山東省濱州市2021年中考數(shù)學(xué)真題（含答案）

2021年山東省濱州市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是正確的，

請(qǐng)把正確的選項(xiàng)選出來(lái)，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。每小

題涂對(duì)得3分，滿分36分.

1.在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示-2.若從點(diǎn)A出發(fā)，沿?cái)?shù)軸的正方向移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)8,則

點(diǎn)8表示的數(shù)是（）

A.-6B.-4C.2D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)，可知從點(diǎn)A出發(fā)，沿?cái)?shù)軸的正方向移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)B,

則點(diǎn)B表示的數(shù)為-2+4,然后計(jì)算即可.

【詳解】解：由題意可得，

點(diǎn)8表示的數(shù)為-2+4=2,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸，解答本題的關(guān)鍵是明確數(shù)軸的特點(diǎn)，點(diǎn)向左平移表示的數(shù)值變小，

向右平移表示的數(shù)值變大.

2.在RjABC中，若NC=9（）°,AC=3,BC=4,則點(diǎn)C到直線A8的距離為（）

A.3B.4C.5D.2.4

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，然后作COLAB于點(diǎn)。，根據(jù)勾股定理可以求得AB的長(zhǎng)，然

后根據(jù)面積法，可以求得CO的長(zhǎng).

【詳解】解：作CCA8于點(diǎn)。，如右圖所示，

VZACB=90°,AC=3,BC=4,

?MB=JAC2+BC2=5,

ACBCABCD

------------=------------，

22

.3x45CD

22

解得CD=2.4,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫(huà)出相應(yīng)的圖形,

利用勾股定理和面積法解答.

3.下列計(jì)算中，正確的是()

A.2a+3a-5a2B.a2-o,=abC.2a-3a-6a2D.

(叫

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)單項(xiàng)式加單項(xiàng)式和合并同類(lèi)項(xiàng)的方法可以判斷A,根據(jù)同底數(shù)幕的乘法可以判

斷B,根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式可以判斷C,根據(jù)嘉的乘方可以判斷D.

【詳解】解：2a+3a=5a,故選項(xiàng)A不符合題意；

a^ai-a5,故選項(xiàng)B不符合題意；

2a?3a=6*故選項(xiàng)C符合題意；

(?2)W,故選項(xiàng)D不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查合并同類(lèi)項(xiàng)、同底數(shù)基的乘法、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、積的乘方，解答本題的

關(guān)鍵是明確它們各自的計(jì)算方法，計(jì)算出正確的結(jié)果.

4.如圖，在OABC。中，8E平分NA8C交。C于點(diǎn)E.若NA=60。，則/OEB的大小為

()

A.130°B.125°C.120°I).115°

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可以得到AD//BC,DC//AB,然后即可得到

NA+/ABC=180。，ZABE+ZDEB=]SO°,再根據(jù)N4=60。，8E平分/ABC,即可得到NOE8

的度數(shù).

【詳解】解：???四邊形A8C。是平行四邊形，

：.AD//BC,DC//AB,

，NA+NABC=180。，NABE+NDEB=180。,

?：ZA=60°,

：.ZABC=\20°,

平分/A8C,

ZABE=60°,

：.ZDEB=120°,

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義，利用數(shù)形結(jié)合的思

想解答是解答本題的關(guān)鍵.

5.如圖所示的幾何體，是由幾個(gè)相同的小正方體組合而成的，其俯視圖為（）

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題目中的立體圖形，可以直接作出它的俯視圖，從而可以解答本題.

【詳解】解：由圖可得，俯視圖為：

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單組合體的三視圖，解答本題的關(guān)鍵是畫(huà)出它的俯視圖.

%—6<2x

6.把不等式組（x+2x-l中每個(gè)不等式的解集在同一條數(shù)軸上表示出來(lái)，正確的為

【答案】B

【解析】

【分析】先解出不等式組中的每一個(gè)不等式的解集，然后即可寫(xiě)出不等式組的解集，再在數(shù)

軸上表示出每一個(gè)不等式的解集即可.

x-6<2X（D

【詳解】解：（x+2%-1個(gè)，

[54

解不等式①，得：x>-6,

解不等式②，得：爛13,

故原不等式組解集是-6〈g13,

其解集在數(shù)軸上表示如下：

-I1,~~?

