湖北省荊州市2024屆高二數(shù)學第二學期期末預測試題含解析

湖北省荊州市2024屆高二數(shù)學第二學期期末預測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列四個命題中正確的是①若則;②若則;③若,則;④若則A．①②④ B．②③ C．①④ D．②④2．已知數(shù)列為單調遞增的等差數(shù)列，為前項和，且滿足，、、成等比數(shù)列，則()A．55 B．65 C．70 D．753．設，則的展開式中的常數(shù)項為（）A． B． C． D．4．如表是某廠節(jié)能降耗技術改造后，在生產甲產品過程中記錄的產量（噸）與相應的生產能耗（噸）的幾組對應數(shù)據：34562.53m4.5若根據如表提供的數(shù)據，用最小二乘法可求得對的回歸直線方程是，則表中的值為（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.55．若不等式|ax+2|＜6的解集為（﹣1，2），則實數(shù)a等于（）A．8 B．2 C．﹣4 D．﹣86．下圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構成，三個半圓的直分別為直角三角形的斜邊，直角邊，.若，，在整個圖形中隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為（）（）A． B．C． D．7．學生會為了調查學生對年俄羅斯世界杯的關注是否與性別有關，抽樣調查人，得到如下數(shù)據：不關注關注總計男生301545女生451055總計7525100根據表中數(shù)據，通過計算統(tǒng)計量，并參考以下臨界數(shù)據：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.828若由此認為“學生對2018年俄羅斯世界杯的關注與性別有關”，則此結論出錯的概率不超過（）A． B． C． D．8．設，，則A． B．， C． D．，9．函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是()A．B．C．D．10．某單位有職工160人，其中業(yè)務員有104人，管理人員32人，后勤服務人員24人，現(xiàn)用分層抽樣法從中抽取一個容量為20的樣本，則抽取管理人員()A．3人 B．4人 C．7人 D．12人11．設，，，則()A． B． C． D．12．如圖，在正方形內任取一點，則點恰好取自陰影部分內的概率為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知變量，滿足約束條件，設的最大值和最小值分別是和，則__________.14．已知為數(shù)列的前項和，若且，設，則的值是__________．15．設為虛數(shù)單位，若，則________．16．設，，，則的最小值為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若，求的面積.18．（12分）函數(shù)令，．（1）求并猜想的表達式（不需要證明）；（2）與相切，求的值．19．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）如果，求的取值范圍.20．（12分）在同一直角坐標系中，經過伸縮變換后，曲線C的方程變?yōu)?以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為.（1）求曲線C和直線l的直角坐標方程；（2）過點作l的垂線l0交C于A，B兩點，點A在x軸上方，求的值.21．（12分）已知某單位甲、乙、丙三個部門共有員工60人，為調查他們的睡眠情況，通過分層抽樣獲得部分員工每天睡眠的時間，數(shù)據如下表（單位：小時）甲部門678乙部門5.566.577.58丙部門55.566.578.5（1）求該單位乙部門的員工人數(shù)？（2）從甲部門和乙部門抽出的員工中，各隨機選取一人，甲部門選出的員工記為A，乙部門選出的員工記為B，假設所有員工睡眠的時間相互獨立，求A的睡眠時間不少于B的睡眠時間的概率；（3）若將每天睡眠時間不少于7小時視為睡眠充足，現(xiàn)從丙部門抽出的員工中隨機抽取3人做進一步的身體檢查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的員工人數(shù)，求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望．22．（10分）已知函數(shù)的定義域為；（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）設實數(shù)為的最大值，若實數(shù)，，滿足，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據選項利用判定定理、性質定理以及定義、舉例逐項分析.【題目詳解】①當都在平面內時，顯然不成立，故錯誤；②因為，則過的平面與平面的交線必然與平行；又因為，所以垂直于平面內的所有直線，所以交線，又因為交線，則，故正確；③正方體上底面的兩條對角線平行于下底面，但是兩條對角線不平行，故錯誤；④因為垂直于同一平面的兩條直線互相平行，故正確；故選：D.【題目點撥】本題考查判斷立體幾何中的符號語言表述的命題的真假，難度一般.處理立體幾何中符號語言問題，一般可采用以下方法：（1）根據判定、性質定理分析；（2）根據定義分析；（3）舉例說明或者作圖說明.2、A【解題分析】

設公差為d，，，解出公差，利用等差數(shù)列求和公式即可得解.【題目詳解】由題：數(shù)列為單調遞增的等差數(shù)列，為前項和，且滿足，、、成等比數(shù)列，設公差為d，，，解得，所以.故選：A【題目點撥】此題考查等差數(shù)列基本量的計算，根據等比中項的關系求解公差，利用求和公式求前十項之和.3、B【解題分析】

