橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

3.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

知識(shí)梳理

一、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

yi

zv

圖形

A\Fi-or^F2)A2'xBAbO152x

FiI

k

y2x2

標(biāo)準(zhǔn)方程二+二=1(。>b>0)^+—=\(a>h>0)

abab

范圍-a<x<a,-b<y<b-b<x<bt-a<y<a

對(duì)稱(chēng)性關(guān)于x，y軸、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)：2a；短軸長(zhǎng)：2b長(zhǎng)軸長(zhǎng)：2a；短軸長(zhǎng)：2b

頂點(diǎn)(±6z,0)(O,±Z?)（0,±a）（土瓦0）

C1~V

e=—=Jly(0<e<l)e=—=.1--^z-(0<e<1)

a\a\a

離心率

離心率越接近1,則橢圓越扁；離心率越接近0,則橢圓越圓

通徑的定義：過(guò)焦點(diǎn)且垂直于焦點(diǎn)軸的橢圓的弦長(zhǎng)

通徑

通徑的大?。骸?/p>

a

二、點(diǎn)尸（X。，兒）與橢圓的位置關(guān)系

焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

點(diǎn)P在橢圓內(nèi)4+2vl(〃>b>0)

abab"

4+4=i（?>^>o）

點(diǎn)P在橢圓上與+誓=1（。＞3＞0）

aba2b2

點(diǎn)P在橢圓外用+與>1（。>8>0）

ah-a~hz

三、直線與橢圓的位置關(guān)系

22

1、直線＞'="+機(jī)與橢圓會(huì)+方=1(。＞6＞0)的位置關(guān)系：

y=kx-\-m,

聯(lián)立X?/?消去)，得一個(gè)關(guān)于X的一元二次方程.

ILF5

位置關(guān)系解的個(gè)數(shù)△的取值

相交兩解A>0

相切—解A=0

相離A<0

2、解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的常用步驟：

(1)得出直線方程,設(shè)交點(diǎn)為A6,yJ,磯々,8);

(2)聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程；

(3)寫(xiě)出根與系數(shù)的關(guān)系；

(4)將所求問(wèn)題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于N+電，x內(nèi)的形式；

(5)代入求解.

四、直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式

1、定義：連接橢圓上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱(chēng)為橢圓的弦.

2、求弦長(zhǎng)的方法

(1)交點(diǎn)法：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離

公式來(lái)求.

(2)根與系數(shù)的關(guān)系法:

如果直線的斜率為k,被橢圓截得弦A3兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為8,y),⑴，刈，

則弦長(zhǎng)公式為：\AB\=\ll+k2J(石+/『一々iJ(%+%)2-4%%

五、解決橢圓中點(diǎn)弦問(wèn)題的兩種方法：

1、根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次

方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決;

2、點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差,

22

構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，具體如下：直線/（不平行于］，軸）過(guò)橢圓方+%=1（。＞人＞0）上

?.必->2%+必2y0一)1一%治:/:.kgkopb2

22

%)-x2x]+x2x}-x22x0%]-x2x0aa

2,2

特殊的：直線/（存在斜率）過(guò)橢圓三+%=1（。＞6＞0）上兩點(diǎn)A、B，線段A8中點(diǎn)為P（x0，%），

2

則有kAB-kOP=-p-

‘學(xué)?？碱}型

'嬖題型精析

題型一由橢圓方程研究其幾何性質(zhì)

【例1】求下列橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)：

（1）x2+9y2=9；（2）4/+2/=16.

【答案】（1）長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,短軸長(zhǎng)為2,離心率為半，

焦點(diǎn)坐標(biāo)為12&,0）與（2&,0）,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）,（-3,0）,（0,1）,（0,-1）

（2）長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4a,短軸長(zhǎng)為4,離心率為日,

焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）,（0,-2），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2夜）,（0,-2夜）,（2,0）,（-2,0）.

