福建省廈門市翔安一中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題含解析

福建省廈門市翔安一中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．甲球與某立方體的各個面都相切，乙球與這個立方體的各條棱都相切，丙球過這個立方體的所有頂點(diǎn)，則甲、乙、丙三球的半徑的平方之比為（）A．1∶2∶3 B．1∶∶C．1∶∶ D．1∶2∶32．在同一平面直角坐標(biāo)系中，曲線按變換后的曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B． C． D．3．甲?乙?丙?丁四位同學(xué)一起去老師處問他們的成績.老師說:“你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給丙看甲?乙的成績,給甲看乙的成績,給丁看丙的成績.”看后丙對大家說:“我還是不知道我的成績.”根據(jù)以上信息,則下列結(jié)論正確的是()A．甲可以知道四人的成績 B．丁可以知道自己的成績C．甲?丙可以知道對方的成績 D．乙?丁可以知道自己的成績4．用反證法證明命題“設(shè)為實(shí)數(shù)，則方程至少有一個實(shí)根”時，要做的假設(shè)是（）A．方程沒有實(shí)根B．方程至多有一個實(shí)根C．方程至多有兩個實(shí)根D．方程恰好有兩個實(shí)根5．在等差數(shù)列中，，則為（）A．2 B．3 C．4 D．56．已知二項式的展開式中各項的二項式系數(shù)和為，其展開式中的常數(shù)項為，則（）A． B． C． D．7．“m≠0”是“方程=m表示的曲線為雙曲線”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．利用反證法證明“若，則”時，假設(shè)正確的是（）A．都不為2 B．且都不為2C．不都為2 D．且不都為29．在四棱錐中，底面是正方形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，且各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該四棱錐的側(cè)棱長為，體積為4，且四棱錐的高為整數(shù)，則此球的半徑等于（）（參考公式：）A．2 B． C．4 D．10．若，則s1,s2,s3的大小關(guān)系為（）A．s1＜s2＜s3 B．s2＜s1＜s3 C．s2＜s3＜s1 D．s3＜s2＜s111．給出四個函數(shù)，分別滿足①；②；③；④，又給出四個函數(shù)圖象正確的匹配方案是（）A.①—丁②—乙③—丙④—甲B.①—乙②—丙③—甲④—丁C.①—丙②—甲③—乙④—丁D.①—?、凇注邸尧堋?2．中國有個名句“運(yùn)籌帷幄之中，決勝千里之外”，其中的“籌”原意是指《孫子算經(jīng)》中記載的算籌.古代是用算籌來進(jìn)行計算，算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進(jìn)行運(yùn)算，算籌的擺放形式有縱橫兩種形式（如圖所示），表示一個多位數(shù)時，像阿拉伯計數(shù)一樣，把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個位、百位、萬位數(shù)用縱式表示，十位、千位、十萬位用橫式表示，以此類推．例如8455用算籌表示就是，則以下用算籌表示的四位數(shù)正確的為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知過點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn)，拋物線上有一點(diǎn)使,若是拋物線的切線，則直線的方程是___．14．一根木棍長為4，若將其任意鋸為兩段，則鋸成的兩段木棍的長度有一段大于3的概率為______．15．已知向量與的夾角為60°，||=2，||=1，則|+2|=______.16．如圖為一個空間幾何體的三視圖，其主視圖與左視圖是邊長為的正三角形，俯視圖輪廓是正方形，則該幾何體的側(cè)而積為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）用數(shù)學(xué)歸納法證明：．18．（12分）如圖，一張坐標(biāo)紙上已作出圓及點(diǎn)，折疊此紙片，使與圓周上某點(diǎn)重合，每次折疊都會留下折痕，設(shè)折痕與直線的交點(diǎn)為，令點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若直線與軌跡交于、兩點(diǎn),且直線與以為直徑的圓相切，若，求的面積的取值范圍．19．（12分）如圖，已知四棱錐的底面ABCD為正方形，平面ABCD，E、F分別是BC，PC的中點(diǎn)，，．（1）求證：平面；（2）求二面角的大小．20．（12分）紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，能對農(nóng)作物造成嚴(yán)重傷害，每只紅鈴蟲的平均產(chǎn)卵數(shù)和平均溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計量的值.平均溫度21232527293133平均產(chǎn)卵數(shù)/個7112124661153251.92.43.03.24.24.75.8（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于平均溫度的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）并由判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程.（計算結(jié)果精確到0.01）（2）根據(jù)以往統(tǒng)計，該地每年平均溫度達(dá)到以上時紅鈴蟲會造成嚴(yán)重傷害，需要人工防治，其他情況均不需要人工防治，記該地每年平均溫度達(dá)到以上的概率為.記該地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率為，求的最大值，并求出相應(yīng)的概率.附：回歸方程中，，.參考數(shù)據(jù)52151771371781.33.621．（12分）某單位共有員工45人，其中男員工27人，女員工18人.上級部門為了對該單位員工的工作業(yè)績進(jìn)行評估，采用按性別分層抽樣的方法抽取5名員工進(jìn)行考核.（1）求抽取的5人中男、女員工的人數(shù)分別是多少；（2）考核前，評估小組從抽取的5名員工中，隨機(jī)選出3人進(jìn)行訪談.求選出的3人中有1位男員工的概率；（3）考核分筆試和答辯兩項.5名員工的筆試成績分別為78，85，89，92，96；結(jié)合答辯情況，他們的考核成績分別為95，88，102，106，99.這5名員工筆試成績與考核成績的方差分別記為，試比較與的大小.（只需寫出結(jié)論）22．（10分）已知函數(shù)．(1)解不等式；(2)記函數(shù)的值域?yàn)镸，若，證明：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