利用定積分的知識求解出，從而可列出展開式的通項，由求得，代入通項公式求得常數(shù)項.【題目詳解】展開式通項公式為：令，解得：，即常數(shù)項為：本題正確選項：【題目點撥】本題考查二項式定理中的指定項系數(shù)的求解問題，涉及到簡單的定積分的求解，關鍵是能夠熟練掌握二項展開式的通項公式的形式.4、A【解題分析】由題意可得，故樣本中心為。因為回歸直線過樣本中心，所以，解得。選A。5、C【解題分析】

利用不等式的解集和對應方程的根的關系來求解.【題目詳解】因為的解集為，所以和是方程的根，所以解得.故選：C.【題目點撥】本題主要考查絕對值不等式的解法，明確不等式的解集和對應方程的關系是求解的關鍵，側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).6、D【解題分析】

首先計算出圖形的總面積以及陰影部分的面積，再根據幾何概型的概率計算公式計算可得.【題目詳解】解：因為直角三角形的斜邊為，，，所以，以為直徑的圓面積為，以為直徑的圓面積為，以為直徑的圓面積為.所以圖形總面積，，所以.故選：【題目點撥】本題考查面積型幾何概型的概率計算問題，屬于基礎題.7、A【解題分析】因為,所以若由此認為“學生對2018年俄羅斯世界杯的關注與性別有關”，則此結論出錯的概率不超過，故選A.【方法點睛】本題主要考查獨立性檢驗的應用，屬于中檔題.獨立性檢驗的一般步驟：（1）根據樣本數(shù)據制成列聯(lián)表；（2）根據公式計算的值；(3)查表比較與臨界值的大小關系，作統(tǒng)計判斷.（注意：在實際問題中，獨立性檢驗的結論也僅僅是一種數(shù)學關系，得到的結論也可能犯錯誤.）8、A【解題分析】

利用一元二次不等式的解法以及對數(shù)函數(shù)的單調性，求出集合，，然后進行交集的運算即可?！绢}目詳解】，；，故選．【題目點撥】本題主要考查區(qū)間表示集合的定義，一元二次不等式的解法，對數(shù)函數(shù)的定義域及單調性，以及交集的運算．9、D【解題分析】

根據導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，當時，函數(shù)單調遞減，當時，函數(shù)單調遞增，根據圖像即可判斷函數(shù)的單調性，然后結合圖像判斷出函數(shù)的極值點位置，從而求出答案?！绢}目詳解】根據導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，當時，函數(shù)單調遞減，當時，函數(shù)單調遞增，由導函數(shù)的圖象可知，圖像先單調遞減，再單調遞增，然后單調遞減，最后單調遞增，故排除A,C且第二個拐點（即函數(shù)的極大值點）在軸的右側，排除B故選D【題目點撥】本題考查函數(shù)的單調性與導函數(shù)正負的關系，屬于一般題。10、B【解題分析】

根據分層抽樣原理求出應抽取的管理人數(shù)．【題目詳解】根據分層抽樣原理知，應抽取管理人員的人數(shù)為：故選：B【題目點撥】本題考查了分層抽樣原理應用問題，是基礎題．11、C【解題分析】

分別求出，，的范圍，從而得到答案．【題目詳解】根據指數(shù)函數(shù)圖像可得，，；由于，則，則；所以；故答案選C【題目點撥】本題考查指數(shù)、對數(shù)值的大小比較，解題的關鍵利用指數(shù)對數(shù)的運算法則求出值的范圍，屬于中檔題．12、B【解題分析】

由定積分的運算得：S陰（1）dx＝（x），由幾何概型中的面積型得：P（A），得解．【題目詳解】由圖可知曲線與正方形在第一象限的交點坐標為（1，1），由定積分的定義可得：S陰（1）dx＝（x），設“點M恰好取自陰影部分內”為事件A，由幾何概型中的面積型可得：P（A），故選B．【題目點撥】本題考查了定積分的運算及幾何概型中的面積型，考查基本初等函數(shù)的導數(shù)，屬基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

在平面直角坐標系內，畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，可以發(fā)現(xiàn)變量，都是正數(shù)，故令，這樣根據的幾何意義，可以求出的取值范圍，利用表示出，利用函數(shù)的性質，可以求出的最值，最后計算出的值.【題目詳解】在平面直角坐標系內，畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，如下圖所示：從圖中可知：變量，都是正數(shù)，令，它表示不等式組所表示的平面區(qū)域內的點與原點的連線的斜率，解方程組：，可得點，解方程組：，可得點，所以有，因此，，，故.【題目點撥】本題考查了不等式所表示的平面區(qū)域，考查了斜率模型，考查了數(shù)形結合思想.14、【解題分析】