22

【解析】（1）爐+9），2=9整理為：^-+/=1,焦點(diǎn)在x軸上，貝!]〃=3,b=l,c=Ja-b=272,

所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2。=6,短軸長(zhǎng)為幼=2,離心率￡=平,

a3

焦點(diǎn)為卜2a,0）與（2&,0）,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）,（-3,0）,（0,1）,（0,-1）

（2）4x2+2y2=16,整理為：y+^-=l,焦點(diǎn)在『軸上,

貝!ja=20,b=2,c2=a2-&2=8-4=4,

所以c=2,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=4夜,短軸長(zhǎng)為"=4,離心率:亞=等，

焦點(diǎn)為（。，2）,（。，-2）,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,20b（0,-2a）,（2,0）,（-2,0）

【變式M]已知橢圓E,焦點(diǎn)/到長(zhǎng)軸的兩個(gè)頂點(diǎn)的距離分別為1和9,則橢圓E的短軸長(zhǎng)

等于（）

A.12B.10C.8D.6

【答案】D

【解析】設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸為。，半短軸為b,半焦距為c.

由題意可得：，二;，解得：憶.

所以.=五2_/=^5。一不=3.

故橢圓E的短軸長(zhǎng)為2%=6.故選：D

【變式1-2】已知橢圓點(diǎn)+方=1（。＞萬(wàn)＞0）的短軸長(zhǎng)為8，且一個(gè)焦點(diǎn)是圓f+y2-6x+8=0的圓心,

則該橢圓的左頂點(diǎn)為（）

A.（-2,0）B.（TO）C.（-4,0）D,（-5,0）

【答案】D

【解析】圓/+/_6工+8=0的圓心是（3,0）,

2o

所以橢圓點(diǎn)+==1（"八0）的一個(gè)焦點(diǎn)是（3,0），即-3,

22

又橢圓點(diǎn)+方=1（〃>8>0）的短軸長(zhǎng)為8,即。=4,

所以橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為。=>/^77=5,

所以橢圓的左頂點(diǎn)為（-5,0）,故選：D

2222

【變式1-3】若橢圓?+卷=1與橢圓心+"三=1/<9,心0），則兩橢圓必定（）.

ND^7NDKK

A.有相等的長(zhǎng)軸長(zhǎng)B.有相等的焦距

C.有相等的短軸長(zhǎng)D.長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距之比相等

【答案】B

【解析：橢圓總+卷=1,可知。=5,b=3,c=4,

??長(zhǎng)軸長(zhǎng)是10,短軸長(zhǎng)是6；焦距是8；焦點(diǎn)坐標(biāo)是（±4,0）；離心率是：y.

橢圓心+￡=1（%<9,%工0）中，

ND—KV—K

q=，25-?,b、=5工,J=4,

4

??長(zhǎng)軸長(zhǎng)是2后口，短軸長(zhǎng)是2月；焦距是8；焦點(diǎn)坐標(biāo)是（±4,0）漓心率是而才.

2222

??橢圓鼻+看=1與橢圓乏+占=1（%<9,%0）關(guān)系為有相等的焦距.故選：B.

NDVZD-Ky~K

題型二由橢圓幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程

［例2］焦點(diǎn)在x軸上，右焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)距離為2,到左頂點(diǎn)的距離為3的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

是（）

>>■>o2）

A.一+—=lB.一+y-=lC.一+v-=ID.x+—=I

43424

【答案】A

【解析】因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)距離為2,到左頂點(diǎn)的距離為3

所以”=2M+C=3,即a=2,c=l,

所以b=\/a2-c2=G,

因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是4+4=1.故選：A

43

【變式2-1]焦點(diǎn)在.v軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10,離心率為|的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

x2y2n>2Jx2y2x2y2

AA.----1—=1B.----1——1C.—1+—-=1D.—i—=

100641006425161625

【答案】D

【解析】因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)為10,故長(zhǎng)半軸長(zhǎng)4=5,因?yàn)閑=￡1,所以半焦距c=3,

a5

故力2=/—d=25-9=16,

又焦點(diǎn)在y軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為<+卷=1,故選：D

ZDlo

【變式2-2】求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(1)長(zhǎng)軸在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12,離心率為|；

(2)橢圓過(guò)點(diǎn)(3,0),離心率e邛;

(3)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為8；

(4)與橢圓9/+4/=36有相同的焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為2.

【答案】(1)鳥(niǎo)+三=1;(2)《+$=1或區(qū)+片=1;(3)—+^=1；(4)x2+^=l.

v7v

L口木/''3620'，9327932166

c2

【解析】(1)由題意,可知2。=12,e=-=3，得。=6,c=4,從而從=」_/=20,

又長(zhǎng)軸在X軸上，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:+〈=1.