-6013

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式組、在數(shù)軸上表示不等式組的解集，解答本題的關(guān)鍵是

明確解一元一次不等式組的方法，會(huì)在數(shù)軸上表示不等式組的解集.

7.下列一元二次方程中，無(wú)實(shí)數(shù)根的是（）

A.X2-2X-3=0B.f+3x+2=0

C.f_2x+l=0D.f+2x+3=o

【答案】D

【解析】

【分析】計(jì)算出各個(gè)選項(xiàng)中的△的值，然后根據(jù)A>0有兩個(gè)不等式的實(shí)數(shù)根，△=（）有兩個(gè)

相等實(shí)數(shù)根，AVO無(wú)實(shí)數(shù)根判斷即可.

【詳解】解：在P2x-3=0中，A=b2-4ac=（-2）2-4xlx（一3）=16>0,即該方程有兩個(gè)不等

實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)A不符合題意；

在9+3苫+2=0中，A=/72-4ac-32-4xlx2=l>0,即該方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)B不符合

題意；

在/-2%+1=0中，A=/A4“C=（-2）2-4xlxl=0,即該方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)C不符

合題意；

在9+2戶3=0中，A=/?2-4ac=22-4xlx3=-8<0,即該方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)D符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查根的判別式，解答本題的關(guān)鍵是明確△>（）有兩個(gè)不等式的實(shí)數(shù)根，A=0

有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，△<（）無(wú)實(shí)數(shù)根.

8.在四張反面無(wú)差別的卡片上，其正面分別印有線段、等邊三角形、平行四邊形和正六邊

形.現(xiàn)將四張卡片的正面朝下放置，混合均勻后從中隨機(jī)抽取兩張，則抽到的卡片正面圖形

都是軸對(duì)稱圖形的概率為（）

【答案】A

【解析】

【分析】首先判斷各圖形是否是軸對(duì)稱圖形，再根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得所

有等可能的結(jié)果與抽到卡片上印有的圖案都是軸對(duì)稱圖形的情況，再利用概率公式求解即可

求得答案.

【詳解】解：???線段是軸對(duì)稱圖形，等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形,

正六邊形是軸對(duì)稱圖形，

分別用A、B、C、。表示線段、等邊三角形、平行四邊形和正六邊形，

開(kāi)始

ABCD

/N/N/1\ZN

BCDACDABDABC

隨機(jī)抽取兩張，則抽到的卡片正面圖形都是軸對(duì)稱圖形的概率為9=4，

122

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查概率公式、軸對(duì)稱圖形，解答本題的關(guān)鍵是寫(xiě)出題目中的圖形是否為軸對(duì)

稱圖形，明確兩張都是軸對(duì)稱圖形是同時(shí)發(fā)生的.

9.如圖，。是A6C的外接圓，。是C。的直徑.若8=1（）,弦AC=6,則

cosNABC的值為（）

【答案】A

【解析】

【分析】連接A。，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于90。和勾股定理，可以求得的長(zhǎng)，然后即

可求得NAOC的余弦值，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，可以得至UN48C=NADC,從而可

以得到cos/ABC的值.

【詳解】解：連接AO,如右圖所示,

是。。的直徑，CD=\0,弦AC=6,

ZDAC=90°,

：.AD=y]cD2-AC2^'

ZABC=ZADC,

4

.,.cosNABC的值為二，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓與外心、圓周角、銳角三角函數(shù)、勾股定理，解答本題的

關(guān)鍵是求出cos/AOC的值，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

10.對(duì)于二次函數(shù)了=；必一6》+21,有以下結(jié)論：①當(dāng)x>5時(shí)，），隨x的增大而增大；

②當(dāng)x=6時(shí)，y有最小值3；③圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；④圖象是由拋物線y=向左平

移6個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到的.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】將題目中的函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個(gè)小題

中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題.