根據是等比數(shù)列得出，利用數(shù)列項與和的關系，求得，從而得出，利用裂項相消法求出答案.【題目詳解】由可知，數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，所以.時，..時,.【題目點撥】該題考查的是有關數(shù)列的問題，涉及到的知識點有等比數(shù)列通項公式，數(shù)列項與和的關系，裂項相消法求和，屬于簡單題目.15、【解題分析】由，得，則，故答案為.16、.【解題分析】

把分子展開化為，再利用基本不等式求最值．【題目詳解】由，得，得，等號當且僅當，即時成立．故所求的最小值為．【題目點撥】使用基本不等式求最值時一定要驗證等號是否能夠成立．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）由正弦定理把已知角的關系轉化為邊的關系，再由余弦定理求得，從而求得；（2）由(1)及代入可解得，再由求得面積．【題目詳解】解：（1）由及正弦定理得：，∴，由余弦定理得：，∵，∴（2）由，及，得，∴∴∴的面積為.【題目點撥】本題考查正弦定理和余弦定理，考查三角形面積公式，解題關鍵是由正弦定理把已知角的關系轉化為邊的關系．18、（1）見解析；（2）4【解題分析】

（1）分別求出和的解析式，結合函數(shù)的解析式歸納出函數(shù)的解析式；（2）設切點，由函數(shù)在點處的切線斜率等于直線，以及點為直線與函數(shù)圖象的公共點，利用這兩個條件列方程組求出的值。【題目詳解】（1），.猜想.（2）設切點為，，,切線斜率，解得.所以.所以，解得.【題目點撥】本題考查歸納推理、導數(shù)的幾何意義，在處理直線與函數(shù)相切的問題時，抓住以下兩個基本點：（1）函數(shù)在切點處的導數(shù)值等于切線的斜率；（2）切點為切線與函數(shù)圖象的公共點。另外，在處理直線與二次曲線或反比例型函數(shù)圖象相切的問題，也可以將直線與曲線方程聯(lián)立，利用判別式為零處理。19、（1）答案見解析；上是增函數(shù)；（2）.【解題分析】分析：（1）求導得：,分類討論可知當時，在上是增函數(shù)，當時，在上是減函數(shù)；在上是增函數(shù).（2）由（1）可知，時，函數(shù)有最小值，據此可得關于實數(shù)a的不等式，且滿足題意，據此可知.詳解：（1）求導得：,當時，恒成立，所以在上是增函數(shù)，當時，令，則.①當時，，所以在上是減函數(shù)；②時，，所以在上是增函數(shù).（2）由（1）可知，時，，，，解得，又由于，綜上所述：.點睛：(1)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的關鍵在于準確判定導數(shù)的符號．關鍵是分離參數(shù)k，把所求問題轉化為求函數(shù)的最值問題．(2)若可導函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調遞增(減)，求參數(shù)范圍問題，可轉化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，從而構建不等式，要注意“＝”是否可以取到．20、（1），（2）【解題分析】

（1）將變換公式代入得，即可曲線C的方程，利用極坐標與直角的互化公式，即可求解直線的直角坐標方程；（2）將直線l0的參數(shù)方程代入曲線C的方程整理得，利用根與系數(shù)的關系和直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，即可求解的值.【題目詳解】（1）將代入得，曲線C的方程為，由，得，把，代入上式得直線l的直角坐標方程為.（2）因為直線l的傾斜角為，所以其垂線l0的傾斜角為，則直線l0的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），即（t為參數(shù)）代入曲線C的方程整理得，設A，B兩點對應的參數(shù)為t1，t2，由題意知，，則，且，所以.【題目點撥】本題主要考查了極坐標與直角坐標的互化，直線參數(shù)方程的應用，其中解答中熟記互化公式，合理利用韋達定理和直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.21、(1)24人；(2)；(3)X的分布列見解析；數(shù)學期望為1【解題分析】

（1）分層抽樣共抽?。?+6+6＝15名員工，其中該單位乙部門抽取6名員工，由此能求出該單位乙部門的員工人數(shù)．（2）基本事件總數(shù)n18，利用列舉法求出A的睡眠時間不少于B的睡眠時間包含的基本事件個數(shù)，由此能求出A的睡眠時間不少于B的睡眠時間的概率．（3）X的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學期望E（X）．【題目詳解】（1）由題意，得到分層抽樣共抽?。?+6+6＝15名員工，其中該單位乙部門抽取6名員工，∴該單位乙部門的員工人數(shù)為：624人．（2）由題意甲部門抽取3名員工，乙部門抽取6名員工，從甲部門和乙部門抽出的員工中，各隨機選取一人，基本事件總數(shù)n18，A的睡眠時間不少于B的睡眠時間包含的基本事件（a，b）有12個：（6，5.5）