JoZU

(2)若焦點(diǎn)在x軸上，貝!]〃=3,由，得。=戈,所以6—=3,

a3

此時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為9+?=1,

若焦點(diǎn)在y軸上，則。=3,由e==，得/=27,

止匕時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（+1=1，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1+4=1或（+1=1

22

（3）分析知c=6=4,標(biāo)=/+/=32,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2+2=1.

3216

（4）橢圓9f+4y2=36可化為9+卷=1,可知焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（。，±&）,

22

故可設(shè)所求橢圓的方程為，+疝=is＞匕＞°），

則。=石,又3=2,即匕=1,所以。2=〃+。2=6,

2

貝師求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為9+卷=1.

0

【變式2-3］過(guò)點(diǎn)（2,1）,焦點(diǎn)在X軸上且與橢圓］+?=?有相同的離心率的橢圓方程為（

A上+J=1x2y2x2y2A+=1

BR+=1rNT-

A.16g-HTC.而+1rlD.與4

【答案】D

【解析】因?yàn)樗髾E圓與橢圓］+：=l有相同的離心率，

可設(shè)所求橢圓的方程為'=幾。＞0）,

72I24

又由橢圓過(guò)點(diǎn)（2』），代入橢圓的方程，可得?+1=4,解得,

433

2

，24y-1

即所求橢圓的方程為:+，即訪+彳）故選：D.

433-

題型三求橢圓離心率的值

【例3】橢圓4+W=l（QO）的離心率為（）

Z.KOK

A.邁B.正C.如D.y

3262

【答案】A

【解析】由題意知橢圓中，a=J或,b=41k,c=＞j6k-2k=2y［k,

故離心率0=￡=等=乎.故選：A.

ayj6k3

【變式3-1】已知橢圓捺+彘=1（。＞6＞0）的左右焦點(diǎn)分別,左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為8,點(diǎn)

P為橢圓上一點(diǎn)，且也，眼，若ABHPF、,則橢圓的離心率為（）

A.—B.|C.立D.—

5232

【答案】A

【解析】由題知：小，.），因?yàn)锳8//PE,

b2

所以旦=2,整理得。=2c,

2ca

所以02=4/=。-，得，e*.古嬤:A

【變式3-2】過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)巴作橢圓長(zhǎng)軸的垂線，交橢圓于A,8兩點(diǎn)，片為橢圓的左焦點(diǎn),

若KA?為正三角形，則該橢圓的離心率為（）

A.@B.1C.走D.

332

【答案】A

【解析】圖所示，易知M用=2同，內(nèi)用=2c=6"|.

由橢圓的定義可得為=女耳|+|整|=3|整|,

則該橢圓的離心率可=譚＜*.故選：A.

,2

【變式3-3】已知耳，尸2分別為橢圓C:￡+方=l（穌b>0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)K的直線與C交于P,Q

兩點(diǎn)，若歸用=2|*=5|加|,則C的離心率是（）

A.立B.走C.旦D.好

5443

【答案】D

【解析】由已知，可根據(jù)條件做出下圖：

因?yàn)楦?=2附i=5|耳@,令忸a』,

所以附|=%，儼周=（L由橢圓的定義可知冏|+|P段=2a=5f+|f=*,

449444?4

所以/=百。，所以|叫=鏟，歸周=鏟,\^Q\=—a,\PQ\=\PFt\+\FiQ\^-a+—a^—a,

由橢圓的定義可知|Q用+依閭=2。=研|=II

在尸”中，|。閭?cè)~+|明2,所以“Pg、，

在△尸百人中,陪|=2c,所以|￡閭2=閨呼+閥.

所以3/=4c2=：=*ne=￡=蟲(chóng).

99a29a3

所以C的離心率是乎.故選：D.