1

X2

【詳解】解：???二次函數(shù)y2--6X+21=-(X-6)2+3,

.?.該函數(shù)的對(duì)稱軸為直線戶6,函數(shù)圖象開(kāi)口向上，

當(dāng)5<xV6時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x>6時(shí)，y隨x的增大而增大，故①不符合題意;

當(dāng)k6時(shí)，y有最小值3,故②符合題意；

當(dāng)產(chǎn)0時(shí)，無(wú)實(shí)數(shù)根，即圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，故③不符合題意；

圖象是由拋物線y=向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，故④不

符合題意；

故正確的是②，正確的個(gè)數(shù)是1,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與幾何變換，解答本題的關(guān)鍵是明確題意,

利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

11.如圖，在。鉆中，/BOA=45°,點(diǎn)C為邊AB上一點(diǎn)，且3c=2AC.如果函數(shù)

9

y=、(x〉O)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)C,那么用下列坐標(biāo)表示的點(diǎn)，在直線BC上的是()

9

j=-(x>0)

一

04x

A.(-2019,674)B.(-2020,675)

C.(2021,-669)D.(2022,-670)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)特征,求出8、C點(diǎn)的坐標(biāo)，再寫(xiě)出8。解析式,

再判斷點(diǎn)在BC上.

【詳解】解：作CE±OA,

9

y=-(x>0)

r

oDEAX

ZBOA=45°f

BD=OD,

設(shè)8(4,a),

9

??Cl——,

二.a=3或a=—3(舍去)，

/.BD=OD=3，

3(3,3),

BC=2AC.

\AB=3AC,

BDA.OA,CELOA,

：.BD!ICE,

BDABc

-----------3，

CEAC

：.—=3,

CE

.?.CE=1,

圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)c,

x

:.x=9,

C(9,l)

設(shè)BC的解析式為y=

J3=34+方

[\=9k+b'

k=--

解得3,

b=4

1,

??y=—x+4,

3

當(dāng)x=—2019時(shí)，＞=677,

當(dāng)x=—2020時(shí)，y=677p

2

當(dāng)X=2021時(shí)，y=-669-,

當(dāng)x=2022時(shí)，y=-670,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的性質(zhì)，能求出BC的解析式是解題的關(guān)鍵.

12.在銳角.ABC中，分別以A8和AC為斜邊向AA3C的外側(cè)作等腰&ABM和等腰

Rt^ACN,點(diǎn)、D、E、F分別為邊A8、AC.BC的中點(diǎn)，連接M。、MF、FE、FN.根據(jù)題

意小明同學(xué)畫(huà)出草圖(如圖所示)，并得出下列結(jié)論：①M(fèi)D=FE,②ZDMF=NEFN,

其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）

③FMJ_FN,④5AC￡F=—S^^ABFE,

C.2I).1

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半和三角形中位線定理判斷結(jié)論①，連接

DF,EN,通過(guò)SAS定理證明絲△FEN判斷結(jié)論②，利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合平行

四邊形的判定和性質(zhì)判斷結(jié)論③，利用相似三角形的判定和性質(zhì)判定結(jié)論④.

【詳解】解：E、尸分別為邊AB、AC、BC的中點(diǎn)，且是等腰直角三角形，

/.DM=—AB,EF」AB,EF//ABf/MDB=90。,

22

:.DM=EF,/FEC=/BAC,故結(jié)論①正確;

連接OF,EN,

???。、E、尸分別為邊A3、AC.8C的中點(diǎn)，且△ACN是等腰直角三角形,

：.EN=—ACDF=—AC,DF//AC,NNEC=90。,

2f2

:.EN=DF,/BDF=/BAC,/BDF=NFEC,

：./BDF+/MDB=/FEC+/NEC,

：./MDF=NFEN,

在△MDF和△尸EN中，

MD=EF

<4MDF=ZFEN,

DF=EN

:?/\MDFmAFEN(SAS),

:?/DMF=/EFN,故結(jié)論②正確;

,:EF〃AB,DF//AC,

???四邊形4OFE是平行四邊形，

:?NDFE=NBAC,

又,：4MDF與叢FEN,

：./DFM=/ENF,

：.NEFN+/DFM

=NEFN+NENF

二180。-/FEN

=180°-(NFEC+/NEC)

