新疆烏魯木齊市沙依巴克區(qū)四中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

新疆烏魯木齊市沙依巴克區(qū)四中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．我市擬向新疆哈密地區(qū)的三所中學(xué)派出5名教師支教，要求每所中學(xué)至少派遣一名教師，則不同的派出方法有（）A．300種 B．150種 C．120種 D．90種2．已知集合，現(xiàn)從這兩個集合中各取出一個元素組成一個新的雙元素集合，則可以組成這樣的新集合的個數(shù)為（）A． B． C． D．3．設(shè)，且，則下列不等式恒成立的是()A． B．C． D．4．下列說法正確的是（）A．命題“若，則”的否命題為“若，則”B．命題“，”的否定是“，”C．樣本的相關(guān)系數(shù)r，越接近于1，線性相關(guān)程度越小D．命題“若，則”的逆否命題為真命題5．設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，且滿足，則A．4 B．5 C．8 D．96．已知函數(shù)，若，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．7．若集合，，則()A． B．C． D．8．某人考試，共有5題，至少解對4題為及格，若他解一道題正確的概率為0.6，則他及格的概率為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（）A． B． C．2 D．-210．將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，再把圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)的最大值為 B．函數(shù)的最小正周期為C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增11．為直線，為平面，則下列命題中為真命題的是（）A．若，，則 B．則，，則C．若，，則 D．則，，則12．的展開式中的系數(shù)是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，，則，的大小關(guān)系是__________．14．用數(shù)學(xué)歸納法證明，在第二步證明從到成立時，左邊增加的項數(shù)是_____項．15．設(shè)分別為橢圓的右頂點和上頂點，已知橢圓過點，當(dāng)線段長最小時橢圓的離心率為_______．16．在三棱錐中，，，，記三棱錐的體積為，其外接球的體積為，則__三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，求的值；（2）若曲線存在兩條垂直于軸的切線，求的取值范圍18．（12分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）求過原點，且與函數(shù)圖象相切的切線方程；（Ⅱ）求證：當(dāng)時，.19．（12分）的內(nèi)角所對的邊分別為，已知.（1）證明：；（2）當(dāng)取得最小值時，求的值.20．（12分）若存在常數(shù)（），使得對定義域內(nèi)的任意，（），都有成立，則稱函數(shù)在其定義域上是“利普希茲條件函數(shù)”.（1）判斷函數(shù)是否是“利普希茲條件函數(shù)”，若是，請證明，若不是，請說明理由；（2）若函數(shù)（）是“利普希茲條件函數(shù)”，求常數(shù)的最小值；（3）若（）是周期為2的“利普希茲條件函數(shù)”，證明：對任意的實數(shù)，，都有.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線，以原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.設(shè)直線與曲線交于，兩點，點在點的下方.（Ⅰ）當(dāng)時，求，兩點的直角坐標(biāo)；（Ⅱ）當(dāng)變化時，求線段中點的軌跡的極坐標(biāo)方程.22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線：，直線：.（1）求曲線和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點的直角坐標(biāo)為，直線與曲線相交于兩點，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：根據(jù)題意，先選后排.①先選，將5名教師分成三組，有兩種方式，即1，1，3與1，2，2，注意去除重復(fù)部分；②后排，將分好的三組全排列，即可得到答案.詳解：根據(jù)題意：分兩步計算（1）將5名教師分成三組，有兩種方式即1，1，3與1，2，2；①分成1，1，3三組的方法有②分成1，2，2三組的方法有一共有種的分組方法；（2）將分好的三組全排列有種方法.則不同的派出方法有種.故選B.點睛：對于排列組合混合問題，可先選出元素，再排列。2、C【解題分析】分析：根據(jù)解元素的特征可將其分類為：集合中有5和沒有5兩類進行分析即可.詳解：第一類：當(dāng)集合中無元素5：種，第二類：當(dāng)集合中有元素5：種，故一共有14種，選C點睛：本題考查了分類分步計數(shù)原理，要做到分類不遺漏，分步不重疊是解題關(guān)鍵.3、D【解題分析】

逐一分析選項，得到正確答案.【題目詳解】由已知可知，可以是正數(shù)，負(fù)數(shù)或0，A.不確定，所以不正確；B.當(dāng)時，兩邊同時乘以，應(yīng)該，所以不正確；C.因為有可能等于0，所以，所以不正確；D.當(dāng)時，兩邊同時乘以，，所以正確.故選D.【題目點撥】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，屬于簡單題型.4、D【解題分析】