題型四求橢圓離心率的范圍

22

【例4】已知橢圓方+方=1（"匕>0）上存在點(diǎn)P,使得|叫=引叫，其中￡,鳥(niǎo)分別為橢圓的

左、右焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率的取值范圍是（）

A■（叫B.加C.8）D._；/）

【答案】D

【解析】由橢圓的定義得|「制+儼閭=方，又???歸周=3|明，.?.附1=5“,\PF2\=-a,

而|相|-|尸國(guó)4忻國(guó)=勿,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)尸在橢圓右頂點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，

即|"；a42c,即a42c,

C11

則0，4,即六e<l.故選：D.

a22

丫2v2

【變式4-1】已知橢圓C：?+卓=1（a>b>0）,橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為「，尸2,P是橢圓C

上的任意一點(diǎn)，且滿足砍?Pg>0,則橢圓C的離心率e的取值范圍是（）

【答案】B

【解析】由已知得耳（-60）,D（c,O）,設(shè)尸（%,%）,

貝"E=（-C—%,—%）,"=（<:一與,—%）,

因?yàn)橐?，?gt;0,所以（-C-玉，-%）??-先，-%）>。,

gp-c2+xj+yj>0,即x；+y；>c2,

因?yàn)辄c(diǎn)P是橢圓上的任意一點(diǎn)，

所以X：+需表示橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，

因?yàn)椋ㄆ?虬尸，所以一>，2,所以/—/>/,即f,

所以e=%[o,用，故選：B.

【變式4-2】已知橢圓G：，+/=l（a>6>0）與圓C2：x2+y2=,，若在橢圓G上存在點(diǎn)P,使

得由點(diǎn)P所作的圓C,的兩條切線互相垂直，則橢圓C,的離心率的取值范圍是（）

【答案】D

【解析】由題意，如圖，

若在橢圓a上存在點(diǎn)P,使得由點(diǎn)P所作的圓G的兩條切線互相垂直,

2b

則只需NAPBW90°,gpa=ZAPO<45°,sin<z=^<sin45o=^,即財(cái)45萬(wàn),

a2

因?yàn)?解得：3a2<8c2.

“尾,即e邛,而0<evl,

o4

.?耳Vecl,即ee悴,1).故選：D.

2222

【變式4-3】設(shè)是橢圓G：三+2=l(q>4>0)與雙曲線C2吞-￡=13>0也>0)的公共焦

點(diǎn)，曲線GC在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)"耳姐=90,若橢圓的離心率qe忤1)，則雙曲線的離

心率嶺的范圍是()

A.(1，忘]B.(1,73]C.[6,+8)D.[V2,+oo)

【答案】A

【解析】由題意可得，|M|+|g|=2《，|M用-1年|=2%，

解得：|峭|=4+%,阿閭=%-%,

22

因?yàn)閆F}MF2=90,所以|“用2+\MF^=4c,即a；+a；=2c

、2

亦即-+=2，所以.故選：A.

題型五點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系判斷

[例5]已知點(diǎn)(3,2)在橢圓工+匯=1(〃?>0,〃>0)上，則點(diǎn)(-3,3)與橢圓的位置關(guān)系是_______

mn

【答案】點(diǎn)在橢圓外

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)(3,2)在橢圓上,所以2o+34=1,

mn

9Q

又…n>0,所以N+N>1,故點(diǎn)(一3,3)在橢圓外.

mn

故答案為：點(diǎn)在橢圓外.

【變式5-1】點(diǎn)尸(4cosa,2后sina)(aWR)與橢圓C:亍+：=1的位置關(guān)系是()

A.點(diǎn)P在橢圓。上B.點(diǎn)P與橢圓C的位置關(guān)系不能確定，與a的取值有關(guān)

C.點(diǎn)P在橢圓。內(nèi)D.點(diǎn)P在橢圓。外

【答案】D

【解析】把點(diǎn)PQcosa,Aina)(aWR)代入橢圓方程的左邊為

(4c°s”)+(2瓜=4(cos2a+sin2a)-4>1,

43

因此點(diǎn)P在橢圓外.故選:D

22

【變式5-2】點(diǎn)4卬)在橢圓『與=1的外部，則a的取值范圍是()

A.1-&■,6)B.夜)u(a,+°o)C.(-2,2)D.(T1)

【答案】B

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)斗卬)在橢圓[+q=1的外部，

2.

所以彳+]>1,解得?！?-00,-3)(后,+8),故選：B.

【變式5-3]已知橢圓]+>』經(jīng)過(guò)點(diǎn)P("?),則病+/的取值范圍是()

A.(0,1]B.(0,4]C.[4,+oo)D.[1,4]

【答案】D

【解析】因?yàn)闄E圓。+V=1經(jīng)過(guò)點(diǎn)Mi)，所以%〃%]所以/

444

mil222i3f?l~

貝m-\-n=m----=----+1.

44

因?yàn)闄E圓—+y2=l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（小〃），所以-2M%M2,即OvW",

4

故療+〃2的取值范圍是[1,4].故選：D.