二180。-(ZBAC+900)

=90°-ZBAC,

/MFN=/DFE+/EFN+/DFM=ZBAC+900-ZBAC=90°,

:?MFLFN,故結(jié)論③正確；

9：EF//AB,

.-.△CEF^ACAB,

EF_1

AB-2,

q1

°AEFC_1

S^ABC4

S2CEF=—S四邊形ABFEf故結(jié)論④錯(cuò)誤,

???正確的結(jié)論為①②③，共3個(gè)，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定

和性質(zhì)，三角形中位線定理，題目難度適中，有一定的綜合性，適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造全等三

角形是解題關(guān)鍵.

二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題4分，滿分24分.

1

13.使得代數(shù)式E有意義的X的取值范圍是

【答案】x>3

【解析】

【分析】二次根式中被開(kāi)方數(shù)的取值范圍：二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù).

1

【詳解】解：???代數(shù)式有意義,

yjX—3

Ax-3>0,

Ax>3,

，X的取值范圍是x>3,

故答案為x>3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，如果所給式子中含有分母，則除了保證被

開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零.

14.如圖，在.A8C中，點(diǎn)。是邊BC上的一點(diǎn).若AB=AD=OC,Nfi4￡)=44。，則

NC的大小為

【答案】34°

【解析】

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和，可以先計(jì)算出N4OB的度數(shù)，然后再根

AD=DC,ZADB=ZC+ZDAC,即可得到/C的度數(shù).

【詳解】解：???ABM。,

NB=NADB,

,：ZBAD=44°,

180°—440

..—=^^=68。,

\'AD=DC,ZADB=ZC+ZDAC,

ZC=Z￡>AC=—ZADB=34°,

2

故答案為：34°.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答是解答

本題的關(guān)鍵.

15.計(jì)算：屈+兆乃=

【答案】3亞

【解析】

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、立方根、零指數(shù)幕、絕對(duì)值和負(fù)整數(shù)指數(shù)基可以解答本題.

【詳解】解：屈+%

=4血+2-1-閩-3

=4^+2-(V2-l)-3

=4正+2-0+1-3

=3收

故答案為：3>/2?

【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根、立方根、零指數(shù)累、絕對(duì)值和負(fù)整數(shù)指數(shù)暴，解答本題關(guān)

鍵是明確它們各自的計(jì)算方法.

16.某芭蕾舞團(tuán)新進(jìn)一批女演員，她們的身高及其對(duì)應(yīng)人數(shù)情況如表所示：

身高(cm)163164165166168

人數(shù)12311

那么，這批女演員身高的方差為.

【答案】2cm2

【解析】

【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以先求出平均數(shù)，然后根據(jù)方差的計(jì)算方法代入數(shù)據(jù)計(jì)算即

可.

163x1+164x2+165x3+166x1+168x1

【詳解】解:x==165（。㈤，

1+2+3+1+1

52=------------x[(163-165)2x1+(164-165)2x2+(165-165)2x3+(166-165)2x1+(168-165)2x1]

1+2+3+1+1

=2(c/n2),

故答案為：2c4.

【點(diǎn)睛】本題考查方差，解答本題的關(guān)鍵是求出數(shù)據(jù)的平均數(shù)，明確方差的計(jì)算方法

2_(百一元＜+(丁-X)2+...+(%?-X)2

s_-------------------------------?

n

17.若點(diǎn)A(—l,y)、C。,%)都在反比例函數(shù)y"為常數(shù))的圖

k4)x

象上，則%、乃、力的大小關(guān)系為

【答案】%

【解析】

k2+1

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)和&2+1>0,可以得到反比例函數(shù)y的圖象所在

X

的象限和在每個(gè)象限內(nèi)的增減性，然后即可判斷X、為、%的大小關(guān)系.

k2+1

【詳解】解：反比例函數(shù)y=（左為常數(shù)），—I〉。,

x

,該函數(shù)圖象在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減小，

k2

點(diǎn)A（-1,%）、B（-：1,%）、c（L%）都在反比例函數(shù)y=±±+1（4為常數(shù)）的圖象上，

4x

-1＜一,，點(diǎn)A、8在第三象限，點(diǎn)C在第一象限，

4

必＜X＜%，

故答案為：當(dāng)＜%＜為?