利用四種命題之間的變換可判斷A；根據(jù)全稱命題的否定變法可判斷B；利用相關(guān)系數(shù)與相關(guān)性的關(guān)系可判斷C；利用原命題與逆否命題真假關(guān)系可判斷D.【題目詳解】對于A，命題“若，則”的否命題為“若，則”，故A錯誤；對于B，命題“，”的否定是“，”，故B錯誤；對于C，樣本的相關(guān)系數(shù)r，越接近于1，線性相關(guān)程度越大，故C錯誤；對于D，命題“若，則”為真命題，故逆否命題也為真命題，故D正確；故選：D【題目點撥】本題考查了判斷命題的真假、全稱命題的否定、四種命題的轉(zhuǎn)化以及原命題與逆否命題真假關(guān)系、相關(guān)系數(shù)與相關(guān)性的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

由等比數(shù)列的通項公式和求和公式代入題中式子可求?！绢}目詳解】由題意可得，，選D.【題目點撥】本題考查數(shù)列通項公式和求和公式基本量的運算。6、D【解題分析】

可以得出，從而得出c＜a，同樣的方法得出a＜b，從而得出a，b，c的大小關(guān)系．【題目詳解】,,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到a>c,,又因為，，再由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到a<b,∴c＜a，且a＜b；∴c＜a＜b．故選D．【題目點撥】考查對數(shù)的運算性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．比較兩數(shù)的大小常見方法有：做差和0比較，做商和1比較，或者構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性得到結(jié)果.7、A【解題分析】分析：求出及，即可得到.詳解：則.故選C.點睛：本題考查集合的綜合運算，屬基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】

由題，得他及格的情況包含答對4題和5題，根據(jù)獨立重復(fù)試驗的概率公式，即可得到本題答案.【題目詳解】由題，得他及格的情況包括答對4題和5題，所以對應(yīng)的概率.故選：C【題目點撥】本題主要考查獨立重復(fù)試驗的概率問題，屬基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】試題分析：題中的條件乍一看不知如何下手，但只要明確了是一個常數(shù)，問題就很容易解決了．對進行求導(dǎo)：=，所以，-1.考點：本題考查導(dǎo)數(shù)的基本概念及求導(dǎo)公式．點評：在做本題時，遇到的主要問題是①想不到對函數(shù)進行求導(dǎo)；②的導(dǎo)數(shù)不知道是什么．實際上是一個常數(shù)，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是0.10、D【解題分析】

根據(jù)平移變換和伸縮變換的原則可求得的解析式，依次判斷的最值、最小正周期、對稱軸和單調(diào)性，可求得正確結(jié)果.【題目詳解】函數(shù)向右平移個單位長度得：橫坐標(biāo)伸長到原來的倍得：最大值為，可知錯誤；最小正周期為，可知錯誤；時，，則不是的對稱軸，可知錯誤；當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，可知正確.本題正確選項：【題目點撥】本題考查三角函數(shù)平移變換和伸縮變換、正弦型函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、值域和最小正周期的求解問題，關(guān)鍵是能夠明確圖象變換的基本原則，同時采用整體對應(yīng)的方式來判斷正弦型函數(shù)的性質(zhì).11、B【解題分析】

根據(jù)空間中平面和直線平行和垂直的位置關(guān)系可依次通過反例排除，從而得到結(jié)果.【題目詳解】選項：若，則與未必平行，錯誤選項：垂直于同一平面的兩條直線互相平行，正確選項：垂直于同一平面的兩個平面可能相交也可能平行，錯誤選項：可能與平行或相交，錯誤本題正確選項：【題目點撥】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的相關(guān)命題的判定，通常通過反例，采用排除法的方式來得到結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解題分析】試題分析：的系數(shù)為．故選D．考點：二項式定理的應(yīng)用．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：作差法，用，判斷其符號．詳解：，所以，．點睛：作差法是比較大小的基本方法，根式的分子有理化是解題的關(guān)鍵14、【解題分析】

根據(jù)等式時，考慮和時，等式左邊的項，再把時等式的左端減去時等式的左端，即可得到答案．【題目詳解】解：當(dāng)時，等式左端，當(dāng)時，等式左端，所以增加的項數(shù)為：即增加了項．故答案為：．【題目點撥】此題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的問題，解答的關(guān)鍵是明白等式左邊項的特點，再把時等式的左端減去時等式的左端，屬于基礎(chǔ)題．15、【解題分析】