題型六直線與橢圓的位置關(guān)系判斷

【例6］設(shè)直線y=x+m,橢圓9爐+16y=144.

(1)直線與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)，則〃?滿足的條件是______.

(2)直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，則〃?滿足的條件是______.

(3)直線與橢圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則機(jī)滿足的條件是______.

【答案】m=±5；-5<m<5；6>5或〃?<一5

v=x+in

{+16丁=144消去y井化簡(jiǎn)得25"+32mx+16m2-144=0,

△=1024病-10006，/-44)=—576府+144(X).

(1)當(dāng)八=。,即加=±5時(shí)，直線與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn).

(2)當(dāng)A>0,即-5<%<5時(shí)，直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn).

(3)當(dāng)/<0,即心5或〃?<-5時(shí),直線與橢圓沒(méi)有公共點(diǎn).

故答案為:m=±5；-5<m<5；加>5或機(jī)<-5

22

【變式6-1】直線/:(2w+l)x+(〃,+l)y_7吁4=0，橢圓C：2+2=1,直線與橢圓的位置關(guān)系是

1o12

()

A.相交B.相切C.相離D.不確定，與〃z的取值有關(guān)

【答案】A

2x+y-l=0x=3

【解析】（2m+l）x+（加+l）y-7加-4=0=m（2x+y-7）=-%->+4n

-x-y+4=0）=1，

所以直線/恒過(guò)(3,1),

?2i27

因?yàn)樗?1=《<1,所以點(diǎn)◎/)在橢圓內(nèi)部,

1o121Z

因此直線與橢圓的位置關(guān)系是相交，故選：A

,>2

【變式6-2］（多選）已知橢圓C?+方=1（〃>0力>0）的焦點(diǎn)分別為耳，馬，焦距為2c,過(guò)心的

直線與橢圓。交于A,8兩點(diǎn)」你|刃叫，陷=|明=羋。,若A%的周長(zhǎng)為20,則經(jīng)過(guò)

點(diǎn)（竽，孚）的直線（）

A.與橢圓C可能相交B.與橢圓C可能相切

C.與橢圓C可能相離D.與橢圓C不可能相切

【答案】AB

【解析】由橢圓的定義知阿|+|網(wǎng)=2。,岡+網(wǎng),設(shè)|網(wǎng)=%則|A閭=3網(wǎng)|=3%,

則忸制=2。-帆，|A用=2。-3加,而用，即有4m=2a-m,解得,

又/他的周長(zhǎng)為20,則有IA8I+IA"+|%|=4"=20，解得。=5,m=2,

因?yàn)閨A8|=|他卜半c,即哈=8,解得，則/=〃_/=19,

fV2（52Z719x25A府

橢圓C的方程為2+2=1,顯然（拒2、）+（30,即點(diǎn)（孚，挈）在橢圓上，

2519卞-+—22

所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)（苧，乎）的直線與橢圓C相交或相切.

故選：AB

【變式6-3】如果直線/：尸及1+8）與橢圓C：提+/=1（?>1）總有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取

值范圍.

【答案】［百，同

【解析】由題知直線/：片巾+⑹過(guò)定點(diǎn)（一后0），

因?yàn)橹本€/：y=M'+@與橢圓C：5+9=1（g）總有公共點(diǎn)，

所以點(diǎn)卜G，o）在橢圓上或橢圓內(nèi)，

所以,由于,所以說(shuō)百，

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是［G,x）

題型七直線與橢圓相切應(yīng)用

【例7】經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(l,g)且與橢圓工+>2=1相切的直線方程是()

24

A.》+2。-4=0B.x-2島-4=0

C.x+2>/3y-2=0D.x-2\/3y+2=0

【答案】A

【解析】顯然當(dāng)x=l時(shí)，直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；

當(dāng)存在斜率A時(shí)，直線方程設(shè)為：y_g=k(x_l),

y-4=&(1)

與橢圓的方程聯(lián)立得，2，

"=1

14'

得至1」(1+4二)/+4區(qū)(6-2%)+46-4島-1=0

直線與橢圓相切，故A=。，即［4k(G-2Z)］2-4x(l+4/)x(4/-4GZ-l)=0

解得』坐所以切線方程為x+2傷-4=。，故本題選A.