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確反比例函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)用反比

例函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)值的大小關(guān)系，注意第三象限內(nèi)點(diǎn)的縱坐標(biāo)始終小于第一象限內(nèi)點(diǎn)的

縱坐標(biāo).

18.如圖，在，ABC中，NAQ5=90°,NB4C=30°,43=2.若點(diǎn)P是，45c內(nèi)一

點(diǎn)，則24+必+PC的最小值為一

【答案】布

【解析】

【分析】根據(jù)題意，首先以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)AAPB到戶夕，旋轉(zhuǎn)角是60。,

作出圖形，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，可以得到

PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是

CB，的值，然后根據(jù)勾股定理可以求得C夕的值，從而可以解答本題.

【詳解】解：以點(diǎn)4為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△APB到△”外旋轉(zhuǎn)角是60。，連接BB，、

PP',CB',如圖所示，

B'

則/B4P'=60°,AP=AP',PB=P'B',

...△APP，是等邊三角形，

：.AP=PP',

：.PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,

?：PP'+P'B'+PC>CB',

...PP'+P'B'+PC的最4、值就是C8'的值，

即以+PB+PC的最小值就是C￡的值，

VZBAC=30°,ZBAB'=60°,A8=48'=2,

ZCAB'=90°,AB'=2,AC=AB'cosZBAC=2xcos?l0°=2x—=73-

2

?*-CB'=JAC?+A曉=V7，

故答案為：幣.

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、最短路徑問(wèn)題、勾股定理，解答本題的

關(guān)鍵是作出合適的輔助線，得出必+PB+PC的最小值就是C夕的值，其中用到的數(shù)學(xué)思想是

數(shù)形結(jié)合的思想.

三、解答題：本大題共6個(gè)小題，滿分60分.解答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)出必要的演推過(guò)程.

(x—1x+2、x—4

19?計(jì)算：一7一一「丁卜一--

Ix—4-x+4x—2尢Jx—2

【答案】-

x2-2x

【解析】

【分析】先將括號(hào)內(nèi)的式子通分，然后將括號(hào)外的除法轉(zhuǎn)化為乘法，再約分即可.

.x—1尤+2、x—4

【詳解】解:(------------------------)-------

X~-4x+4—2xx—2

=r---------------1-----

(x-2)2x(x-2)x-4

_x(x-l)-(x+2)(x-2)x-2

x(x-2)2x-4

_x2-x-x2+41

x(x-2)x-4

-(x-4)1

=------------

x(x-2)x-4

]

x(x-2)

1

【點(diǎn)睛】本題考查分式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確異分母分式減法和分式除法的運(yùn)

算法則和運(yùn)算順序.

20.某商品原來(lái)每件的售價(jià)為60元，經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后每件的售價(jià)為48.6元，并且每次降價(jià)

的百分率相同.

(1)求該商品每次降價(jià)的百分率；

(2)若該商品每件的進(jìn)價(jià)為40元，計(jì)劃通過(guò)以上兩次降價(jià)的方式，將庫(kù)存的該商品20件

全部售出，并且確保兩次降價(jià)銷(xiāo)售的總利潤(rùn)不少于200元，那么第一次降價(jià)至少售出多少件

后，方可進(jìn)行第二次降價(jià)？

【答案】(1)10%；(2)6件

【解析】

【分析】(1)根據(jù)某商品原來(lái)每件的售價(jià)為60元，經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后每件的售價(jià)為48.6元，

并且每次降價(jià)的百分率相同，可設(shè)每次降價(jià)的百分率為x,從而可以列出方程60(1.)2=486

然后求解即可；

(2)根據(jù)題意和(1)中的結(jié)果，可以列出相應(yīng)的不等式，然后即可求得第一次降價(jià)出售的

件數(shù)的取值范圍，再根據(jù)件數(shù)為整數(shù)，即可得到第一次降價(jià)至少售出多少件后，方可進(jìn)行第

二次降價(jià).

