，且時均有，即函數(shù)在上有上有零點.的最大值為【題目點撥】本題考查了函數(shù)單調(diào)性，恒成立問題，參數(shù)分離法，零點問題，綜合性強難度大，需要靈活運用導數(shù)各個知識點.21、（1），；（2）為正偶數(shù)；（3）；【解題分析】

（1）由題意得：集合表示方程解的集合，由于或，即可得到集合的元素個數(shù)；利用倒序相加法及，即可得到答案；（2）假設存在，對分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進行討論；（3）利用類比推理和分類計數(shù)原理可得的值.【題目詳解】（1）由題意得：集合表示方程解的集合，由于或，所以方程中有個，個，從而可得到解的情況共有個，所以.令，所以，所以，所以，即.（2）當取偶數(shù)時，中所有項都是中的項.由題意：均在數(shù)列中，當時，，說明數(shù)列的第項是數(shù)列中的第項.當取奇數(shù)時，因為不是整數(shù)，所以數(shù)列的所有項都不在數(shù)列中.綜上所述：為正偶數(shù).（3）當時，有①當時，②又對任意，都有③所以即為的系數(shù)，可?、僦?、②中的1；或①中、②中的；或①中、②中的；或①中的、②中的；所以.【題目點撥】本題第（1）問考查對集合新定義的理解；第（2）問考查等比數(shù)列的控究性問題；第（3）問考查類比推理與計數(shù)原理相