將代入橢圓方程可得，從而，利用基本不等式可知當(dāng)時，線段長最小，利用橢圓的關(guān)系和可求得結(jié)果.【題目詳解】橢圓過得：由橢圓方程可知：，又（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號）當(dāng)時，線段長最小本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查橢圓離心率的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用基本不等式求解和的最小值，根據(jù)等號成立條件可得到橢圓之間的關(guān)系，從而使問題得以求解.16、【解題分析】

由題意畫出圖形，取中點，連接，，可得平面，求其面積，得到三棱錐的體積為，取中點，連接，則為三棱錐的外接球的半徑，求出三棱錐的外接球的體積為，作比得答案．【題目詳解】如圖，，，，，，取中點，連接，，則，，且，．在中，由，，，得，．則．，即；取中點，連接，則為三棱錐的外接球的半徑，．三棱錐的外接球的體積為．．【題目點撥】本題主要考查多面體及其外接球的體積的求法，意在考查學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)運算能力。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由于二次函數(shù)為偶函數(shù)，所以一次項系數(shù)為，進而求得a的值；（2）由題意得存在兩個不同的根，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的判別式大于.【題目詳解】（1）∵，由題因為為偶函數(shù)，∴，即（2）∵曲線存在兩條垂直于軸的切線，∴關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，即，∴.∴a的取值范圍為.【題目點撥】本題考查三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、二次函數(shù)的奇偶性、二次函數(shù)根的分布問題，考查邏輯推理和運算求解能力，求解時要懂得把曲線存在兩條垂直于軸的切線轉(zhuǎn)化成方程有兩根.18、(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見解析.【解題分析】分析：（1）設(shè)出切點，求導(dǎo)，得到切線斜率，由點斜式得到切線方程；（2）先證得，再證即可，其中證明過程，均采用構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)研究單調(diào)性，求得最值大于0即可.詳解：（Ⅰ）設(shè)切點，則，，，切線方程為：，即：，將原點帶入得：，，切線方程為：.（Ⅱ）設(shè)，，，則.當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，所以，即：，.設(shè)，，，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，所以，即：，，所以.點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1)構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).19、（1）見解析；（2）.【解題分析】分析：（1）由正弦定理和余弦定理化簡即可；（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號.從而即可得到答案.詳解：（1）∵，∴即∵，∴.（2）當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號.∵，∴點睛：解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．20、（1）不是；詳見解析（2）；（3）證明見解析.【解題分析】

（1）利用特殊值,即可驗證是不是“利普希茲條件函數(shù)”.（2）分離參數(shù),將不等式變?yōu)殛P(guān)于,的不等式,結(jié)合定義域即可求得常數(shù)的最小值;（3）設(shè)出的最大值和最小值,根據(jù)一個周期內(nèi)必有最大值與最小值,結(jié)合與1的大小關(guān)系,及“利普希茲條件函數(shù)”的性質(zhì)即可證明式子成立.【題目詳解】（1）函數(shù)不是“利普希茲條件函數(shù)”證明:函數(shù)的定義域為令則所以不滿足所以函數(shù)不是“利普希茲條件函數(shù)”（2）若函數(shù)（）是“利普希茲條件函數(shù)”則對定義域內(nèi)任意,（）,均有即設(shè)則,即因為所以所以滿足的的最小值為（3）證明:設(shè)的最大值為,最小值為在一個周期內(nèi),函數(shù)值必能取到最大值與最小值設(shè)因為函數(shù)（）是周期為2的“利普希茲條件函數(shù)”則若,則成立若,可設(shè),則所以成立綜上可知,對任意實數(shù),都成立原式得證.【題目點撥】本題考查了函數(shù)新定義及抽象函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,對題意正確理解并分析解決問題的方法是關(guān)鍵,屬于難題.21、（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)題意，可將直線與曲線C聯(lián)立求得，兩點的直角坐標(biāo)；（II）（解法一）當(dāng)變化時，，于是可知點的軌跡為圓，從而得到其軌跡方程；（解法二）設(shè)，可用相關(guān)點法表示出的坐標(biāo)，代入，于是得到軌跡方程.【題目詳解】解：（Ⅰ）當(dāng)時，直線，曲線的