O

【變式7-1】過(guò)圓/+V=，上一定點(diǎn)外玉，券)的圓的切線方程為玉/+y,j=產(chǎn).此結(jié)論可推廣到圓

錐曲線上.過(guò)橢圓［+?=1上的點(diǎn)43,T)作橢圓的切線/.則過(guò)A點(diǎn)且與直線/垂直的直線方程

為()

A.x+y-2=0：B.x-y-3=0C.2x+3y-3=0D.3x-y-10=0

【答案】A

【解析】過(guò)橢圓［+￡=1上的點(diǎn)A(3,-l)的切線/的方程為,

即x-y-4=o,切線/的斜率為1,

與直線/垂直的直線的斜率為-1,

過(guò)A點(diǎn)且與直線/垂直的直線方程為y+i=-(L3),

即x+y-2=0.故選：A

【變式7-2】橢圓上的點(diǎn)尸到直線x+2y?9=0的最短距離為()

A.6B.拽C.^.D.當(dāng)

555

【答案】A

【解析】設(shè)與已知直線平行，與橢圓相切的直線為x+2y+8=o,

x+2y+b=Qc,

,\(-2y=x+b..

則2=>《：，=>4x2+2bx+h2-12=0

人^?+1_=1[3X2+4/=12

所以△=(?)?-4x4(〃-12)=0nZ)=±4

所以橢圓上點(diǎn)P到直線x+2y-9=0的最短距離為d=*&3=石故選：A

Vl2+22

【變式7-3】直線/:3x+4y-12=0與橢圓]+4=1相交于A、8兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn),

lo9

若三角形皿的面積為12,則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【解析】由已知可得A40),8(0,3),AB=5,

i24

由12=5A8X/7,可得尸到AB的距離方=《.

作與A8平行的直線/,使/與橢圓?！?1相切,

loy

設(shè)直線/的方程為:+梟&,

把/的方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)可得X2-%+弘、8=0,

由/\=163_32伏2_1)=0,:卡=0,或k=F,

故直線/的方程為：+1=&,或：+]=S-夜.

12(返-1)24

因?yàn)椋?上及與A3的距離為-—，

12(72+1)24

------------>----

與AB的旦巨離為55.

故這樣的點(diǎn)P共有2個(gè)，故選：B.

題型八直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題

【例8】已知橢圓C：］+：=l的左、右焦點(diǎn)分別為6、8，過(guò)心且斜率為1的直線/交橢圓C于

A、B兩點(diǎn)，則|明等于（)

A*CD?瘦

77

【答案】A

【解析】設(shè)直線AB方程為…7,聯(lián)立橢圓方程》^I

整理可得：7X2-8A-8=0,設(shè)A（4，X）,磯々,％）,

則與+三4，％?"一,根據(jù)弦長(zhǎng)公式有：

22

AB=yji+k-^（x,+x2）-4x,x2=y.故B,C,D錯(cuò)誤.故選：A.

【變式8-1】斜率為1的直線/與橢圓］+丁=1相交于A,B兩點(diǎn)，則IA8I的最大值為（）

A.2B.空C.偵D.迪

333

【答案】D

【解析】設(shè)AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a，yj,⑸必）,直線/的方程為kX+%

y=x+m

由*21消去y得3V+4如+2(31)=0,

萬(wàn)+yt

則與+々=一普,用*2=網(wǎng)］辿.

2222

?'-|AB|=yj\+k|x,-x2|=J1+k-+A%)-4X,X2=0————-=2f-\j6-2m,

當(dāng)機(jī)=0時(shí)/期取得最大值乎，故選:D.

22

【變式8-2】已知橢圓T：=1（。＞人＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，過(guò)左焦點(diǎn)尸作傾斜角

為45。的直線交T于A,8兩點(diǎn)，若|AB|=竽，則橢圓T的方程為.

【答案】《+[=1

OL

22z

【解析】??"=%,則。=麻，...橢圓T：卡+￡=1,左焦點(diǎn)網(wǎng)一回,。)

設(shè)直線：y=x+^b,A(%，y),8(%,%)

y=x+y/3b

聯(lián)立方程：X?丁消去v得：5犬+8折x+8〃=0

―7+一=1

[4b2b-

叱⑷-%＞哈=苧可得"=2

?,?橢圓7：[+]=1

故答案為：3+，=1.