【詳解】解：(1)設(shè)該商品每次降價(jià)的百分率為x,

60(1-x)2=48.6,

解得xi=0.1,Xi—1.9(舍去)，

答：該商品每次降價(jià)的百分率是10%;

(2)設(shè)第一次降價(jià)售出。件，則第二次降價(jià)售出(20-a)件，

由題意可得，[60(1-10%)-40]a+(48.6-40)x(20-a)>200,

解得e，

???a為整數(shù)，

的最小值是6,

答：第一次降價(jià)至少售出6件后，方可進(jìn)行第二次降價(jià).

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題

意，找出等量關(guān)系和不等關(guān)系，列出相應(yīng)的方程和不等式，第一問(wèn)是典型的的下降率問(wèn)題，

是中考?？碱}型.

21.如圖，矩形ABCC對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)O,BE//AC,AE//BD.

(1)求證：四邊形A0BE是菱形；

(2)若NAQB=60°,AC=4,求菱形AO8E的面積.

【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解答；(2)

【解析】

【分析】(1)BE//AC,AE//BD,可以得到四邊形AOBE是平行四邊形，然后根據(jù)矩

形的性質(zhì)，可以得到。4=08,由菱形的定義可以得到結(jié)論成立；

(2)根據(jù)/AOB=60。，AC=4,可以求得菱形AOBE邊0A上的高，然后根據(jù)菱形的面積=

底x高，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.

【詳解】解：(1)證明：AE//BD,

：.四邊形AOBE是平行四邊形，

:四邊形A8CO是矩形，

：.AC=BD,OA=OC=—AC,OB=OD=—BD,

22

：.OA=OB,

四邊形AOBE是菱形；

(2)解：作8凡LOA于點(diǎn)F,

：.OA=OB=2,

；乙408=60。，

h

BF=OB*sinZAOB=2x—=73>

2

???菱形AO8E的面積是：OA?BF=2x幣=2日

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確菱形的判定方法，知道

菱形的面積=底、高或者是對(duì)角線乘積的一半.

22.甲、乙兩車(chē)沿同一條筆直的道路勻速同向行駛，車(chē)速分別為20米/秒和25米/秒.現(xiàn)甲

車(chē)在乙車(chē)前500米處，設(shè)x秒后兩車(chē)相距y米，根據(jù)要求解答以下問(wèn)題：

（1）當(dāng)x=50（秒）時(shí)，兩車(chē)相距多少米？當(dāng)x=150（秒）時(shí)呢？

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；

（3）在給出的平面直角坐標(biāo)系中，請(qǐng)直接畫(huà)出（2）中所求函數(shù)的圖象.

M米

500

400

300

200

100

O~~50100150200250300'秒

【答案】（1）當(dāng)450（秒）時(shí)，兩車(chē)相距250米，當(dāng)戶150（秒）時(shí)，兩車(chē)相距250米；（2）

-5x+500(0<%<100)

y=?、；(3)見(jiàn)解析

5x-500(x>100)

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，可以先計(jì)算出兩車(chē)相遇需要的時(shí)間，然后即可計(jì)算出當(dāng)450和戶150

時(shí)，兩車(chē)的距離；

（2）先計(jì)算出兩車(chē)相遇需要的時(shí)間，然后根據(jù)x的取值范圍不同，寫(xiě)出相應(yīng)的函數(shù)解析式

即可；

（3）根據(jù)（2）中的函數(shù)解析式和兩點(diǎn)確定一次函數(shù)的圖象的方法，可以畫(huà)出相應(yīng)的函數(shù)圖

象.