設(shè)立方體為以2為邊長的正方體，分別求出甲乙丙的半徑，即可得出答案。【題目詳解】設(shè)立方體為以2為邊長的正方體，則，，所以【題目點(diǎn)撥】設(shè)立方體為以2為邊長的正方體，分別求出甲乙丙的半徑，即可得出答案。2、D【解題分析】

把伸縮變換的式子變?yōu)橛帽硎?，再代入原方程即可求出結(jié)果.【題目詳解】由可得，將其代入可得：，即故其焦點(diǎn)為：.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查的是有關(guān)伸縮變換后曲線方程的求解問題，涉及到的知識點(diǎn)有伸縮變換規(guī)律對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題3、B【解題分析】

根據(jù)題意可逐句進(jìn)行分析，已知四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，而丙知道甲和乙但不知道自己的成績可知：甲和乙、丙和丁都只能一個是優(yōu)秀，一個是良好，接下來，由上一步的結(jié)論，當(dāng)甲知道乙的成績后，就可以知道自己的成績，同理，當(dāng)丁知道丙的成績后，就可以知道自己的成績，從而選出答案.【題目詳解】由丙知道甲和乙但不知道自己的成績可知：甲和乙、丙和丁都只能一個是優(yōu)秀，一個是良好；當(dāng)甲知道乙的成績后，就可以知道自己的成績，但是甲不知道丙和丁的成績；當(dāng)丁知道丙的成績后，就可以知道自己的成績，但是丁不知道甲和乙的成績；綜上，只有B選項符合.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題是一道邏輯推理題，此類題目的推理方法是綜合法和分析法，逐條分析題目條件語句即可，屬于中等題.4、A【解題分析】分析：反證法證明命題時，假設(shè)結(jié)論不成立．至少有一個的對立情況為沒有．故假設(shè)為方程沒有實(shí)根．詳解：結(jié)論“方程至少有一個實(shí)根”的假設(shè)是“方程沒有實(shí)根．”點(diǎn)睛：反證法證明命題時，應(yīng)假設(shè)結(jié)論不成立，即結(jié)論的否定成立．常見否定詞語的否定形式如下：結(jié)論詞沒有至少有一個至多一個不大于不等于不存在反設(shè)詞有一個也沒有至少兩個大于等于存在5、A【解題分析】

由等差數(shù)列性質(zhì)，得，問題得解.【題目詳解】是等差數(shù)列，，，解得.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解題分析】

二項展開式的二項式系數(shù)和為，可得，使其通項公式為常數(shù)項時，求得，從而得到關(guān)于的方程.【題目詳解】展開式中各項的二項式系數(shù)和為，，得，，當(dāng)時，，解得：.【題目點(diǎn)撥】求二項式定理展開式中各項系數(shù)和是用賦值法，令字母都為1；而展開式各項的二項式系數(shù)和固定為.7、C【解題分析】

根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行判斷．【題目詳解】時，方程表示兩條直線，時，方程可化為，時表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，時表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查充分必要條件，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．8、C【解題分析】

根據(jù)反證法的知識，選出假設(shè)正確的選項.【題目詳解】原命題的結(jié)論是“都為2”，反證時應(yīng)假設(shè)為“不都為2”．故選：C【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查反證法的知識，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】

如圖所示，設(shè)底面正方形的中心為，正四棱錐的外接球的球心為，半徑為.則在中，有，再根據(jù)體積為可求及，在中，有，解出后可得正確的選項.【題目詳解】如圖所示，設(shè)底面正方形的中心為，正四棱錐的外接球的球心為，半徑為.設(shè)底面正方形的邊長為，正四棱錐的高為，則.因?yàn)樵撜睦忮F的側(cè)棱長為，所以，即……①又因?yàn)檎睦忮F的體積為4，所以……②由①得，代入②得，配湊得，，即，得或.因?yàn)?，所以，再將代入①中，解得，所以，所?在中，由勾股定理，得，即，解得，所以此球的半徑等于.故選B.【題目點(diǎn)撥】正棱錐中，棱錐的高、斜高、側(cè)棱和底面外接圓的半徑可構(gòu)成四個直角三角形，它們溝通了棱錐各個幾何量之間的關(guān)系，解題中注意利用它們實(shí)現(xiàn)不同幾何量之間的聯(lián)系.10、B【解題分析】選B.考點(diǎn)：此題主要考查定積分、比較大小，考查邏輯推理能力.11、D【解題分析】四個函數(shù)圖象，分別對應(yīng)甲指數(shù)函數(shù)，乙對數(shù)函數(shù)，丙冪函數(shù)，丁正比例函數(shù)；而滿足①是正比例函數(shù)；②是指數(shù)函數(shù)；③是對數(shù)函數(shù)；④是冪函數(shù)，所以匹配方案是①—?、凇注邸尧堋?，選D。12、D【解題分析】