OL

【變式8-3】已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)下(-1,0)的距離和M(x,y)到直線/:x=-2的距離的比是常數(shù)

旦

(1)求點(diǎn)加的軌跡C.

(2)點(diǎn)B為軌跡C與),軸正半軸交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B的直線性交軌跡C于P、3兩點(diǎn)，且弦心的長(zhǎng)為

孚，求直線心的方程.

【答案】(l)[+y2=l；(2)PB-.y=±42x+\

【解析】(1)動(dòng)點(diǎn)"(X，〉)到定點(diǎn)尸(TO)的距離和”(x,y)到直線/』=-2的距離的比是常數(shù)乎,

J(x+i『+y2—叵

''~'

化簡(jiǎn)得：y+/=l,即點(diǎn)知的軌跡C為1+y、l；

(2)易得5(0,1),當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，易得尸(0，-1),則|陽(yáng)=2,不合題意；

當(dāng)直線尸8的斜率存在時(shí),設(shè)P8:y=H+1,

聯(lián)立與+丁=1得：（2公+1*+4丘=0,設(shè)P（x，yJ,

易得寸言「則|P8|=g懸義=羋，解得』后,

乙R*1乙KT1D

則直線PB：y=±5/2x+l.

題型九橢圓的中點(diǎn)弦與點(diǎn)差法

［例9］已知雙曲線方程/一q=1,則以4（2,1）為中點(diǎn)的弦所在直線/的方程是（）

A.6x+y-l1=0B.6x—y—11=0C.x—6y-11=0D.x+6y+l1=0

【答案】B

【解析】設(shè)直線/交雙曲線Y-4=1于點(diǎn)"（XQJ、N（X2，%）,則J：：：］：,

3。1十%=2

2

2y

%-3一=

由已知得＜A，兩式作差得I=町

考

-3=

所以，上二&=注切=6,即直線/的斜率為6,

王一工2%+必

故直線/的斜率為y-l=6（x-2）,即6x-y-ll=o.經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意故選：B.

【變式9-1】橢圓匚萩+"=［與直線尸］_氐交于加、汽兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)與線段MN中點(diǎn)的直

線的斜率為:，則竺的值為（)

。77

A.叵B.辿C.迪D.竽

2272

【答案】D

A±A,o一

【解析】設(shè)點(diǎn)"GM、N（wM,由已知可得一=2L±A=|；褊=上^=一6,

人1十人2_0玉+超341一人2

2

上述兩個(gè)等式相乘得主”=-￥,

由已知可得,兩式作差得“儲(chǔ)-石）+〃（弁-￡）=°,

所以，J號(hào)軍￥.故選：D.

nxx-Xj3

【變式9-2】過(guò)橢圓C：5+/=1（。>。>0）右焦點(diǎn)尸的直線/:x-k2=0交C于A,8兩點(diǎn)，P

為A8的中點(diǎn)，且OP的斜率為彳，則橢圓C的方程為（）

22

A*y1

A.—十—=1B+=1

84-TTc-T+T=1D?歷+不=1

【答案】A

【解析】依題意,焦點(diǎn)尸（2。，即橢圓C的半焦距。=2,設(shè)心,））8（々,必），P（x。,%）,

,922，”，、

?.,b~x7+ayr=a~b~bx+X

貝U有在八”2y2=“2/，兩式相減得：'（<2）U1-x2）+a-（y,+y2）（y,->>2）=0,

而％+々=2%,乂+必=2%,且?=-；,即有-2〃（玉-%）+/（%-%）=。,

“o/

又直線/的斜率于瓷=1,因止匕有〃=2匕2,而標(biāo)-62=。2=4,解得/=8,層=4,

人1一出

經(jīng)驗(yàn)證符合題意，

22

所以橢圓c的方程為g+9=1.故選：A

o4

【變式9-3】已知雙曲線C:，￡=l（a>（U>0）與斜率為1的直線交于A,8兩點(diǎn)，若線段AB的

中點(diǎn)為（4」），則。的離心率e=（）

A.V2B.巫C.3D.73

32

【答案】C

2222

【解析】法—：設(shè)A（%MW（孫為）,則與-*=12-普=i,

ab"crb

所以一+叫Wf）_（%+Xy2-X）=o,又AB的中點(diǎn)為（4,1）,

ab~

所以3+々=8,%+%=2,所以&口="，由