【詳解】解：⑴V5004-(25-20)=500+5=100(秒)，

.?.當(dāng)x=50時(shí)，兩車(chē)相品巨：20x50+500-25x50=1000+500-1250=250(米)，

當(dāng)戶150時(shí)，兩車(chē)相距：25x150-(20x150+500)=3750-(3000+500)=3750-3500=250(米),

答：當(dāng)戶50(秒)時(shí)，兩車(chē)相距250米，當(dāng)行150(秒)時(shí)，兩車(chē)相距250米；

(2)由題意可得，乙車(chē)追上甲車(chē)用的時(shí)間為：500+(25-20)=500+5=100(秒),

當(dāng)0<r<100時(shí)，y=20x+500-25戶-5x+500,

當(dāng)x>100時(shí)，y=25x-(20x+500)=25x-20x-500=5x-500,

-5x+500(0<x<100)

由上可得,y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=<

5x-500(x>100)

(3)在函數(shù))=-5x+500中，當(dāng)x=0時(shí)，)=-5x0+500=500,當(dāng)4100時(shí)，)=-5x100+500=0,

即函數(shù)尸-5x+500的圖象過(guò)點(diǎn)(0,500),(100,0)；

在函數(shù)y=5x-500中，當(dāng)x=150時(shí)，)=250,當(dāng)4200時(shí)，>=500,

即函數(shù))=5片500的圖象過(guò)點(diǎn)(150,250),(200,500),

畫(huà)出(2)中所求函數(shù)的圖象如圖所示.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式,

畫(huà)出相應(yīng)的函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

23.如圖，在。中，AB為的直徑，直線QE與：。相切于點(diǎn)。，割線于

點(diǎn)E且交。。于點(diǎn)尸，連接OF.

(1)求證：4。平分/8AC；

(2)求證：DF?=EF.AB-

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）連接0D,然后根據(jù)切線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，可以得到N0￡M=ND4C,

再根據(jù)04=0。，可以得到N0AQ=N0D4,從而可以得到ND4C=N0A￡>,結(jié)論得證；

（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，可以得到。再根據(jù)等弧所對(duì)的弦相等,

即可證明結(jié)論成立.

【詳解】解：（1）證明：連接0D如圖所示，

?.?直線與。O相切于點(diǎn)。，ACLDE,

：.NODE=NDEA=90。,

J.0D//AC,

：.Z0DA=ZDAC,

0A=0D,

：.Z0AD=Z0DA,

：.ZDAC=Z0AD,

平分NBAC；

(2)證明：連接OF,BD,如圖所示，

-：AC±DE,垂足為E,AB是。。的直徑,

ZDEF=ZADB=90°,

VZEFD+ZAFD=I80°,NA/7HN。8A=180°,

：.ZEFD=ZDBAf

：./\EFD^/\DBA,

.EFDF

**AB'

:?DB，DF=EF?AB,

由（1）知，A。平分NBAC,

：.ZFAD=ZDABf

：.DF=DB,

:.DGEF^AB.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)，

解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

24.如下列圖形所示，在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，在其繞

1

原點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，兩直角邊所在直線分別與拋物線>二萬(wàn)/7相交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)

8的左側(cè)）.

4

（1）如圖1,若點(diǎn)A、3的橫坐標(biāo)分別為-3、一，求線段AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)；

3

（2）如圖2,若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4,求線段AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖3,若線段A8中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y）,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（4）若線段AB中點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為6,求線段AB的長(zhǎng).

圖1圖2圖3

597317

【答案】(1)(一二，—);(2)(-,—)；(3)^+2；(4)4所

63624

【解析】

4

【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為—3、―，可以先求的點(diǎn)A和5的坐標(biāo)，平行

3

線分線段成比例定理可以得到EC=ED,然后即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為4,可以求得點(diǎn)8的坐標(biāo)，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，

可以求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)（1）求中點(diǎn)坐標(biāo)的方法可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可以求得點(diǎn)A和點(diǎn)8的坐標(biāo)與點(diǎn)P坐標(biāo)的關(guān)系，從而

可以得到>與x的關(guān)系；

（4）將y=6代入（3）中的函數(shù)關(guān)系式，可以求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的平方，然后根據(jù)勾股定

理可以得到0P的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得到線段

的長(zhǎng).

I,4

【詳解】解：（1）點(diǎn)A、8在拋物線y=上，點(diǎn)A、3的橫坐標(biāo)分別為一3、一,

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