根據(jù)題意直接判斷即可.【題目詳解】根據(jù)“各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個位、百位、萬位數(shù)用縱式表示，十位、千位、十萬位用橫式表示”的原則，只有D符合，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查合情推理，屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或.【解題分析】分析：由題設(shè)，求導(dǎo)得到直線然后分和兩種情況討論即可得到直線的方程.詳解：由題設(shè)，求導(dǎo)即，則直線當(dāng)時，驗(yàn)證符合題意，此時，故，當(dāng)時，，，或（重合，舍去）此時，故點(diǎn)睛：本題考查曲線的切線方程的求法，垂直關(guān)系的斜率表示等，屬基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

試驗(yàn)的全部區(qū)域長度為4，基本事件的區(qū)域長度為2，代入幾何概型概率公式即可得結(jié)果．【題目詳解】設(shè)“長為4的木棍”對應(yīng)區(qū)間，“鋸成的兩段木棍的長度有一段大于3”為事件，則滿足的區(qū)間為或，根據(jù)幾何概率的計算公式可得，．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查幾何概型等基礎(chǔ)知識，屬于中檔題．解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與長度有關(guān)的幾何概型問題關(guān)鍵是計算問題的總長度以及事件的長度.15、【解題分析】

∵平面向量與的夾角為，∴.∴故答案為.點(diǎn)睛：(1)求向量的夾角主要是應(yīng)用向量的數(shù)量積公式．(2)常用來求向量的模．16、8【解題分析】

首先根據(jù)三視圖轉(zhuǎn)換成立體圖形，進(jìn)一步利用幾何體的側(cè)面積公式求出結(jié)果．【題目詳解】解：根據(jù)三視圖得知：該幾何體是以底面邊長為2，高為的正四棱錐．如圖四棱錐

所以：正四棱錐的側(cè)面的高為：，

則正四棱錐的側(cè)面積為：．

故答案為8.【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識要點(diǎn)：三視圖和立體圖形之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的側(cè)面積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的空間想象能力和應(yīng)用能力．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、詳見解析【解題分析】

用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，先證明當(dāng)時，等式成立再假設(shè)當(dāng)時等式成立，進(jìn)而證明當(dāng)時，等式也成立.【題目詳解】當(dāng)時，左邊右邊，等式成立．假設(shè)當(dāng)時等式成立，即當(dāng)時，左邊═2當(dāng)時，等式也成立．綜合，等式對所有正整數(shù)都成立．【題目點(diǎn)撥】數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個與自然數(shù)集相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)是關(guān)于自然數(shù)的命題，（1）奠基在時成立；（2）歸納在為任意自然數(shù)成立的假設(shè)下可以推出成立，則對一切自然數(shù)都成立．18、（1）；（2）【解題分析】

分析：（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，且，可得，的軌跡的方程為；（2）與以為直徑的圓相切，則到的距離：，即，由，消去，得，由平面向量數(shù)量積公式可得，由三角形面積公式可得，換元后，利用單調(diào)性可得結(jié)果.詳解：（1）折痕為PP′的垂直平分線，則|MP|=|MP′|，由題意知圓E的半徑為，∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=＞|EP|，∴E的軌跡是以E、P為焦點(diǎn)的橢圓，且，∴，∴M的軌跡C的方程為．（2）與以EP為直徑的圓x2+y2=1相切，則O到的距離：，即，由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直線與橢圓交于兩個不同點(diǎn)，∴△=16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）=8k2＞0，k2＞0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，又，∴，∴，設(shè)μ=k4+k2，則，∴，…10分∵S△AOB關(guān)于單調(diào)遞增，∴，∴△AOB的面積的取值范圍是點(diǎn)睛：本題主要考查利用定義求橢圓方程及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求三角形面積最值的.19、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）（2）以A為原點(diǎn)，如圖所示建立直角坐標(biāo)系，，設(shè)平面FAE法向量為，則，，20、（1）；（2）當(dāng)時，.【解題分析】

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷更適宜作為關(guān)于的回歸方程類型；對兩邊取自然對數(shù)，求出回歸方程，再化為y關(guān)于x的回歸方程；（2）由對其求對數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求出函數(shù)的最值以及對應(yīng)的值.【題目詳解】解：（1）由散點(diǎn)圖可以判斷，適宜作為卵數(shù)關(guān)于溫度的回歸方程類型.對兩邊取自然對數(shù)，得，由數(shù)據(jù)得，，所以，，所以關(guān)于的線性回歸方程為，關(guān)于的回歸方程為.（2）由得，因?yàn)?，令得，解得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有唯一的極大值為，也是最大值；所以當(dāng)時，.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線性回歸方程的求法與應(yīng)